{"id":7718,"date":"2024-09-10T14:30:40","date_gmt":"2024-09-10T10:30:40","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=7718"},"modified":"2025-12-18T16:05:22","modified_gmt":"2025-12-18T12:05:22","slug":"regionnement-du-plan-pour-lorthogonalite-a-une-h-droite-du-modele-de-hilbert-1-3","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=7718","title":{"rendered":"R\u00e9gionnement du plan pour l&rsquo;orthogonalit\u00e9 \u00e0 une H-droite du mod\u00e8le de Hilbert (1\/3)"},"content":{"rendered":"\n<p>Soit une H-droite \\((AB)\\) coupant l&rsquo;ellipse du mod\u00e8le, on cherche \u00e0 partitionner le plan en r\u00e9gions en fonction du nombre de droites perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) et de leurs types (hilbertienne ou euclidienne) que l&rsquo;on peut mener depuis les points de ces r\u00e9gions.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Notations associ\u00e9es au r\u00e9gionnement<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"606\" height=\"517\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/06\/IntroRegion01.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-7719\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/06\/IntroRegion01.jpg 606w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/06\/IntroRegion01-300x256.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 606px) 100vw, 606px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La droite \\((AB)\\) coupe l&rsquo;ellipse en les points \\(P_h\\) et \\(Q_b\\). On note \\(Ctr_{AB}\\) le centre euclidien de la partie int\u00e9rieure \u00e0 l&rsquo;ellipse de la droite, puis \\(Ctr_{P_h}\\) et \\(Ctr_{Q_b}\\) et les centres euclidiens des parties int\u00e9rieures \u00e0 l&rsquo;ellipse des H-perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\). On construit ainsi les droites \\((P_h \\, P_{h_2})\\) et \\((Q_h \\, Q_{h_2})\\) les deux perpendiculaires hilbertiennes \u00e0  \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) (droites en bleu).<\/p>\n\n\n\n<p>Il en r\u00e9sulte que toute perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) en un point de la droite entre \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) a son centre euclidien entre \\(Ctr_{P_h}\\) et \\(Ctr_{Q_b}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Puis on construit \\((P_h \\, P_{he})\\) et \\((Q_h \\, Q_{he})\\) les perpendiculaires euclidiennes \u00e0 \\((AB)\\) en \\(P_h\\) et \\(Q_b\\), avec l&rsquo;angle droit &#8211; ext\u00e9rieur \u00e0 l&rsquo;ellipse &#8211; en les points \\(P_h\\) et \\(Q_b\\) (droites en orange).<\/p>\n\n\n\n<p>Ces cinq premi\u00e8res droites vont permettre de rep\u00e9rer les principales r\u00e9gions recherch\u00e9es. Nous allons explorer cela en ajoutant un point \\(I\\) et les perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de ce point. et voir aussi que &#8230; ce n&rsquo;est pas aussi simple &#8230; bien entendu &#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>Dans une premi\u00e8re galerie ci-dessous, quelques exemples de situations que l&rsquo;on peut tester dans la figure suivante<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie 1 &#8211; 9 illustrations<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Premi\u00e8re figure dynamique d&rsquo;exploration<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1WK9K_jKstCrXcSWayNONHMmAiq80ZJ80\/view?usp=drive_link\" style=\"width:850px;height:680px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Sur la figure pr\u00e9c\u00e9dente, on peut aussi tester des positions comme celles de cette nouvelle galerie<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie 2 &#8211; 5 illustrations<\/em><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Fronti\u00e8re de la r\u00e9gion des deux perpendiculaires hilbertiennes<br>R\u00e9alisation par lieu<\/h2>\n\n\n\n<p>Comme observ\u00e9 avec la figure pr\u00e9c\u00e9dente, il y a une fronti\u00e8re non rectiligne entre une r\u00e9gion \u00e0 deux perpendiculaires hilbertiennes et une r\u00e9gion sans perpendiculaire hilbertienne. Dans cette section, on propose une premi\u00e8re exploration cette question.