{"id":69,"date":"2021-10-15T13:37:14","date_gmt":"2021-10-15T09:37:14","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=69"},"modified":"2025-12-12T23:24:55","modified_gmt":"2025-12-12T19:24:55","slug":"modele-euclidien-borne","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=69","title":{"rendered":"Mod\u00e8le euclidien born\u00e9 plan (DE)"},"content":{"rendered":"\n<p>Avant d\u2019aborder d\u2019autres g\u00e9om\u00e9tries, que notre g\u00e9om\u00e9trie standard, dans des mod\u00e8les euclidiens, voyons d\u00e9j\u00e0 notre g\u00e9om\u00e9trie euclidienne classique dans d\u2019autres mod\u00e8les que le plan usuel \\(\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}\\), et tout d&rsquo;abord, \u00e0 travers un \u0153illeton, dans un disque.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong><br>D\u00e9finition du mod\u00e8le DE (disque euclidien) &#8211; Aspect affine<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p><br>On admet provisoirement &#8211; on le montrera un peu plus loin &#8211; que la d\u00e9finition suivante correspond bien \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Les points sont l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un disque. Le cercle fronti\u00e8re du disque correspond aux points \u00e0 l\u2019infini. Dans un \u00e9ventuel prolongement projectif, le cercle serait la droite \u00e0 l\u2019infini. Cela signifie en particulier que deux droites parall\u00e8les vont se couper sur ce cercle horizon.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignleft size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"787\" height=\"778\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/MilieuParParalleloColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8132\" style=\"width:416px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/MilieuParParalleloColor.png 787w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/MilieuParParalleloColor-300x297.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/MilieuParParalleloColor-768x759.png 768w\" sizes=\"(max-width: 787px) 100vw, 787px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La droite \\((AB)\\) dans ce mod\u00e8le (on dira <strong>DE<\/strong>-droite) est l\u2019arc de cercle passant par \\(A\\) et \\(B\\) et coupant le cercle horizon en deux points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s. Bien entendu si \\(A\\) et \\(B\\) sont align\u00e9s avec le centre, l\u2019arc devient un segment, c\u2019est un diam\u00e8tre du cercle. La construction de la <strong>DE<\/strong>-parall\u00e8l<strong>e<\/strong> \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\(M\\) est alors imm\u00e9diate, puisque l\u2019on \u00e0 trois points de sa repr\u00e9sentation : les deux points de la <strong>DE<\/strong>-droite \\((AB)\\)) \u00e0 l\u2019infini &#8211; sur l\u2019horizon &#8211; et le point \\(M\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Dans une situation affine, si on sait tracer la parall\u00e8le \u00e0 une droite, on sait construire le milieu de deux points. Voyons cela.<\/p>\n\n\n\n<p>Le <strong>DE<\/strong>-milieu \\(I\\) de \\(A\\) et \\(B\\) va s\u2019obtenir comme intersection des <strong>DE<\/strong>-diagonales d\u2019un <strong>DE<\/strong>-parall\u00e9logramme. On peut prendre un point \\(C\\) quelconque, mais pour transformer la figure en macro-construction, il est pr\u00e9f\u00e9rable de prendre un point construit. Ici \\(C\\) est le milieu (usuel) entre le centre de l\u2019horizon et le milieu usuel de [AB]. Les <strong>DE<\/strong>-parall<strong>\u00e8les<\/strong> \u00e0 \\((AC)\\) par \\(B\\) et \u00e0 \\((BC)\\) par \\(A\\) se coupent en \\(D\\). \\(I\\) est l\u2019intersection des deux <strong>DE<\/strong>-droite<strong>s<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Applications imm\u00e9diates : la droite des milieux et le th\u00e9or\u00e8me de Varignon<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On transforme cette figure en macro, ce qui permet de r\u00e9aliser les illustrations suivantes : <br> \u2022 \u00e0 gauche, le th\u00e9or\u00e8me des milieux : la droite \\((IJ)\\) est parall\u00e8le \u00e0 \\((BC)\\). <br> \u2022 \u00e0 droite, le th\u00e9or\u00e8me de Varignon : le quadrilat\u00e8re des milieux \\(IJKL\\) de \\(ABCD\\) est un parall\u00e9logramme. On voit que les droites sont bien deux \u00e0 deux parall\u00e8les et parall\u00e8les \u00e0 la diagonale.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignleft size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"673\" height=\"670\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ThMilieuDEColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8138\" style=\"width:277px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ThMilieuDEColor.png 673w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ThMilieuDEColor-300x300.