![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/BissTrilatere1et2-504x1024.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nAspect th\u00e9orique <\/strong>: les bissectrices d\u2019un trilat\u00e8re ne sont pas, en g\u00e9n\u00e9ral, en pinceau.<\/p>\n\n\n\n Ci-contre, la droite en vert clair est la bissectrice de \\((AB)\\) et \\((CD)\\), en bleu celle de \\((CD)\\) et \\((EF)\\), et en marron, celle de \\((AB)\\) et \\((EF)\\). Or on voit que les perpendiculaires communes, en vert fonc\u00e9, de deux couples de bissectrices ne sont pas confondues : les bissectrices du trilat\u00e8re \\((AB), (CD), (EF)\\) ne sont pas<\/strong> en pinceau.<\/p>\n\n\n\n Aspect pratique : rencontre avec la dualit\u00e9 continuit\u00e9\/d\u00e9terminisme.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Il n\u2019y a pas de propri\u00e9t\u00e9 caract\u00e9ristique des trilat\u00e8res ayant leurs bissectrices en pinceau. Bachmann montre (Th 21a de cette page<\/a>) n\u00e9anmoins que, pour des trilat\u00e8res sans sommets (pas de s\u00e9cantes), si deux bissectrices sont s\u00e9cantes alors les bissectrices des trois droites sont en pinceau<\/strong>. Et c\u2019est un r\u00e9sultat th\u00e9orique tr\u00e8s utile en pratique.<\/p>\n\n\n\n Mais en g\u00e9om\u00e9trie dynamique, on s\u2019int\u00e9resse aussi \u00e0 la continuit\u00e9 des solutions. Or on a d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 l’antagonisme qu’il existe entre d\u00e9terminisme et continuit\u00e9<\/a> quand les situations sont un peu complexes. C\u2019est m\u00eame le c\u0153ur du progr\u00e8s de l\u2019impl\u00e9mentation en g\u00e9om\u00e9trie dynamique : maintenir le plus la continuit\u00e9 en respectant toujours le d\u00e9terminisme. <\/p>\n\n\n\n Les bissectrices sont l’occasion d’illustrer tr\u00e8s concr\u00e8tement cette question. Des solutions seront pr\u00e9sent\u00e9es et utilis\u00e9es un peu plus loin dans cette page, sans que cela soit n\u00e9cessaire de d\u00e9tailler les aspects techniques utilis\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n Ci contre, on d\u00e9place l\u00e9g\u00e8rement \\(C\\), deux bissectrices sont s\u00e9cantes mais pas les trois contrairement au th\u00e9or\u00e8me que l’on vient de citer, car on a privil\u00e9gi\u00e9 la continuit\u00e9 de la bissectrice verte<\/strong> : en passant de la situation du haut \u00e0 celle du bas, il est assez naturel que la bissectrice verte devienne la bissectrice int\u00e9rieure de l’angle \u00e0 l’intersection des deux droites \\((AB)\\) et \\((CD)\\).<\/p>\n\n\n\n Impl\u00e9menter un maximum de continuit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le th\u00e9or\u00e8me de Bachmann n\u2019est bien entendu pas faux : il y a bien des bissectrices en pinceau dans la situation pr\u00e9c\u00e9dente : c\u2019est une autre bissectrice que celle utilis\u00e9e par continuit\u00e9 de la manipulation directe (premi\u00e8re illustration \u00e0 gauche). Dans la seconde illustration de gauche, on a fait tourner \\(C\\) autour de \\(D\\), on a donc une autre position des points \\(C\\) et \\(D\\) mais la m\u00eame droite \\((CD)\\). Cette fois, c\u2019est la bissectrice initiale, celle en vert, qui est en pinceau avec les deux autres.<\/p>\n\n\n Cet exemple illustre la subtile diff\u00e9rence entre th\u00e9orie et impl\u00e9mentation dynamique pratique. La th\u00e9orie de Bachmann traite des droites en g\u00e9n\u00e9ral. Dans le champ des configurations nous manipulons des droites d\u00e9finies par deux points<\/strong> : ce n\u2019est pas la m\u00eame chose pour la manipulation, surtout quand les trilat\u00e8res sont \u00abavec un sommet\u00bb.<\/p>\n\n\n\n Dans les deux derni\u00e8res illustrations ci-dessus, on rend cette fois les droites \\((CD)\\) et \\((EF)\\) s\u00e9cantes, on a la m\u00eame situation : un cas o\u00f9 les bissectrices choisies sont en pinceau, un autre cas (inversion de \\(C\\) et \\(D\\)), o\u00f9 il faudrait choisir une autre bissectrice (non pr\u00e9sente dans l’illustration).<\/p>\n\n\n Continuit\u00e9 pour les bissectrices (pour les configurations de Gergonne et de Malfatti)<\/strong><\/p>\n\n\n\n D\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale on traitera des trilat\u00e8res comme ci-contre (qu’on dira \u00ab\u00a0de Bachmann\u00a0\u00bb) : des<\/strong> trilat\u00e8res sans sommet<\/strong>, et bissectrices s\u00e9cantes, donc en pinceau \u00e0 centre. La macro mise en \u0153uvre assure la continuit\u00e9 quand les trilat\u00e8res deviennent \u00ab \u00e0 sommet \u00bb.<\/p>\n\n\n\n Toutefois, on aura compris qu\u2019il n\u2019y a aucune chance d\u2019obtenir une continuit\u00e9 totale, en particulier en faisant tourner un point tout autour d\u2019un autre. <\/p>\n\n\n\n Signalons que les macros d\u00e9velopp\u00e9es pour ce menu DP<\/strong> mais aussi dans les menus Ell<\/strong> et PS<\/strong> sont, volontairement, enti\u00e8rement g\u00e9om\u00e9triques.<\/p>\n\n\n\n Une autre approche serait possible, avec la programmation Blockly qui permet d’aborder autrement les rapports entre d\u00e9terminisme et continuit\u00e9<\/a>.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Soit un triangle \\(ABC\\), \\(I\\), le centre du cercle inscrit, \\(P, Q, R\\) les contacts du cercle inscrit sur les c\u00f4t\u00e9s du triangle. Alors les trois droites allant d\u2019un sommet au point de contact du c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 sont concourantes. Ce point de concours est connu comme \u00e9tant le point de Gergonne<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Cette propri\u00e9t\u00e9, en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, se montre facilement avec, par exemple, l\u2019outil barycentrique, ce qui en fait une preuve uniquement euclidienne. On en a donn\u00e9 une illustration dans le mod\u00e8le born\u00e9 de l’horisph\u00e8re<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Pourtant la propri\u00e9t\u00e9 est absolue, vraie en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, et dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, pour un trilat\u00e8re … ayant un cercle inscrit. <\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/BissTrilatere3456_plusPetit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TrilatereBaseEtBiss-1024x1018.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\nLe point de Gergonne <\/strong><\/h2>\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/New-Gergonne-Euclide.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n