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Construction de la limite de la partie \u00e0 deux perpendiculaires hilbertiennes<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Les calculs alg\u00e9briques relevant de ce sujet aboutissent \u00e0 une fonction implicite particuli\u00e8rement complexe, impossible \u00e0 mettre en \u0153uvre alg\u00e9briquement dans le cadre de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique. On va donc construire une approximation, qui sera pr\u00e9cise au dixi\u00e8me de pixel, ce qui sera suffisant pour, ensuite, s\u00e9parer les r\u00e9gions. L&rsquo;exploration de cette fronti\u00e8re va permettre de mettre en \u00e9vidence de nouvelles configurations autour de l&rsquo;orthogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p>On se donne un point \\(Ctr_M\\) entre \\(Ctr_{P_h}\\) et \\(Ctr_{Q_b}\\) et on construit la perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) dont le centre euclidien de la partie \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de l&rsquo;ellipse est \\(Ctr_M\\). Puis, en prenant un point \\(Ctr_{Delta}\\), proche de \\(Ctr_M\\), on construit une seconde perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\). Ces deux droites se coupent en un point nomm\u00e9 ci-dessous \\(Env\\) (pour \u00ab\u00a0Enveloppe\u00a0\u00bb du point) dont on va faire le lieu quand \\(Ctr_M\\) parcourt le segment \\([Ctr_{P_h}Ctr_{Q_b}]\\). Voici une illustration grossi\u00e8re avec un point  \\(Ctr_{Delta}\\) volontairement \u00e9loign\u00e9 de \\(Ctr_M\\) pour bien distinguer la premi\u00e8re perpendiculaire (vert clair) issue de \\(Ctr_M\\) et la seconde (marron pointill\u00e9) issue de \\(Ctr_{Delta}\\). La fronti\u00e8re cherch\u00e9e est alors le lieu du point \\(Env\\), en vert fonc\u00e9.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"745\" height=\"599\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-7755\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe1.jpg 745w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe1-300x241.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 745px) 100vw, 745px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Principe de construction (avec un rayon de cercle en \\(Ctr_M\\) grand pour distinguer les deux perpendiculaires.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>On a ajout\u00e9 un point \\(I\\) et les perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de ce point. Dans l&rsquo;illustration, \\(I\\) est dans la partie \u00e0 deux perpendiculaires hilbertiennes, de pieds \\(H_{h_1}\\) et \\(H_{h_2}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Voici maintenant une illustration de la figure avec une distance entre les points \\(Ctr_M\\) et \\(Ctr_{Delta}\\) de \\(10^{-4}\\), soit en pratique, inf\u00e9rieure \u00e0 1\/10 de pixel. Les deux perpendiculaires semblent \u00eatre l&rsquo;une sur l&rsquo;autre (c&rsquo;est pour cela que l&rsquo;une est en pointill\u00e9), mais elles diff\u00e8rent l\u00e9g\u00e8rement, d&rsquo;o\u00f9 l&rsquo;existence du point \\(Env\\)<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"721\" height=\"477\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe2_SA.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-7769\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe2_SA.jpg 721w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/IntroEnveloppe2_SA-300x198.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 721px) 100vw, 721px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Fronti\u00e8re entre deux perpendiculaires hilbertiennes et aucune, avec une plus grande pr\u00e9cision.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Cette fois, \\(I\\) \u00e9tant (dans cette configuration s&rsquo;entend) \u00e0 droite de \\((Q_bQ_{bo})\\), il existe en plus une perpendiculaire euclidienne, de pied \\(H_e\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas de droites admettant 4 perpendiculaires issue d&rsquo;un point<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Avant de proposer la manipulation de cette figure, voici une galerie de quelques configurations que l&rsquo;on peut explorer.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Configurations diverses sur la fronti\u00e8re des deux perpendiculaires hilbertiennes.