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/ThMilieuDEColor-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 673px) 100vw, 673px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"508\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/DE_ThMilieu_Varignon-1024x508.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-8133\" style=\"width:524px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/DE_ThMilieu_Varignon-1024x508.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/DE_ThMilieu_Varignon-300x149.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/DE_ThMilieu_Varignon-768x381.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/DE_ThMilieu_Varignon.jpg 1372w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Sur la figure de droite, \\((IJ)\\) et \\((AC)\\) sont parall\u00e8les, et parall\u00e8le \u00e0 la droite-diam\u00e8tre (en pointill\u00e9) de m\u00eames extr\u00e9mit\u00e9s \u00e0 l\u2019infini. Ainsi, deux droites perpendiculaires ont leurs droites-diam\u00e8tres perpendiculaires. Cette propri\u00e9t\u00e9 \u00e9l\u00e9mentaire justifie la construction suivante de l&rsquo;orthogonalit\u00e9..<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Aspect euclidien<\/strong><\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"880\" height=\"851\" src=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/PerpDEColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8134\" style=\"width:302px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/PerpDEColor.png 880w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/PerpDEColor-300x290.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/PerpDEColor-768x743.png 768w\" sizes=\"(max-width: 880px) 100vw, 880px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Le mod\u00e8le n\u2019est pas conforme &#8211; c\u2019est-\u00e0-dire les angles dans le mod\u00e8le ne sont pas \u00e9gaux aux angles initiaux. En math\u00e9matiques, on pr\u00e9f\u00e8re les mod\u00e8les conformes car on peut continuer \u00e0 faire fonctionner les repr\u00e9sentations angulaires. Ici ce n\u2019est pas le cas.<\/p>\n\n\n\n<p>Le mod\u00e8le n\u2019est pas conforme <strong>sauf en l\u2019origine du disque <\/strong>(commentaire de la figure pr\u00e9c\u00e9dente). <\/p>\n\n\n\n<p>Cette conformit\u00e9 en l\u2019origine du cercle permet de construire tout simplement la perpendiculaire \u00e0 une droite passant par un point, comme ci-contre celle \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\(M\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>On a laiss\u00e9 les points de construction de la <strong>DE<\/strong>-droite : le sym\u00e9trique de \\(A\\) par rapport au centre \\(Ohz\\), puis l\u2019inverse de ce point par rapport \u00e0 l\u2019horizon<\/em> <em>: le cercle support de la <strong>DE<\/strong>-droite passe par cet inverse, ceci pour le point \\(A\\) et, bien entendu pour, le point \\(B\\).<\/em><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1T6UWWmI6xevi5SUy6kdau20OzpCiaCma\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Du milieu au sym\u00e9trique orthogonal d\u2019un point par parall\u00e9logrammes<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-resized\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"733\" height=\"729\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/SymOrthoColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-370\" style=\"width:354px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/SymOrthoColor.png 733w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/SymOrthoColor-300x298.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/SymOrthoColor-150x150.png 150w\" sizes=\"(max-width: 733px) 100vw, 733px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On se donne une droite \\((AB)\\) et un point \\((M\\). Il s\u2019agit de construire le sym\u00e9trique \\((M&rsquo;\\) de \\((M\\) par rapport \u00e0 \\((AB)\\). La perpendiculaire \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\((M\\) coupe (AB) en \\(I\\). Comme \\(I\\) doit \u00eatre milieu de \\((M\\) et \\((M&rsquo;\\) on peut construire, \u00e0 partir d\u2019un point \\(C\\), un premier parall\u00e9logramme \\(CMIN\\), avec \\(CN=IM\\), et plus pr\u00e9cis\u00e9ment \\(\\overrightarrow{CN}=\\overrightarrow{MI}\\), puis un second parall\u00e9logramme NCIM\u2019, avec \\(\\overrightarrow{IM&rsquo;}=\\overrightarrow{CN}\\).