{"id":6073,"date":"2023-06-13T17:16:12","date_gmt":"2023-06-13T13:16:12","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=6073"},"modified":"2025-12-22T10:28:50","modified_gmt":"2025-12-22T06:28:50","slug":"axiomatique-de-bachmann-plongement-projectif-3-3-polarite","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=6073","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann – Plongement projectif (3\/3) – Polarit\u00e9"},"content":{"rendered":"\n

Les droites id\u00e9ales \u00e9tant d\u00e9finies, reste \u00e0 installer la polarit\u00e9. Bachmann distingue deux grands cas :
\u2022 celui o\u00f9 l’axiome du rectangle est v\u00e9rifi\u00e9, qu’il appelle le \u00ab\u00a0cas singulier\u00a0\u00bb (revoir la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries<\/a>). Ce cas est plus simple \u00e0 cause de la conservation des couples (p\u00f4le, polaire) par les demi-rotations.
\u2022 celui du cas dit \u00ab\u00a0ordinaire\u00a0\u00bb o\u00f9 l’axiome du rectangle n’est pas v\u00e9rifi\u00e9, plus complexe \u00e0 traiter. Comme nous illustrons son propos avec la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, c’est ce cas \u00ab\u00a0ordinaire\u00a0\u00bb que nous allons aborder dans cette page.<\/p>\n\n\n\n

Construction plus g\u00e9n\u00e9rique des demi-rotations produisant une
droite id\u00e9ale propre associ\u00e9e \u00e0 une droite id\u00e9ale<\/h2>\n\n\n\n

Avant cela, revenons sur les constructions des droites id\u00e9ales propres associ\u00e9es aux droites id\u00e9ales. En effet, dans la page pr\u00e9c\u00e9dente sur les droites id\u00e9ales<\/a>, nous avions toujours une demi-rotation \\(H_{uv}\\) donn\u00e9e pr\u00e9alablement, ce qui d\u00e9terminait enti\u00e8rement la droite id\u00e9ale propre \\(H_{uv}(a)\\) pour une droite \\(a\\) donn\u00e9e, alors que la d\u00e9finition dit qu’il doit exister une demi-rotation<\/em> \\(H_{uv}\\) telle que …<\/p>\n\n\n\n

Dans cette section, nous allons utiliser la richesse de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique pour r\u00e9aliser des figures plus ouvertes \u00e0 la variation, en particulier o\u00f9 la demi-rotation est \u00e0 finaliser. On se propose ainsi de construire l’unique demi-rotation \\(H_{uv}\\) qui convient \u00e0 une configuration o\u00f9 un point id\u00e9al hyperbolique de la droite id\u00e9ale propre image est donn\u00e9 pr\u00e9alablement.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sous forme de mini narration de recherche, commen\u00e7ons par le cas le plus simple, celui o\u00f9 la droite \\(a=(a_1a_2)\\) coupe le cercle horizon en \\(iM_1\\) et \\(iM_2\\).<\/p>\n\n\n\n

Le point \\(O\\) est donn\u00e9, a priori consid\u00e9r\u00e9 comme fixe dans la th\u00e9orie. On se donne deux point id\u00e9aux – sur le cercle horizon, \\(u\\) et \\(M\\) : \\(u\\) pour que \\((Ou)\\) soit une premi\u00e8re droite de la demi-rotation, et \\(M\\) pour que la droite hyperbolique, \u00e0 chercher, \\(d=(MN)\\) soit la partie hyperbolique de la droite \\(g(d)\\) telle que \\(g(d)=H_{uv}(a)\\), o\u00f9 bien entendu il faut aussi construire la droite \\(v\\) solution.<\/p>\n\n\n\n

