{"id":7951,"date":"2025-06-08T16:41:02","date_gmt":"2025-06-08T12:41:02","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=7951"},"modified":"2025-12-18T16:20:37","modified_gmt":"2025-12-18T12:20:37","slug":"regionnement-du-plan-pour-lorthogonalite-a-une-h-droite-du-modele-de-hilbert-3-3","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=7951","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan pour l\u2019orthogonalit\u00e9 \u00e0 une H-droite du mod\u00e8le de Hilbert (3\/3)"},"content":{"rendered":"\n

Rappel de la probl\u00e9matique<\/strong> et des pages pr\u00e9c\u00e9dentes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9e une droite \\((AB)\\) qui coupe l’ellipse de Hilbert en deux points \\(Ph\\) et \\(Qb\\) et un point \\(I\\) du plan. Par \\(I\\) on m\u00e8ne les diff\u00e9rente perpendiculaires, hilbertiennes (H<\/strong>) ou euclidienne (E<\/strong>). On sait (construction d\u00e9taill\u00e9e dans cette page<\/a>) qu’il y a 7 cas possibles de construction, le 7\u00b0 \u00e9tant le cas o\u00f9 la droite \\((AB)\\) ne coupe pas l’ellipse n’est pas utilis\u00e9 ici. On s’int\u00e9resse au r\u00e9gionnement du plan, pour le point \\(I\\), selon le nombre et le type de perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) .<\/p>\n\n\n\n

Dans la premi\u00e8re page<\/a> sur le r\u00e9gionnement, on a mis en \u00e9vidence la sp\u00e9cificit\u00e9 des r\u00e9gions 2H<\/strong> (deux perpendiculaires hilbertiennes) et 2H1E<\/strong> (et une euclidienne), puis on les a construites. La deuxi\u00e8me page<\/a> a \u00e9t\u00e9 consacr\u00e9e \u00e0 la r\u00e9gion 1H1E<\/strong> (une seule hauteur hilbertienne et une euclidienne). Dans cette page, on se propose d’illustrer la r\u00e9alisation dynamique du r\u00e9gionnement en ajoutant les trois situations manquantes, soit les r\u00e9gions 1E, 1H<\/strong>, et 0P<\/strong> (aucune perpendiculaire).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Premi\u00e8re illustration du r\u00e9gionnement du plan selon la position de la droite \\((AB)\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n

On peut d\u00e9j\u00e0 remarquer que, quelque soit la position de la droite \\((AB)\\) par rapport \u00e0 l’ellipse, il y aura toujours au moins deux parties en mauve (1E<\/strong>) autour des points \\(Ph\\) et \\(Qb\\), et que ces parties sont n\u00e9cessairement non born\u00e9es car il suffit d’\u00e9loigner le point \\(I\\) de l’ellipse pour avoir une perpendiculaire euclidienne ordinaire, et rien d’autre.<\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration ci-dessus, il y a deux parties 1H<\/strong> (en cyan), et elles sont, ici, elles aussi toutes les deux non born\u00e9es, en particulier, pour celle passant par les points \\(Ph\\) et \\(Qb\\), parce que les droites \\((PhPho)\\) et \\((QbQbo)\\) sont parall\u00e8les, comme orthogonales toutes les deux \u00e0 \\((AB)\\). Enfin, les deux parties 0P<\/strong> (marron), sans perpendiculaire, sont born\u00e9es, l’une \u00e9tant le triangle \\(Qb \\, PhQb \\, PhQo\\) et l’autre le triangle \\(Ph \\, PhQb \\, QbPo\\) , ce dernier point, intersection des droites affines<\/em> \\((Qb \\, Qb_2)\\) et \\((Ph \\, Pho)\\) , \u00e9tant hors \u00e9cran. On rappelle \u00e0 l’occasion, comme on le voit ci-dessus, que \\(PhQo\\) est l’intersection des droites affines<\/em> \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\). Nous allons voir que la r\u00e9gion 1H<\/strong> peut \u00eatre r\u00e9duite \u00e0 une seule partie, born\u00e9e, alors que 0P<\/strong> peut avoir, elle aussi, ses parties non born\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n