<br>Pour simplifier la construction &#8211; et optimiser le nombre d\u2019objets interm\u00e9diaires &#8211; on peut choisir pour <strong>C le centre Ohz<\/strong> du disque euclidien. Ici les <strong>DE<\/strong>-parall\u00e8les sont les segments supports passant par le centre \\(Ohz\\) : la <strong>DE<\/strong>-parall\u00e8le \u00e0 \\((MI)\\) passant par \\(Ohz\\) est le diam\u00e8tre support de la <strong>DE<\/strong>-droite, d\u2019o\u00f9 l\u2019\u00e9conomie d\u2019objets. <\/p>\n\n\n\n<p>Bel exemple de l\u2019usage des parall\u00e9logrammes mais aussi des sp\u00e9cificit\u00e9s d&rsquo;un mod\u00e8le pour optimiser les macro-constructions.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>De la sym\u00e9trie orthogonale au cercle<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-resized\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"771\" height=\"766\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/CercleTraceDEColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-374\" style=\"width:333px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/CercleTraceDEColor.png 771w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/CercleTraceDEColor-300x298.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/CercleTraceDEColor-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/CercleTraceDEColor-768x763.png 768w\" sizes=\"(max-width: 771px) 100vw, 771px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans l\u2019approche axiomatique qui soutient cette pr\u00e9sentation, le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) est l\u2019ensemble des points images de \\(A\\) par toutes les sym\u00e9tries orthogonales de droites passant par \\(O\\) (on parlera plus tard d\u2019un <strong>faisceau \u00e0 centre<\/strong>). Pour le construire on peut faire un lieu &#8211; ci-contre une trace &#8211; avec un point \\(M\\) qui tourne autour de \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Dans ce mod\u00e8le, la repr\u00e9sentation d\u2019un <strong>DE<\/strong>-cercle n\u2019est ni un cercle euclidien, ni une ellipse, mais un lieu plus complexe. Il en r\u00e9sulte en particulier que l\u2019intersection de deux cercles &#8211; par exemple pour construire une tangente issue d\u2019un point &#8211; ne va pas \u00eatre facile \u00e0 obtenir. On peut alors r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 une autre approche. <\/p>\n\n\n\n<p>Celle que l\u2019on vient d\u2019explorer a montr\u00e9 qu\u2019avec peu de choses, on peut construire les premiers outils g\u00e9om\u00e9trique. <\/p>\n\n\n\n<p>Allons d\u00e9sormais un peu plus loin.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Hom\u00e9omorphisme du plan euclidien sur le disque unit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>La conjugaison comme proc\u00e9d\u00e9 de transfert<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Une autre solution pour r\u00e9aliser des figures complexes dans ce mod\u00e8le est de les r\u00e9aliser par conjugaison. C\u2019est un proc\u00e9d\u00e9 g\u00e9n\u00e9ral d\u00e9j\u00e0 largement utilis\u00e9, par Steiner par exemple : pour construire l\u2019ellipse de Steiner, on la r\u00e9alise sur un triangle \u00e9quilat\u00e9ral &#8211; c\u2019est le cercle inscrit &#8211; que l\u2019on d\u00e9forme par une application affine. Transpos\u00e9 dans une probl\u00e9matique de g\u00e9om\u00e9trie dynamique, on utilise une vraie conjugaison au sens o\u00f9 \u00e9tant donn\u00e9s des points de base dans le disque, que l\u2019on pourra modifier en manipulation directe, on envoie ces points dans une g\u00e9om\u00e9trie plus connue. On fait la figure voulue dans cette g\u00e9om\u00e9trie, et on la renvoie dans la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tudi\u00e9e, ici le disque de g\u00e9om\u00e9trie euclidienne born\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<p>Ce proc\u00e9d\u00e9 est aussi celui utilis\u00e9 par Beltrami pour \u00e9tudier la g\u00e9om\u00e9trie intrins\u00e8que de la pseudosph\u00e8re : il utilisait un disque interm\u00e9diaire. C\u2019est dans ce disque que Klein a vu le premier mod\u00e8le born\u00e9 de tout le plan hyperbolique. Tout, car la pseudosph\u00e8re de Beltrami ne repr\u00e9sentait qu\u2019une partie du plan hyperbolique. Ce th\u00e8me est abord\u00e9 dans le menu <strong>PS<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Du disque<\/strong> <strong>au plan<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-resized\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"774\" height=\"768\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/DroiteAlgColor.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-386\" style=\"width:307px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/DroiteAlgColor.png 774w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/DroiteAlgColor-300x298.