Dans ce contexte la construction est tr\u00e8s simple.
\u2022 construction du point \\(N\\)<\/strong> : on sait que \\(d=(MN)\\) contient le pied de la perpendiculaire \u00e0 la partie hyperbolique de \\(a\\), \u00e0 savoir la droite hyperbolique \\((iM_1iM_2)\\) issue de \\(O\\). C’est le point \\(I\\) ci-contre. La droite \\(d\\) est donc la droite hyperbolique \\((IM)\\), ce qui donne le point id\u00e9al \\(N\\) cherch\u00e9.
\u2022 construction de la droite \\((Ov)\\)<\/strong>, not\u00e9e \\((Ov_i)\\) ci-contre (\\(i\\) pour \u00ab\u00a0int\u00e9rieur\u00a0\u00bb au sens o\u00f9 la droite \\((a_1a_2)\\) coupe l’horizon). Le cercle hyperbolique de centre \\(O\\) passant par \\(I\\) coupe la droite hyperbolique \\((MN)\\) en le point \\(I^{uv}\\), par une propri\u00e9t\u00e9 d\u00e9j\u00e0 largement utilis\u00e9e dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes de la construction de l’image d’une droite par une demi-rotation. Ayant \\(I^u\\) (par inversion) et \\(I^{uv}\\), la droite cherch\u00e9e \\((Ov_i)\\) est la m\u00e9diatrice de ces deux points.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure finale suivante, on pourra d\u00e9placer \\(u\\) pour voir que l’angle \\(uOv_i\\) est constant. On a construit l’image \\(Huvk= H_{uv_i}(K)\\) d’un point \\(K\\) de la droite \\((a_1a_2)\\). <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Toujours dans ce contexte o\u00f9 la droite id\u00e9ale \\(a\\) coupe le cercle horizon, on reprend la construction sp\u00e9cifique – obtenue par une macro r\u00e9alis\u00e9e dans les figures de la page pr\u00e9c\u00e9dente – quand \\(H_{uv}(K)\\) est \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle \\(C_{uv}\\) d\u00e9fini \u00e0 cette page<\/a> et utilis\u00e9 \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle que \\(K\\) \u00e9tant un point de la droite affine \\((a_1a_2)\\), quand il est entre \\(iM_1\\) et \\(iM_2\\), on le projette sur la partie propre de la droite, en \\(K_{dp}\\) dont l’image est le milieu de \\(K_{dp}\\) et \\(K_{dp}^{uv}\\), point encore not\u00e9 \\(H_{uv}(K)\\) obtenu comme intersection du segment et de la m\u00e9diatrice des deux points. (les deux en orange ci-contre).<\/p>\n\n\n\n

On a aussi ajout\u00e9 dans cette illustration le cercle \\(C_{uv}\\) dont l’int\u00e9rieur est l’image du plan hyperbolique par la demi-rotation \\(H_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n

Abordons maintenant le cas o\u00f9 la droite \\(\\mathbf{a=(a_1a_2)}\\) ne coupe pas le cercle horizon. <\/strong><\/p>\n\n\n\n

En fait nous allons proposer une construction g\u00e9n\u00e9rale du point \\(N\\), \u00e9l\u00e9mentaire, qui fonctionne aussi pour le cas pr\u00e9c\u00e9dent, d’o\u00f9 la d\u00e9marche de \u00ab\u00a0mini narration de recherche\u00a0\u00bb pour la partie pr\u00e9c\u00e9dente, puisque nous avons nous-m\u00eame commenc\u00e9 par ce cas simple, avant d’arriver \u00e0 la construction suivante. <\/p>\n\n\n\n

Cette page, \u00e9tant consacr\u00e9e \u00e0 la polarit\u00e9, nous allons simplement d\u00e9crire la construction retenue. La preuve g\u00e9n\u00e9rale de cette construction sera l’objet d’un des nombreux prochains articles de blog relatifs \u00e0 ce menu sur l’axiomatique de Bachmann. On s’int\u00e9resse \u00e0 la construction du point \\(N\\) de l’illustration de gauche. L’illustration de droite montre qu’elle fonctionne aussi dans le cas o\u00f9 la droite \\(a=(a_1a_2)\\) coupe le cercle horizon.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La m\u00e9diatrice de \\(O\\) et de son inverse \\(invO\\) par rapport au cercle horizon coupe la droite \\(a\\) en \\(X\\). On note \\(invX\\) son inverse par rapport \u00e0 l’horizon. La perpendiculaire \u00e0 \\((X \\, O_{hz})\\) en \\(invX\\) coupe la droite \\(a\\) en \\(CtrJ\\). Le point \\(N\\) est la seconde intersection de \\((M \\, CtrJ)\\) avec l’horizon. On appelle \\(J\\) le pied de la perpendiculaire issue de \\(O\\), \u00e0 la droite hyperbolique de centre euclidien \\(CtrJ\\). Alors – c’est ce qu’il faut montrer – le pied de la perpendiculaire \u00e0 la droite \\((MN)\\) issue de \\(O\\) est l’image de \\(J\\) par la demi-rotation qui envoie la droite id\u00e9ale \\(a\\) en la droite id\u00e9ale propre \\(g(MN)\\), autrement dit \\(H_{uv}(J)\\). Ce qui d\u00e9termine \\(J^{uv}\\) et donc la seconde droite \\((Ov_e)\\) m\u00e9diatrice de \\(J^{uv}\\) et \\(J^u\\). Enfin on note \\(Huvke= H_{uv_e}(K)\\) l’image de \\(K\\) par \\(H_{uv_e}\\).<\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration de droite, on voit l’on pourrait red\u00e9finir le point \\(I\\) comme l’intersection des droites hyperboliques \\((MN)\\) et \\((iM_1iM_2)\\).<\/p>\n\n\n\n

La figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n