Une figure dynamique est propos\u00e9e \u00e0 la fin de cette page de pr\u00e9sentation.<\/p>\n\n\n\n

Introduction g\u00e9n\u00e9rique<\/h2>\n\n\n\n

Dans la premi\u00e8re illustration, les deux parties de 1E<\/strong> coupent l’ellipse, mais on peut avoir un contexte o\u00f9 la r\u00e9gion 1E <\/strong>ne rencontre l’ellipse uniquement qu’en les deux points \\(Ph\\) et \\(Qb\\) comme ci-dessous.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Configuration o\u00f9 chaque r\u00e9gion 1E, 1H, 0P<\/strong> est compos\u00e9e de deux parties, et 1H1E<\/strong> de 4 parties.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Voici une configuration \u00ab\u00a0assez proche\u00a0\u00bb de la sym\u00e9trie par rapport \u00e0 l’axe focal de l’ellipse, en choisissant la droite \\((AB)\\) proche de la verticale. La r\u00e9gion 1H1E<\/strong> est alors compos\u00e9e de 4 parties, deux issues de \\(Ph\\) et \\(Qb\\) et deux de \\(PhQo\\) et \\(QbPo\\).
La r\u00e9gion 1H<\/strong> est r\u00e9partie en deux parties non born\u00e9es car port\u00e9es, toutes les deux, par les droites \\((Ph \\, Pho)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\), parall\u00e8les comme perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) en \\(Ph\\) et \\(Qb\\). L’une de ces parties traverse l’ellipse. En effet, il y a toujours une partie de 1H <\/strong>passant par les points \\(Ph\\) et \\(Qb\\) car, entre ces deux points il y a toujours une partie d’o\u00f9 on peut mener une perpendiculaire hilbertienne \u00e0 \\((AB)\\) par existence d’un cercle orthogonal \u00e0 l’arc de la droite \\((AB)\\) passant par \\(F\\).
Entre ces diff\u00e9rentes parties de 1E<\/strong> et 1H<\/strong>, la r\u00e9gion 0P<\/strong> est elle aussi divis\u00e9e en deux parties autour de \\(PhQb\\). On notera que les 4 r\u00e9gions 1E1H, 1E, 1H, 0P<\/strong> ont toutes pour sommet les points \\(PhQo\\) et \\(QbPo\\). Ce cas va \u00eatre assez g\u00e9n\u00e9ral – les points \u00e9tant intersection de deux droites – avec la nuance que les points vont \u00eatre transform\u00e9s en leurs versions hilbertiennes quand ils seront \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse, comme ici :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Exemple d’une configuration avec \\(PhQo\\) int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans cette configuration la r\u00e9gion 1E<\/strong> est compos\u00e9e de 4 parties, passant par les 4 sommets pr\u00e9c\u00e9dents, le sommet \\(PhQo\\) \u00e9tant transform\u00e9 en le point \\(Inter_{PhQo}\\) intersection des droites, non plus affines<\/em>, mais hilbertiennes<\/em> \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\). La r\u00e9gion 0P<\/strong> est compos\u00e9e de deux parties non born\u00e9es, car, comme dans le cas 1H<\/strong> de l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente, port\u00e9es \u00e0 nouveau par les droites \\((Ph \\, Pho)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\). La r\u00e9gion 1H<\/strong> semble \u00eatre r\u00e9duite \u00e0 une seule partie, born\u00e9e, entre \\(QbPo, Ph, Inter_{PhQo}, Qb\\). Les droites \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Qb \\, Qb_2)\\) se coupent en \\(PhQb\\). On peut se demander si la partie, hors \u00e9cran, au dessus de \\(PhQb\\) peut \u00eatre une partie de 1H.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n