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/DroiteAlgColor-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/DroiteAlgColor-768x762.png 768w\" sizes=\"(max-width: 774px) 100vw, 774px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Parmi les hom\u00e9omorphismes \u00e9l\u00e9mentaires qui permettent de passer du disque unit\u00e9 au plan euclidien, int\u00e9ressons nous \u00e0 celui-ci, \\( \\Phi(X,Y)=(x,y)=\\left( \\frac{X}{1-X^2-Y^2}, \\frac{Y}{1-X^2-Y^2}\\right)\\) . Le cercle d\u2019\u00e9quation \\(X^2+Y^2+uX+vY-1=0\\) coupe le cercle unit\u00e9 selon la droite \\(ux+vy=0\\), donc en deux points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s, et ce cercle est envoy\u00e9 par \\(\\Phi\\) sur la droite d\u2019\u00e9quation \\(ux+vy-1=0\\). Alors toute droite parall\u00e8le \\(ux+vy=w=0\\) est l\u2019image d\u2019un cercle qui coupe le cercle unit\u00e9 en les deux m\u00eames points : c\u2019est le parall\u00e9lisme comme pr\u00e9sent\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment.<\/p>\n\n\n\n<p>Ce m\u00eame calcul justifie \u00e9galement l\u2019orthogonalit\u00e9 comme on l\u2019a construit sur la base de l\u2019orthogonalit\u00e9 des supports en l\u2019origine. Tout ceci suppose que le cercle est d\u00e9sormais le cercle unit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Du plan au disque<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Pour aller de \\((x,y)\\) dans le plan euclidien \u00e0 \\((X,Y)\\) dans le disque unit\u00e9 tel que \\((x,y)=\\Phi(X,Y)\\), on commence par exprimer \\(R^2=x^2+Y^2\\) \u00e0 partir de \\(r^2=x^2+y^2\\) et ensuite, on a tout simplement \\(X=x(1-R^2)\\)et \\(Y=y(1-R^2)\\). Or la relation \\(\\Phi\\) se traduit par \\(R^2r+R-r=0\\), ce qui donne \\(R=\\frac{-1+\\sqrt{4r^2+1}}{2r}\\). On a donc le retour de la conjugaison dans le disque. Ce qui permet de construire le milieu de 2 points en trois objets interm\u00e9diaires (\\(A&rsquo;, B&rsquo;\\) et son milieu \\(I&rsquo;\\)), et le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) en 4 objets interm\u00e9diaires au lieu de plusieurs dizaines dans la version pr\u00e9c\u00e9dente. Cela permet aussi de construite les cercles et leurs intersections. Voici trois premi\u00e8res applicatio<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le th\u00e9or\u00e8me du pivot<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans un triangle \\(ABC, P, Q\\) et \\(R\\) sur les c\u00f4t\u00e9s, alors les cercles circonscrits, comme ci-dessous sont concourants.<br>C\u2019est une cons\u00e9quence de la caract\u00e9risation de la cocyclicit\u00e9 par les angles de droites. Nous verrons plus loin un cas particulier.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1CjU0hqEo__8zit1JFn0oYuQgdFsV2u_U\/view?usp=drive_link\" style=\"width:600px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemple des tangentes communes \u00e0 deux cercles<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>La construction est un classique de g\u00e9om\u00e9trie affine dans un contexte euclidien. On sait tracer les tangentes \u00e0 un cercle issues d\u2019un point ext\u00e9rieur. On sait que cela n\u00e9cessite l\u2019intersection de deux cercles. Les tangentes communes \u00e0 deux cercles (ici de rayons diff\u00e9rents) sont les tangentes \u00e0 l\u2019un des cercles issues de l\u2019un des centres d\u2019homoth\u00e9tie des deux cercles, ci dessous les points \\(I\\) et \\(J\\).<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1t-3etJ0_LvG0X9Z1IhwcS13TdwQLT7xa\/view?usp=drive_link\" style=\"width:600px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le th\u00e9or\u00e8me de Feurerbach<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Toujours sur les cercles, en introduisant les bissectrices, voici une figure plus consistante.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le cercle d\u2019Euler<\/strong> &#8211; le cercle des milieux (en bleu ci-dessous) est quadritangent au cercle inscrit (rouge) et <strong>aux trois cercles exinscrits<\/strong> (en marron fonc\u00e9).<br>Les bissectrices int\u00e9rieures sont roses, les ext\u00e9rieures vertes.<br>En pointill\u00e9 les droites perpendiculaires pour le point de contact du cercle avec le c\u00f4t\u00e9 du triangle.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/102JR08cHmFWblWIZZahuPN98PWvJdq8g\/view?usp=drive_link\n\" style=\"width:800px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Avant d\u2019aborder d\u2019autres g\u00e9om\u00e9tries, que notre g\u00e9om\u00e9trie standard, dans des mod\u00e8les euclidiens, voyons d\u00e9j\u00e0 notre g\u00e9om\u00e9trie euclidienne classique dans d\u2019autres mod\u00e8les que le plan usuel , et tout d&rsquo;abord, \u00e0 travers un \u0153illeton, dans un disque. 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