{"id":7149,"date":"2024-03-29T23:47:39","date_gmt":"2024-03-29T19:47:39","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=7149"},"modified":"2026-05-23T11:06:41","modified_gmt":"2026-05-23T07:06:41","slug":"le-modele-non-arguesien-de-hilbert-introduction","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=7149","title":{"rendered":"Le mod\u00e8le non argu\u00e9sien de Hilbert – Introduction"},"content":{"rendered":"\n

Hilbert consid\u00e8re le mod\u00e8le de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane suivant. Il se donne l\u2019ellipse centr\u00e9e \u00e0 l\u2019origine du rep\u00e8re canonique, de grand axe 1 et de petit axe 1\/2. Soit l\u2019ellipse d\u2019\u00e9quation \\(x^2+4y^2=1\\). Puis il consid\u00e8re le point \\(F \\displaystyle \\left( \\frac{3}{2},0 \\right)\\) et montre que tout cercle passant par \\(F\\) et coupant l\u2019ellipse, soit est tangent \u00e0 l\u2019ellipse, soit ne coupe l\u2019ellipse qu\u2019en deux points distincts. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment il montre que tout cercle coupant l\u2019ellipse en 4 points ne passe pas par \\(F\\). Cela lui permet de d\u00e9finir une nouvelle g\u00e9om\u00e9trie de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n\n

Droites et segments<\/strong><\/p>\n\n\n

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Illustration de l’ouvrage de Hilbert<\/sub><\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

\u00ab\u00c9laborons notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie comme suit. Comme points prenons les points du plan \\(xy\\). Comme droites, choisissons, sans modification, celles du plan qui ne coupent pas l\u2019ellipse ou qui lui sont tangentes; par contre si une droite \\(g\\) coupe l\u2019ellipse en deux points \\(P\\) et \\(Q\\), construisons le cercle passant par \\(P\\), \\(Q\\) et \\(F\\). Ce cercle ne coupe pas l\u2019ellipse hors de ces points. Sur la droite \\(g\\) rempla\u00e7ons le segment compris entre \\(P\\) et \\(Q\\) par l\u2019arc du cercle pr\u00e9c\u00e9dent situ\u00e9 \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse. Les deux demi-droites port\u00e9es par \\(g\\) limit\u00e9es \u00e0 \\(P\\) et \\(Q\\) et l\u2019arc de cercle ci-dessus constituent une droite de notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie(*). Supposons la construction effectu\u00e9e pour toutes les droites du plan. Les droites de la nouvelle g\u00e9om\u00e9trie satisfont les axiomes (I.1<\/strong> et I.2<\/strong>) et (IV<\/strong>). Les axiomes (II<\/strong>) sont aussi valables en consid\u00e9rant l\u2019ordre naturel des points sur ces droites. Nous dirons que deux segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) sont congruents si les segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) mesur\u00e9s \u00e9ventuellement en tout ou partie sur un arc de cercle ont des longueurs habituelles \u00e9gales. \u00bb<\/p>\n\n\n\n

(*) Nous parlerons dans la suite de H-droite<\/strong>, pour droite de Hilbert, et de H-segment<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Angles<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00abEnfin il nous faut d\u00e9finir la congruence des angles. Si aucun des sommets des angles \u00e0 comparer n\u2019appartiennent \u00e0 l\u2019ellipse, nous dirons que les angles sont congruents s\u2019ils le sont au sens ordinaire du terme. Dans le cas contraire, op\u00e9rons comme suit :
Soient \\(ABC\\) et \\(A’B’C’\\) des points align\u00e9s ordonn\u00e9s de notre g\u00e9om\u00e9trie, \\(D\\) un point ext\u00e9rieur \u00e0 la droite \\(ABC\\) et \\(D’\\) hors de la droite \\(A’B’C’\\).<\/p>\n\n\n\n

Nous dirons que les congruences suivantes d\u2019angles sont satisfaites:
\\(\\angle ABD = \\angle A’B’D’\\) et \\(\\angle CBD = \\angle C’B’D’\\)
si les angles naturels correspondant sont li\u00e9s par la proportion
\\(\\angle ABD : \\angle CBD = \\angle A’B’D’ : \\angle C’B’D’\\)

Grace \u00e0 ces conventions les axiomes (III.1<\/strong> \u00e0 4<\/strong>) sont valables.\u00bb<\/p>\n\n\n\n