Tout d’abord, le franchissement d’une des quatre droites, \\((Ph \\, Ph_2), \\; (Ph \\, Pho), \\; (Qb \\, Qb_2), \\; (Qb \\, Qbo)\\), dites plus loin \u00ab\u00a0droites de base\u00a0\u00bb du r\u00e9gionnement, produit un changement de r\u00e9gion. Ainsi la partie au dessus de \\(PhQb\\) pourrait \u00eatre de type 1H <\/strong>ou 1H1E<\/strong>. Mais la configuration est telle qu’en s’\u00e9loignant de l’ellipse dans les ordonn\u00e9es, il sera facile d’obtenir une perpendiculaire euclidienne. Donc la partie au dessus de \\(PhQb\\) dans le prolongement de la partie jaune est encore une partie 1H1E<\/strong>, et donc encore jaune.<\/p>\n\n\n\n

En voici une illustration, en d\u00e9zoomant la figure dans la m\u00eame configuration<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cette configuration est compos\u00e9e d’une seule partie born\u00e9e pour 1H<\/strong> et deux parties non born\u00e9es pour 1H1E<\/strong>. <\/em><\/p>\n\n\n\n

Cas o\u00f9 1E ne passe pas par un des points de r\u00e9f\u00e9rence
\\(PhQb, PhQo, QbPo\\)<\/h2>\n\n\n\n

C’est le cas quand il y a une partie 2H <\/strong>et\/ou 2H1E<\/strong> adoss\u00e9e \u00e0 une partie 1E<\/strong>. Ainsi, ci-dessous, Entre les droites \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Ph \\, Pho)\\) il y a une partie 2H1E<\/strong>, verte, pr\u00e9c\u00e9d\u00e9e d’une partie 2H<\/strong>, rose. La partie 1E<\/strong> commence donc, non pas \u00e0 partir de \\(QbPo\\), mais \u00e0 partir du point de coupe \\(eCoup_1\\) de \\((Ph \\, Pho)\\) entre les parties 2H<\/strong> et 2H1E<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Exemple d’utilisation du point \\(eCoup_1\\) comme sommet d’une de partie de 1E<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

On peut \u00e0 nouveau se questionner sur le type de la partie, pour les ordonn\u00e9es n\u00e9gatives, en dessous de l’intersection \\(PhQo\\) qui serait la pointe inf\u00e9rieure de la partie 1H<\/strong> \u00e0 l’\u00e9cran. Entour\u00e9e des r\u00e9gions 1H1E<\/strong> et 0P<\/strong> elle ne peut \u00eatre qu’une seconde partie de 1H<\/strong> ou une quatri\u00e8me partie de 1E<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9zoomant (tr\u00e8s fort) la figure, on voit que c’est une partie 1E<\/strong>, ce qui pourra s’anticiper simplement quand on aura un peu argument\u00e9 sur cette question.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cette configuration n’a aussi qu’une seule partie pour 1H<\/strong>, born\u00e9e, et 4 parties pour la r\u00e9gion 1E<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les diff\u00e9rentes configurations o\u00f9 \\(QbPo\\),
ou \\(PhQo\\) sont \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse<\/h2>\n\n\n\n

On a d\u00e9j\u00e0 montr\u00e9 une situation o\u00f9 \\(PhQo\\) est int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse. Ce n’est possible que si la droite \\((AB)\\) est \u00e0 pente n\u00e9gative. Dans l’exemple ci-dessus, la droite passait pr\u00e8s du sommet proche de \\(F\\). Toujours avec une droite \u00e0 pente n\u00e9gative, on peut aussi avoir \\(PhQo\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse si la droite passe pr\u00e8s de l’autre sommet de l’ellipse comme ci-dessous :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Autre configuration – droite \u00e0 pente n\u00e9gative – pour \\(PhQo\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse. Seule la r\u00e9gion 1H<\/strong> est born\u00e9e<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si la droite \\((AB)\\) est \u00e0 pente positive, c’est l’intersection \\(QbPo\\) qui peut \u00eatre \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse, dans les m\u00eame conditions de voisinage de chacun des sommets.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cas o\u00f9 la droite est \u00e0 pente positive, avec \\(QbPo\\) int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse<\/em> (1\/2)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Autre situation avec la droite \u00e0 pente positive, avec \\(QbPo\\) int\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse<\/em> (2\/2)<\/p>\n\n\n\n

