{"id":63,"date":"2021-10-15T13:32:29","date_gmt":"2021-10-15T09:32:29","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=63"},"modified":"2022-04-09T22:53:21","modified_gmt":"2022-04-09T18:53:21","slug":"gne","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=63","title":{"rendered":"Interpr\u00e9tations et mod\u00e8les"},"content":{"rendered":"\n

Le travail de Hilbert, dans ses fondements de la g\u00e9om\u00e9trie<\/strong> (1899) est \u00e0 l\u2019origine d\u2019une r\u00e9flexion en profondeur sur la d\u00e9marche axiomatique, de la g\u00e9om\u00e9trie en particulier. La d\u00e9finition des objets premiers de la g\u00e9om\u00e9trie a toujours pos\u00e9 probl\u00e8me. C\u2019est seulement \u00e0 partir de 1920, avec Geiger, que l\u2019axiomatique s\u2019est totalement d\u00e9barrass\u00e9e de ses implicites perceptifs, et en particulier de l\u2019incidence comme appartenance. D\u00e9sormais, ce que l\u2019on entend par les mots premiers (points, droites, incidence) rel\u00e8ve d\u2019une interpr\u00e9tation d\u2019un syst\u00e8me d\u2019axiomes<\/strong> quand on fait correspondre aux mots premiers du syst\u00e8me des objets math\u00e9matiques. On dit alors qu\u2019une interpr\u00e9tation est un mod\u00e8le<\/strong> quand tous les axiomes sont satisfaits.<\/p>\n\n\n\n

Dans tout mod\u00e8le d\u2019un syst\u00e8me d\u2019axiomes, tout th\u00e9or\u00e8me d\u00e9duit des axiomes est vrai et donc par contrapos\u00e9e, on a cette remarque \u00e9l\u00e9mentaire, mais efficace :<\/p>\n\n\n\n

Si un \u00e9nonc\u00e9 est faux dans un mod\u00e8le, alors il ne peut pas \u00eatre d\u00e9montr\u00e9 \u00e0 partir des axiomes.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Par exemple, si, dans un mod\u00e8le hyperbolique, on constate que \\(O, G\\) et \\(H\\) ne sont pas align\u00e9s, c\u2019est que, hyperboliquement, la droite d\u2019Euler n\u2019existe pas. Mais bien entendu, si on constate que les m\u00e9dianes sont toujours concourantes dans un mod\u00e8le, cela ne prouve rien pour la th\u00e9orie. C\u2019est juste l\u2019illustration d\u2019une propri\u00e9t\u00e9, si on sait par ailleurs qu\u2019elle est vraie.<\/p>\n\n\n\n

La question cruciale est celle de l\u2019incidence. Si on veut une axiomatique qui puisse traiter de g\u00e9om\u00e9tries aussi \u00e9loign\u00e9es que l\u2019elliptique et l\u2019hyperbolique, il faut sortir de l\u2019appartenance (car le p\u00f4le d’une droite n’appartient pas \u00e0 la droite mais lui est pourtant incident). L\u2019incidence est d\u00e9sormais une relation entre l\u2019ensemble des points et celui des droites, autrement dit une partie de leur produit cart\u00e9sien. Axiomatiquement, une droite n\u2019est pas n\u00e9cessairement un ensemble de points, m\u00eame si cela reste le plus souvent le cas. On en reparlera plus pr\u00e9cis\u00e9ment dans le menu Ell<\/strong> sur la g\u00e9om\u00e9trie elliptique.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9sentation des items du menu<\/h2>\n\n\n\n

Dans les items suivants de ce menu, on aborde la notion de mod\u00e8les de mani\u00e8re surprenante, tout en restant \u00e9l\u00e9mentaire, car nous allons voir deux mod\u00e8les born\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie plane euclidienne standard.<\/p>\n\n\n\n

Mod\u00e8le DE<\/strong> (pour D<\/strong>isque E<\/strong>uclidien). Trois items du menu sont consacr\u00e9 \u00e0 cet item. Le troisi\u00e8me d\u00e9crit une analyse \u00ab\u00a0absolue\u00a0\u00bb de la construction euclidienne du probl\u00e8me de Malfatti. Ce sera un fil rouge de ces menus. On reprendra la construction dans le cas hyperbolique, avec les trilat\u00e8res et m\u00eame sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Mod\u00e8le 3D born\u00e9<\/strong> : la sph\u00e8re \u00e9point\u00e9e<\/p>\n\n\n\n

Ce choix est motiv\u00e9 par le fait que ces mod\u00e8les interviennent dans les mod\u00e8les non euclidiens (horisph\u00e8re de Lobatchevsky et Bolya\u00ef). Ce sera l\u2019occasion de parler de quelques notions qui serviront ult\u00e9rieurement dans les g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes.<\/p>\n\n\n\n

Les deux derniers items de ce menu sont consacr\u00e9s aux g\u00e9om\u00e9tries finies<\/p>\n\n\n\n

Quelques configurations finies<\/strong> propose des manipulations dynamiques en g\u00e9om\u00e9trie finie sur les configurations de Pappus, de Desargues et pr\u00e9pare l’item suivant <\/p>\n\n\n\n

STS(13) – G\u00e9om\u00e9trie hyperbolique finie<\/strong> est le seul item de ce menu \u00e0 aborder un mod\u00e8le hyperbolique. Avant cela, on traite de STS(9) qui est un mod\u00e8le du plan euclidien d’ordre 3 (9 points 12 droites), le plus petit plan euclidien possible. Pour ces deux syst\u00e8mes, on propose plusieurs figures dynamiques.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Le travail de Hilbert, dans ses fondements de la g\u00e9om\u00e9trie (1899) est \u00e0 l\u2019origine d\u2019une r\u00e9flexion en profondeur sur la d\u00e9marche axiomatique, de la g\u00e9om\u00e9trie en particulier. La d\u00e9finition des objets premiers de la g\u00e9om\u00e9trie a toujours pos\u00e9 probl\u00e8me. C\u2019est seulement \u00e0 partir de 1920, avec Geiger, que l\u2019axiomatique s\u2019est […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/63"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=63"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/63\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3569,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/63\/revisions\/3569"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=63"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}