Entre les pages sur le mod\u00e8le de Hilbert et celles sur le mod\u00e8le de Moulton, nous proposons une \u00ab\u00a0page interlude\u00a0\u00bb analysant cette d\u00e9finition de la congruence des angles dont l\u2019un a un sommet sur l\u2019ellipse, en particulier car, comme l\u2019a montr\u00e9 Moulton, elle ne v\u00e9rifie pas vraiment l\u2019axiome III.4<\/strong> comme l\u2019annonce un peu vite Hilbert.<\/p>\n\n\n\n

Dans un premier temps, on retiendra que, pour les sommets hors de l\u2019ellipse, les angles sont les angles euclidiens usuels<\/em>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La g\u00e9om\u00e9trie obtenue est non argu\u00e9sienne<\/strong>
(exemple de Hilbert, statique)<\/p>\n\n\n\n

Pour illustrer que le th\u00e9or\u00e8me de Desargues n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9, Hilbert consid\u00e8re d\u2019une part l\u2019axe des abscisse – qui est une H-droite<\/em> car cet axe est \u00ab\u00a0le cercle\u00a0\u00bb passant par F et les deux sommets de l’ellipse,<\/em> puis la H-droite associ\u00e9e \u00e0 l\u2019axe des ordonn\u00e9es et enfin celle passant par les points de l\u2019ellipse \\( \\displaystyle \\left( -\\frac{3}{5},-\\frac{2}{5} \\right)\\) et \\(\\displaystyle \\left( \\frac{3}{5},\\frac{2}{5} \\right)\\). Or ces trois H-droites ne sont pas concourantes (se montre facilement). Il suffit alors de construire un triangle \\(ABC\\) avec un point sur chaque droite ainsi qu\u2019un triangle\\(A_1B_1C_1\\) ayant ses c\u00f4t\u00e9s correspondants parall\u00e8les \u00e0 ceux de \\(ABC\\) comme ci-contre pour illustrer que cette g\u00e9om\u00e9trie n\u2019est pas argu\u00e9sienne.<\/p>\n\n\n\n

En pratique Hilbert ne va pas au del\u00e0 dans l’analyse de son mod\u00e8le non argu\u00e9sien. Pour lui, il s’agit juste de montrer que cette g\u00e9om\u00e9trie existe. Nous nous proposons dans les pages suivantes d’explorer un peu plus en avant cette g\u00e9om\u00e9trie, et surtout de l’explorer dynamiquement.<\/p>\n\n\n\n

Illustrations dynamiques de H-droites et H-triangles <\/h2>\n\n\n\n

En g\u00e9om\u00e9trie dynamique, une droite de base \\((AB)\\) se manipule \u00e0 partir des deux points \\(A\\) et \\(B\\) qui la d\u00e9finissent, alors que dans le texte pr\u00e9c\u00e9dent de Hilbert les droites sont donn\u00e9es en soi, sans r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 des points constituants. La diff\u00e9rence est \u00e9norme puisque, pour la construction des H-droites d\u00e9finies par deux points, on peut distinguer trois cas :
\u2022 Cas 1 : les deux points sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 2 : les deux points sont int\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 3 : un des points est \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur, l\u2019autre \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur.<\/p>\n\n\n\n

Dans les deux premiers cas, la construction de la H-droite \\((AB)\\) rel\u00e8ve d\u2019une construction g\u00e9om\u00e9trique \u00e9l\u00e9mentaire, mais le troisi\u00e8me cas, bien que n’\u00e9tant a priori qu\u2019un probl\u00e8me du 4\u00b0 degr\u00e9, est nettement plus complexe \u00e0 traiter. S’int\u00e9ressant dans ces pages plut\u00f4t aux illustrations des diverses propri\u00e9t\u00e9s, les d\u00e9tails techniques de construction de chaque cas – surtout le cas 3 – et la conjonction des trois cas sont abord\u00e9s dans cet article<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Cette g\u00e9om\u00e9trie d\u00e9finie par Hilbert ne v\u00e9rifie pas son axiome III.5<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Elle ne v\u00e9rifie pas la propri\u00e9t\u00e9 de Desargues, car elle ne v\u00e9rifie pas l’axiome III.5 sur les relations de congruence entre segments et angles.<\/p>\n\n\n