Dans ces quatre illustrations o\u00f9 interviennent l’un des points \\(Inter_{PhQo}\\) ou \\(Inter_{QbPo}\\), on notera que la r\u00e9gion 1H<\/strong> est toujours born\u00e9e, form\u00e9e d’une seule partie et que la r\u00e9gion 0P<\/strong> est form\u00e9e de deux parties non born\u00e9es car port\u00e9es par les droite parall\u00e8les \\((Ph \\, Pho)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\). <\/p>\n\n\n\n

Anticipation du type d’une partie non visibles \u00e0 l’\u00e9cran<\/h2>\n\n\n\n

Comme sugg\u00e9r\u00e9 ci-dessus il est souvent tr\u00e8s simple d’anticiper le type d’une partie non accessible. Voici un exemple choisi aussi pour pr\u00e9senter une partie 2H1E<\/strong> a priori non born\u00e9e. On s’int\u00e9resse \u00e0 ce qu’il peut y avoir au dessus de la partie 1H<\/strong> dont la pointe, invisible \u00e0 l’\u00e9cran est le point \\(PhQo\\). La partie en question est entour\u00e9e de parties 1H1E<\/strong>, 1H<\/strong> et 0P<\/strong>, ne peut \u00eatre donc \u00eatre que de type 1E<\/strong> ou 1H<\/strong>. La partie est d\u00e9limit\u00e9e par les droites \\((Ph_2 \\, Ph)\\) et \\((Qbo \\, Qb)\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Quel type de r\u00e9gion pour la partie au dessus de la partie 1H<\/strong> \u00e0 l’\u00e9cran ?<\/em><\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9zoomant, certes, on voit le r\u00e9sultat, mais argumentons quand m\u00eame sur la situation. Pla\u00e7ons le point \\(I\\) dans la partie jaune au dessus de \\(Qb\\), et donc \u00e0 gauche de la droite \\((Qb_2 \\, Qb)\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Franchissement par le point \\(I\\) de la droite \\((Ph \\, Ph_2)\\) <\/em> (1\/2)<\/p>\n\n\n\n

En franchissant la droite \\((Ph \\, Ph_2) = (Ph \\, PhQo)\\), on reste \u00e0 gauche de \\((Qb_2 \\, Qb)\\), et donc avec encore une perpendiculaire euclidienne issue de \\(I\\), il y a donc une composante 1E<\/strong>, la partie ne peut pas \u00eatre 1H<\/strong>, c’est donc 1E<\/strong>. Par ailleurs, \\(I\\) franchissant la droite \\((Ph \\, PhQo)\\), la hauteur, \\((I \\, Hh_1)\\) ne peux plus exister – dynamiquement, c’est comme si le point \\(Hh_1\\) devait sortir de l’ellipse. On ne peut donc \u00eatre dans une composante 1H<\/strong>. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Franchissement par le point \\(I\\) de la droite \\((Ph \\, Ph_2)\\)<\/em> (2\/2)<\/p>\n\n\n\n

Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, dans les illustrations pr\u00e9c\u00e9dents, on voit que le changement de type au sommet d’une partie 1H<\/strong> n’a lieu que si cette extr\u00e9mit\u00e9 est l’un des points \\(QbPo\\) ou \\(PhQo\\) alors que le type 1H<\/strong> est conserv\u00e9 quand l’extr\u00e9mit\u00e9 est le point \\(PhQb\\) comme on peut le voir dans la seconde illustration de cette page. La diff\u00e9rence de comportement vient de ce que les deux premiers points sont les intersections de deux perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) de type diff\u00e9rent, une hilbertienne, une euclidienne alors que \\(PhQb\\) est l’intersection des deux perpendiculaires hilbertiennes. Bien entendu, il n’y a pas de point \\(PoQo\\) car les droites \\((Pb \\, Pho)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\) sont parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n