<br>Avec comme cons\u00e9quence, des points d&rsquo;o\u00f9 on peut mener 4 perpendiculaires \u00e0 une droite.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>On a d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 une animation automatique de droites ayant ainsi 4 perpendiculaires issues d&rsquo;un m\u00eame point. Elle est dans la page <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=136\" data-type=\"link\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=136\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">d&rsquo;introduction \u00e0 l&rsquo;orthogonalit\u00e9<\/a>, mais a \u00e9t\u00e9 mise en \u00e9vidence lors de la r\u00e9daction de cette page.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Si la figure est longue \u00e0 charger, ne pas h\u00e9siter \u00e0 cliquer (souvent deux fois) sur l&rsquo;icone de recharge de l&rsquo;iframe. <br>A l&rsquo;ouverture, le rayon du cercle est de 1\/10. Commencer par le r\u00e9duire \u00e0 1\/10000 avec le pop up. On peut ensuite d\u00e9placer le commentaire vers le haut pour avoir plus de place pour la manipulation. On d\u00e9place la figure simplement \u00e0 la souris dans la fen\u00eatre.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1ccmfeh8Y_RoYca_AxzCKcf7EsBTmPBZ5\/view?usp=drive_link\" style=\"width:900px;height:720px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Explorer les diff\u00e9rentes options pr\u00e9sent\u00e9es dans la galerie pr\u00e9c\u00e9dente.<br>Et en particulier, chercher obtenir le cas de 4 perpendiculaires \u00e0 \\((AB)\\) issues de \\(I\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1gFxcCfVBBmXlnO-F21CgOUoen5Pzh4Fq\/view?usp=drive_link\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/HilbertAlgebrique\/Lieu_EnvM_PopUp.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> (plus grande) dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Premi\u00e8re application de ce lieu<\/h2>\n\n\n\n<p>Dans cette section on propose de manipuler une figure pour arriver \u00e0 ce r\u00e9sultat : placer un point \\(I\\) d&rsquo;o\u00f9 on peut construire 4 perpendiculaires, respectivement, \u00e0 deux droites non parall\u00e8les, comme ceci :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"764\" height=\"672\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Intro4perp2droites.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-7783\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Intro4perp2droites.jpg 764w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Intro4perp2droites-300x264.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 764px) 100vw, 764px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Objectif de cette section : manipuler une figure pour obtenir ce type de r\u00e9sultat<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Ayant construit la fronti\u00e8re comme enveloppe d&rsquo;un point, sous forme de lieu, il est facile, moyennant quelques am\u00e9nagements pour \u00e9viter une construction trop lourde, de la transformer en macro-construction. On dispose donc d&rsquo;une figure dans laquelle on peut construire les deux enveloppes pour deux droites, la droite \\((AB)\\) et une droite \\((MN)\\). On a vu que l&rsquo;on peut construire trois perpendiculaires hilbertiennes au voisinage interne d&rsquo;un point de rebroussement, donc on s&rsquo;int\u00e9resse \u00e0 placer les deux droites pour avoir ces deux points de rebroussements. Ensuite il s&rsquo;agit de les faire plus ou moins co\u00efncider pour que d&rsquo;un point commun on puisse avoir deux fois trois perpendiculaires hilbertiennes et une euclidienne.