{"id":811,"date":"2021-10-30T08:04:59","date_gmt":"2021-10-30T04:04:59","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=811"},"modified":"2025-12-13T20:26:59","modified_gmt":"2025-12-13T16:26:59","slug":"configurations-finies","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=811","title":{"rendered":"Quelques configurations finies"},"content":{"rendered":"\n

Avant d’aborder \u00e0 l’item suivant un exemple de mod\u00e8le hyperbolique fini, pr\u00e9cisons quelques d\u00e9finitions sur l\u2019aspect g\u00e9om\u00e9trique des configurations finies en vu de r\u00e9aliser quelques illustrations dynamiques finies.<\/p>\n\n\n\n

Dans cette introduction, on entend par g\u00e9om\u00e9trie<\/strong>, la donn\u00e9e d\u2019un triplet \\((P, D, I)\\) <\/strong>o\u00f9 \\(P\\) <\/strong>est l\u2019ensemble des points, \\(D\\) <\/strong>celui des droites et \\(I\\) <\/strong>est une partie de \\(P \\times D\\) <\/strong>qui d\u00e9crit l\u2019incidence : \\(A I d\\) <\/strong>se lit \u00ab\\(A\\) <\/strong>est un point de \\(d\\)\u00bb ou \u00ab\\(d\\) <\/strong>passe par \\(A\\)\u00bb. Dans cette page \\(D\\) <\/strong>est tout simplement un sous ensemble des parties de \\(P\\) <\/strong>et l\u2019incidence est alors l\u2019appartenance d\u2019un point \u00e0 une droite.<\/p>\n\n\n\n

Les configurations planes abstraites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On appelle configuration plane abstraite (CPA) de param\u00e8tre \\((p_n,d_m)\\) une g\u00e9om\u00e9trie qui v\u00e9rifie les axiomes suivants :
CP1. <\/strong>La configuration contient \\(p\\) points et \\(d\\) droites. Par chaque point il passe \\(n\\) droites et chaque droite contient \\(m\\) points.
CP2. <\/strong>Deux points distincts sont, au plus, sur une m\u00eame droite.
CP3. <\/strong>Des droites se rencontrent en au plus un point.
CP4. <\/strong>La g\u00e9om\u00e9trie est connect\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Dans une telle configuration, il est facile de v\u00e9rifier que\\(pn=dm\\) <\/em>. L\u2019axiome 2 signifie surtout qu\u2019il n\u2019existe pas n\u00e9cessairement une droite passant deux points, l\u2019axiome 3 qu\u2019il peut y avoir des droites parall\u00e8les et l\u2019axiome 4 qu\u2019il y a toujours un trajet, par des droites, pour aller d\u2019un point \u00e0 un autre.<\/p>\n\n\n\n

Vocabulaire associ\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Quand un mod\u00e8le d\u2019une configuration est r\u00e9alisable avec des segments du plan euclidien usuel pour repr\u00e9senter l\u2019alignement des points, on parle de configuration plane<\/strong>. L\u2019adjectif abstrait <\/strong>n\u2019est ajout\u00e9 que dans le cas o\u00f9 l\u2019une des droites de la configuration ne peut en aucun cas \u00eatre une droite.<\/p>\n\n\n\n

Quand, dans une configuration, il y a le m\u00eame nombre de points que de droites \\((p=d)\\), alors il y a le m\u00eame nombre de points par droites et de droites passant par un point \\((m=n)\\), on parle alors de configuration \\(p_n\\).<\/p>\n\n\n\n

Exemple du quadrilat\u00e8re complet<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C\u2019est une configuration <\/strong>(62<\/sub>,43<\/sub>) : 6 points et 4 droites, 2 droites passent par chaque point, et chaque droite contient 3 points. <\/p>\n\n\n

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\"\"
\u00e0 gauche le quadrilat\u00e8re complet 62<\/sub>43<\/sub> , \u00e0 droite l’ajout de la droite de Newton<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Si on construit la droite de Newton<\/strong> du quadrilat\u00e8re complet, la droite des milieux des diagonales (les trois points sont align\u00e9s dans un contexte affine), on ajoute 4 droites et 3 points : les trois diagonales marrons et les trois milieux verts, align\u00e9s, ce qui donne une droite suppl\u00e9mentaire.<\/p>\n\n\n\n

Ainsi sur l’illustration de droite, on a 9 points et 8 droites, cela n\u2019est donc pas une configuration car
\u2022 d\u2019une part, par certains points il passe 3 droites et par d\u2019autres 2 droites.
\u2022 d\u2019autre part, 9 et 8 \u00e9tant premiers entre eux, pour avoir une configuration, il faudrait 8 droites par point et 9 points par droite.<\/p>\n\n\n\n

Les configurations finies affines et projectives<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Les axiomes affines<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Aff1. <\/strong>Par deux points il passe une et une seule droite.
Aff2. <\/strong>Par un point n\u2019appartenant pas \u00e0 une droite, il passe une et une seule droite par ce point ne rencontrant pas la droite.
Aff3. <\/strong>Il existe trois points qui ne sont pas tous contenus dans une droite.<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes projectifs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

P1. <\/strong>Par deux points il passe une et une seule droite.
P2. <\/strong>Deux droites distinctes sont s\u00e9cantes en un unique point.
P3. <\/strong>Il existe 4 points tels que trois d\u2019entre eux ne sont jamais incidents \u00e0 une m\u00eame droite.<\/p>\n\n\n\n

Dans le cas affine<\/strong>, si une droite a \\(n\\) <\/em>points, toutes les droites ont \\(n\\) <\/em>points, il y a \\(n^2\\) <\/strong>points. Par chaque point il passe \\(n+1\\) droites, il y a \\(n^2+n\\) <\/em>droites. Le plan affine d\u2019ordre \\(n\\) <\/em>est une configuration\\(\\left(n^2_{n+1},(n^2+n)_n \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Un plan projectif <\/strong>d\u2019ordre \\(n\\) <\/em>est une configuration\\(\\left((n^2+n+1)_{n+1} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Le plan de Fano<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C\u2019est le plus petit plan projectif, le plan d\u2019ordre 2, c\u2019est-\u00e0- dire le plan \u00e0 7 droites de 3 points chacune. C\u2019est aussi la seule configuration 73<\/sub><\/strong>. Cette configuration est la plus c\u00e9l\u00e8bre, elle est abstraite <\/strong>car une droite est repr\u00e9sent\u00e9e par un cercle. Il n\u2019existe pas de repr\u00e9sentation du plan de Fano avec seulement des segments, mais on en verra une avec des triangles.<\/p>\n\n\n