Transformation dynamique de type de r\u00e9gion d’une partie du plan<\/h2>\n\n\n\n

Une situation int\u00e9ressante \u00e0 observer est quand deux de ces trois points sont des sommets d’une partie du plan d\u00e9limit\u00e9 par les droites de base du r\u00e9gionnement : selon que le sommet commun entre cette partie et la partie 1H<\/strong> de r\u00e9f\u00e9rence est \\(PhQb\\) ou un des deux autres, la partie \u00e9tudi\u00e9e est de type 1H<\/strong> ou 1E<\/strong>. Et on passe d’une situation \u00e0 l’autre en d\u00e9pla\u00e7ant un des deux points \\(A\\) ou \\(B\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Droite \u00e0 pente n\u00e9gative – Partie d\u00e9limit\u00e9e par les sommets \\(PhQb\\) et \\(PhQo\\) avec<\/em>
en sommet commun<\/em>, en haut \\(PhQb\\) <\/em> (types 1H -1H<\/strong>)<\/em>, en bas \\(PhQo\\)<\/em> (types 1H<\/strong> –1E<\/strong>)<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Avec une pente positive c’est plus souvent \\(QbPo\\) qui intervient. On passe d’une illustration \u00e0 l’autre en d\u00e9pla\u00e7ant \\(A\\) de quelques pixels.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On notera aussi que (abstraction faite des ajouts \u00e9ventuels de 2H<\/strong> ou 2H1E<\/strong>), deux parties<\/em>
oppos\u00e9es par \\(PhQb\\) sont toujours de m\u00eame type (ci dessus 0P<\/strong> et 1H<\/strong>, ci dessous 1E<\/strong> et 1H1E<\/strong>)<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Autour du point de rebroussement des r\u00e9gions 2H<\/strong> et 2H1E<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Par simplification d’\u00e9criture, on a choisi, quand ces r\u00e9gions ont un point de rebroussement, de ne pas \u00ab\u00a0d\u00e9tourer\u00a0\u00bb cette r\u00e9gion par rapport aux autres (ci-dessous 0P<\/strong> et 1H<\/strong>), mais simplement de renforcer l’opacit\u00e9 de cette r\u00e9gion 2H<\/strong> ou 2H1E<\/strong> avec le point de rebroussement. Comme on l’a d\u00e9j\u00e0 dit dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes, on sait – pour le moment de mani\u00e8re empirique – qu’au voisinage du point de rebroussement, il peut y avoir 3 perpendiculaires hilbertiennes (cas 2H<\/strong>), et, dans le cas 2H1E<\/strong>, il y a une euclidienne en plus. En voici quelques exemples.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cas du point de rebroussement d’une partie 3H<\/strong>, et donc 4 perpendiculaires issues de \\(I\\)<\/em>, dans une partie de 1H1E<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cas de pointe rose dans une partie de la r\u00e9gion 1H<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Deux des perpendiculaires hilbertiennes peuvent \u00eatre confondues<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La mise en \u00e9vidence graphique d’une racine double – qui existe probablement assez souvent – n’est pas \u00e9vidente \u00e0 r\u00e9aliser. On choisit une partie 2H<\/strong> sous forme de grande fl\u00e8che. On affiche la distance (euclidienne) entre les deux pieds des perpendiculaires \\(Hh_2\\) et \\(Hh_3\\) avec la pr\u00e9cision maximale de DGPad, soit 13 d\u00e9cimales.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-dessus, pr\u00e9sentation de la figure, avec deux pieds \\(Hh_2\\) et \\(Hh_3\\) distincts.
Ci-dessous, on place le point \\(I\\) \u00e0 la pointe de la zone, la distance devient nulle (\u00e0 la pr\u00e9cision \\(10^{-13}\\)).
On a ajout\u00e9 l’affichage des deux arcs (visible dans la lev\u00e9e de l’ambiguit\u00e9).<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Un autre exemple tr\u00e8s particulier<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On peut rencontrer des situations nettement plus surprenantes. Dans l’illustration suivante on a laiss\u00e9 apparaitre quelques variables de la figure :
\u2022 expFrVerte<\/strong> non vide signifie qu’il y a une partie verte, de fronti\u00e8re – Fr<\/strong> dans le nom – \u00e0 11 \u00e9l\u00e9ments donc assez longue.
\u2022 p2H1Esup=0<\/strong> signifie que cette partie (2H1E<\/strong>) est sous les droites se coupant en \\(PhQb\\)
\u2022 PtReb=1<\/strong> signifie qu’il y a un point de rebroussement
\u2022 MaxPtInd<\/strong> donne les coordonn\u00e9es de ce point de rebroussement et son index dans la liste expFrVerte<\/em><\/strong>.
\u2022 Amplitude<\/strong> indique la distance maximale entre les points cons\u00e9cutifs de la liste expFrVerte<\/em><\/strong>, bien trop faible ici (environ 3 pixels) pour qu’elle soit vraiment visible, m\u00eame si on distingue un peu de vert autour du point \\(PhQb\\).<\/p>\n\n\n\n