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Principe de manipulation de la figure propos\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Cette galerie de 9 diapo comprend une premi\u00e8re partie (de 3 diapos) d&rsquo;appropriation de la figure, puis un d\u00e9tail de la proc\u00e9dure (4 diapos) et une autre solution (2 diapos)<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p><strong>Figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Elle comporte un retour \u00e0 une solution (configuration \u00ab\u00a0initiale\u00a0\u00bb). Il faut donc se placer en mode \u00ab\u00a0Libre\u00a0\u00bb pour pouvoir d\u00e9placer les points. C&rsquo;est le mode \u00e0 l&rsquo;ouverture de la figure. Ne pas h\u00e9siter de changer la pente de la droite initiale \\((AB)\\) &#8230; ce qui n&rsquo;a pas \u00e9t\u00e9 fait dans la galerie pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1VyASWvsvE58j8egxHE_xm2UPhPy1Xw8l\/view?usp=drive_link\" style=\"width:710px;height:680px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Attention : ici \\(N\\) \u00e9tant dans le widget de commentaires et de commandes, on pr\u00e9f\u00e8rera d\u00e9placer le point \\(M\\).<br>Pour agir directement sur \\(N\\), il faut d\u00e9placer le widget vers le haut car il a priorit\u00e9 sur les points.<\/em><br><em>On peut aussi s&rsquo;entrainer en mode \u00ab\u00a0appropriation de la figure\u00a0\u00bb<\/em> <em>comme au d\u00e9but de la galerie pr\u00e9c\u00e9dente.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1pbE44LRIxThVxYB61EZJ5fb6xlz5N7se\/view?usp=drive_link\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/HilbertAlgebrique\/Lieu_EnvM_PopUp.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> (plus accessibles, plus grande) dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">R\u00e9gionnement dynamique des parties 2H et 2H1E<\/h2>\n\n\n\n<p>L&rsquo;enveloppe pr\u00e9c\u00e9dente, r\u00e9alis\u00e9e sous forme de lieu est d\u00e9sormais transform\u00e9e en liste de segments. Ce qui permet de construire deux premi\u00e8res parties du r\u00e9gionnement autour de l&rsquo;orthogonalit\u00e9 &#8211; a priori les seules r\u00e9ellement d\u00e9licates \u00e0 r\u00e9aliser &#8211; la partie dite <strong>2H<\/strong>, des points d&rsquo;o\u00f9 il existe deux perpendiculaires hilbertiennes \u00e0 la droite initiale \\((AB)\\) et la partie dite <strong>2H1E<\/strong> d&rsquo;o\u00f9 il existe aussi, en plus de ces deux perpendiculaires hilbertiennes, une perpendiculaire euclidienne.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemples de situations rencontr\u00e9es<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Voici une galerie de 10 illustrations pr\u00e9sentant ce que l&rsquo;on peut explorer avec la figure suivante. On remarquera que l&rsquo;on a pass\u00e9 du temps \u00e0 affiner les cas \u00ab\u00a0enveloppe avec point de rebroussement\u00a0\u00bb, cette situation \u00e9tant plus riche que les autres, plus g\u00e9n\u00e9riques.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de pr\u00e9sentation des situations qui peuvent \u00eatre explor\u00e9es avec la figure suivante<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>La figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans la figure suivante, on peut d\u00e9placer les points \\(A\\) et \\(B\\) pour modifier la configuration. La droite \\((AB)\\) doit couper l&rsquo;ellipse.<\/p>\n\n\n\n<p>Puis d\u00e9placer le point \\(I\\) dans la zone <strong>2H<\/strong> ou <strong>2H1E<\/strong> pour construire les perpendiculaires issues de \\(I\\) dans ces deux zones.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/19fs22WYlEIKPbF-awQ4PZGZ5DcRpXEOe\/view?usp=drive_link\" style=\"width:950px;height:630px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Gestion dynamique des r\u00e9gions <strong>2H<\/strong> et <strong>2H1E<\/strong><\/em>.<em> Agir sur \\(A, B, I\\). Penser \u00e0 d\u00e9placer l&rsquo;ellipse.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1jCaJIV2SgDbsUjDL46-7G6Y2yrYYtOxf\/view?usp=drive_link\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/HilbertAlgebrique\/Dyn2H1E_6b_17nov.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> (plus grande) dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p>Mise \u00e0 jour de cette figure en janvier 2025<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Soit une H-droite coupant l&rsquo;ellipse du mod\u00e8le, on cherche \u00e0 partitionner le plan en r\u00e9gions en fonction du nombre de droites perpendiculaires \u00e0 et de leurs types (hilbertienne ou euclidienne) que l&rsquo;on peut mener depuis les points de ces r\u00e9gions. 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