{"id":7841,"date":"2025-01-04T19:20:03","date_gmt":"2025-01-04T15:20:03","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=7841"},"modified":"2025-12-18T16:14:15","modified_gmt":"2025-12-18T12:14:15","slug":"regionnement-du-plan-pour-lorthogonalite-a-une-h-droite-du-modele-de-hilbert-2-3","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=7841","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan pour l’orthogonalit\u00e9 \u00e0 une H-droite du mod\u00e8le de Hilbert (2\/3)"},"content":{"rendered":"\n

Dans cette page on poursuit l’exploration du r\u00e9gionnement du plan, on s’int\u00e9resse \u00e0 la situation 1H1E<\/strong> soit la r\u00e9gion du plan d’o\u00f9 on peut mener \u00e0 la fois une – et un seule – perpendiculaire hilbertienne et une perpendiculaire euclidienne.<\/p>\n\n\n\n

On se propose ici essentiellement d’illustrer ce que l’on peut explorer avec la figure dynamique propos\u00e9e en fin de page. Les d\u00e9tails techniques de r\u00e9alisation sont propos\u00e9s dans cette page de blog<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

La r\u00e9gion 1H1E<\/strong>, jaune dans les illustrations, est g\u00e9n\u00e9ralement compos\u00e9es de 4 parties, deux issues des intersections de la droite \\((AB)\\) avec l’ellipse, soit les points \\(Ph\\) et\\(Qb\\) et deux autres issues des points \\(QbPo, PhQo\\) ou \\(PhQb\\), ces parties pouvant parfois \u00eatre en dehors de l’\u00e9cran, ou tout simplement ne pas exister.<\/p>\n\n\n\n

Le point \\(PhQo\\) est l’intersection des deux droites affines<\/em> \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Qb \\, Qbo)\\), \\(QbPo\\), celle des droites affines<\/em> \\((Qb \\, Qb_2)\\) et \\((Ph \\, Pho)\\). Enfin le point \\(PhQb\\), elle celle des droites affines<\/em> \\((Ph \\, Ph_2)\\) et \\((Qb \\, Qb_2)\\). Ainsi, par exemple, les H-droites \\((Ph \\, QbPo)\\) et \\((Qb \\, PhQo)\\) sont-elles parall\u00e8les car toutes deux orthogonales (euclidiennement) \u00e0 la droite \\((AB)\\).<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure dynamique propos\u00e9e, on peut manipuler un point \\(I\\) d’o\u00f9 l’on trace les perpendiculaires \u00e0 la droite \\((AB)\\), ce qui permet d’illustrer qu’il y a bien deux perpendiculaires issues de \\(I\\), et de types diff\u00e9rents.<\/p>\n\n\n

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Configuration un peu g\u00e9n\u00e9rique de la situation 1H1E<\/strong> avec 4 parties<\/em><\/p>\n\n\n\n

Les parties issues des points d’intersection avec l’ellipse peuvent \u00eatre, elles aussi, des triangles ou des quadrilat\u00e8res, quand elles sont ext\u00e9rieures \u00e0 l’ellipse et comportent, en g\u00e9n\u00e9ral, un ou deux arcs de cercles – comme ci-dessus – quand elles ont une partie \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle que la partie rose est celle d’o\u00f9 l’on peut mener deux perpendiculaires hilbertiennes, et la partie verte, celle d’o\u00f9 l’on peut mener deux hilbertiennes et une euclidienne.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La partie issue de \\(Ph\\) comporte un seul arc, celle de \\(Qb\\) est un triangle ext\u00e9rieur.<\/em><\/p>\n\n\n\n

On notera que les noms des pieds des hauteurs changent selon la configuration. Dans les deux illustrations, \\(I\\) est dans la m\u00eame partie issue de \\(Ph\\), mais dans la premi\u00e8re \\(I\\) est ext\u00e9rieur \u00e0 l’ellipse, et \u00e0 l’int\u00e9rieur dans la seconde. Or on a vu, dans cette page technique<\/a>, que les constructions sont diff\u00e9rentes selon la position du point \\(I\\) : il y a potentiellement 7 constructions de perpendiculaires possibles – dont 4 peuvent exister simultan\u00e9ment, et donc 7 noms de pied de perpendiculaire diff\u00e9rents.<\/p>\n\n\n\n

Enfin, quand les parties rose ou verte contiennent un point de rebroussement, on a aussi vu, cette fois de mani\u00e8re empirique, qu’au voisinage de ce point, il peut y avoir non pas deux, mais trois perpendiculaires hilbertienne comme illustr\u00e9 ci-dessous.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Cas o\u00f9 les parties issues de Ph ou Qb
comportent trois arcs de cercles<\/h2>\n\n\n\n

Partons d’une autre forme de la partie 1H1E<\/strong> issue de \\(Ph\\), o\u00f9 intervient le point \\(QbPo\\). La partie ext\u00e9rieure \u00e0 l’ellipse est tronqu\u00e9e, \u00e0 partir de \\(QbPo\\) par la droite \\((Qb \\, Qb_2\\). On note le d\u00e9but d’une large partie 2H1E<\/strong>, la partie verte.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pr\u00e9lude \u00e0 une partie int\u00e9rieure \u00e0 l’ellipse compos\u00e9e de trois arcs de cercle<\/em><\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9pla\u00e7ant le point \\(A\\), on va faire entrer le point \\(QbPo\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse, et la partie de 1H1E<\/strong> \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse va \u00eatre tronqu\u00e9e par l’arc de cercle \\(QbQb_2\\). C’est tr\u00e8s clair en faisant la manipulation – propos\u00e9e plus loin dans la page – mais voici quelques illustrations comment\u00e9es dans la galerie suivante<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

Galerie de 8 illustrations pour rendre compte des parties ayant 3 arcs de cercles<\/em><\/p>\n\n\n\n

Quelques configurations standards ou particuli\u00e8res
(propos\u00e9es pour \u00eatre explor\u00e9es)<\/h2>\n\n\n\n

Cas o\u00f9 les 4 parties sont des triangles non born\u00e9s<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il suffit de placer la droite \\((AB)\\) dans une position proche de la verticale et \u00e0 gauche de l’origine du rep\u00e8re \\(Ie\\) pour \u00eatre dans cette configuration car les deux arcs de cercles en chaque point d’intersection vont vers le point \\(F\\) et ne remplissent pas les crit\u00e8res pour faire partie de 1H1E<\/strong> (consulter la page de pr\u00e9sentation technique pour plus de d\u00e9tails)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les arcs issus de \\(Ph\\) et\\(Qb\\) sont tous deux incurv\u00e9s en sens inverse<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C’est juste une configuration pour l’esth\u00e9tique, sans aucun sens math\u00e9matique. Pour des raisons \u00e9l\u00e9mentaires, il suffit que la droite \\((AB)\\) coupe l’ellipse proche du sommet du c\u00f4t\u00e9 de \\(F\\)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Une configuration o\u00f9 la partie 2H1E a une pointe dans 1H1E<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cette configuration est plus originale, et n\u00e9cessite un peu de pr\u00e9cision pour \u00eatre reproduites. Comme le point de rebroussement est dans 1H1E<\/strong> cela signifie qu’en pla\u00e7ant \\(I\\) proche de ce point, il y aura 4 perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\), trois hilbertiennes et une euclidiienne.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La figure dynamique<\/h2>\n\n\n\n

Dans cette figure, d\u00e9placer les points \\(A, B\\) et \\(I\\).<\/p>\n\n\n