Autrement dit, dans dans cette configuration, il y a un point de rebroussement et donc potentiellement une possibilit\u00e9 de quatre perpendiculaires en un point \\(I\\) bien plac\u00e9, la quatri\u00e8me, euclidienne, \u00e9tant assur\u00e9e car le point \\(PhQb\\) est entour\u00e9e des r\u00e9gions 1E<\/strong> et 1H1E<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Point de rebroussement invisible : analyse de la situation par les variables de la figure : <\/em>
mise en \u00e9vidence d’un point de rebroussement invisibl<\/em>e.<\/p>\n\n\n\n

En utilisant l’outil aimantation<\/em> du logiciel sur le point \\(I\\) par le point de rebroussement, on arrive effectivement \u00e0 cette situation :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Acc\u00e8s \u00e0 un point de rebroussement, pr\u00e9vu par les calculs de la figure, mais invisible \u00e0 l\u2019\u0153il.
Confirmation par les quatre perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de \\(I\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Droite \\((AB)\\) de pente proche de 0<\/h2>\n\n\n\n

A priori, la construction de la figure \u00e9tant bas\u00e9e sur diff\u00e9rentes donn\u00e9es num\u00e9riques, dont la pente de la droite \\((AB)\\). Et donc, avec lla figure propos\u00e9e en fin de page,, il n’est pas possible que la droite soit verticale. Mais on peut l’approcher comme dans ces deux illustrations.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci dessus pente n\u00e9gative de – 1663 ; ci dessous pente positive de 1055<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On \u00e9vitera aussi la droite effectivement de pente nulle. Par contre, on peut approcher de tr\u00e8s pr\u00e8s l’horizontalit\u00e9 de la droite \\((AB)\\). Sans entrer dans les d\u00e9tails techniques (un article de blog y sera consacr\u00e9 ult\u00e9rieurement), un autre crit\u00e8re significatif est le signe, autour de \\(Ph\\), de \\(x(Pho)-x(Ph)\\) (not\u00e9 dans le code JavaScript \\(Pho[0]-Ph[0]\\) ), et, autour de \\(Qb\\), celui de \\(x(Qbo)-x(Qb)\\) (not\u00e9 encore \\(Qbo[0]-Qb[0]\\) ). Il y a alors deux situations, selon la position de la droite par rapport au point \\(F\\) \u00e0 cause de la partie de la droite \\((AB)\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse qui est l’arc de cercle passant par \\(Ph, \\, Qb\\) et \\(F\\).<\/p>\n\n\n\n

Si la droite \\((AB)\\) est au dessus de \\(F\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Si ces crit\u00e8res \\(x(Pho)<x(Ph)\\) et \\(x(Qbo)<x(Qb)\\) sont en g\u00e9n\u00e9ral pertinents, la question se pose quand m\u00eame quand la droite est quasi horizontale car le signe pourrait ne pas \u00eatre stable, les droites \\((Pho \\,Ph)\\) et \\((Qbo \\,Qb)\\) \u00e9tant alors quasi verticales. M\u00eame s’il y a un traitement particulier \u00e0 r\u00e9aliser, la situation ne pose pas de probl\u00e8me sp\u00e9cifique, les diff\u00e9rences \u00e9tudi\u00e9es restent du m\u00eame signe que la pente.<\/p>\n\n\n

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Ci-dessus la droite est \u00e0 pente n\u00e9gative, ci-dessous, \u00e0 pente positive
Dans les deux cas, \\(x(Pho)-x(Ph)\\) et \\(x(Qbo)-x(Qb)\\) sont du m\u00eame signe que la pente de la droite.<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Si la droite \\((AB)\\) est en dessous de \\(F\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans le cas o\u00f9 la droite est sous le point \\(F\\) le signe des diff\u00e9rences est encore constant mais c’est l’oppos\u00e9 de celui de la pente, ce qui somme toute, dans les deux cas, est tout \u00e0 fait logique.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Cette fois-ci, \\(x(Pho)-x(Ph)\\) et \\(x(Qbo)-x(Qb)\\) sont du signe oppos\u00e9 \u00e0 celui de la pente de la droite.<\/em>
Ci-dessus avec une pente de la droite positive, ci-dessous, pente n\u00e9gative, \\(I\\) dans la partie verte quand elle existe<\/em>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustrations de cas o\u00f9 la droite est aussi tr\u00e8s proche des sommets non focaux de l’ellipse<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Dans ces deux cas avec une pente n\u00e9gative (\\(PhQo\\)<\/em> dans l\u2019ellipse), en valeur absolue, de l’ordre de 0,0002. <\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Et des pentes positives, en valeur absolue encore plus faibles que les pr\u00e9c\u00e9dentes<\/p>\n\n\n

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Ici avec une pente positive (\\(QbPo\\)<\/em> dans l’ellipse), de l’ordre de 0,00006.<\/em><\/p>\n\n\n

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La figure dynamique (de travail)<\/h2>\n\n\n\n

Cette figure n’est pas encore compl\u00e8tement exempte de probl\u00e8mes mais elle est d\u00e9j\u00e0 largement utilisable. Elle comporte encore quelques bug inh\u00e9rent \u00e0 la fa\u00e7on un peu trop rapide d’avoir trait\u00e9 la fronti\u00e8re 2H<\/strong> et 2H1E<\/strong> qui est limit\u00e9e \u00e0 une liste de 16 segments. Il peut y a avoir des bugs autour de ce traitement. En particulier les deux parties marrons, un peu sym\u00e9triques, born\u00e9es peuvent dispara\u00eetre toutes les deux (alors qu’elle sont construites).<\/p>\n\n\n\n

Un autre bug appara\u00eet parfois sur les parties 2H<\/strong> et 2H1E<\/strong>, (rarement mais cela peut arriver) une partie clairement 2H<\/strong> s’affiche en 2H1E<\/strong> (une partie verte devrait \u00eatre rose). En fait cette situation a \u00e9t\u00e9 la premi\u00e8re \u00e0 avoir \u00e9t\u00e9 abord\u00e9e, je ne le ferais plus de la m\u00eame fa\u00e7on maintenant, cela sera donc refait, \u00e9ventuellement avec une approche alg\u00e9brique comme le reste de la figure.<\/p>\n\n\n\n

Les autres bug possibles sont des situations \u00e9l\u00e9mentaires \u00e0 corriger, qui vient du changement de signe des pentes des 4 droites de r\u00e9f\u00e9rence. J’ai fait la correction sur plusieurs dizaines de situations mais possiblement pas toutes.<\/p>\n\n\n