{"id":5956,"date":"2023-05-22T10:26:18","date_gmt":"2023-05-22T06:26:18","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5956"},"modified":"2025-12-22T09:08:58","modified_gmt":"2025-12-22T05:08:58","slug":"axiomatique-de-bachmann-plongement-projectif-2-3-les-droites-ideales","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=5956","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann – Plongement projectif (2\/3) – Les droites id\u00e9ales"},"content":{"rendered":"\n

Bien entendu, il faut avoir lu la premi\u00e8re page<\/a> sur le plongement projectif de Bachmann pour aborder celle-ci. Le figures utilis\u00e9es dans cette page sont soit trop grandes, soit accompagn\u00e9es de longs commentaires pour \u00eatre manipul\u00e9es dans la page elle-m\u00eame. On renvoie donc syst\u00e9matiquement \u00e0 la manipulation de chaque figure en ligne dans un autre onglet pour que cela soit plus confortable d’utilisation. D’o\u00f9 aussi les commentaires parfois d\u00e9taill\u00e9s de ces figures pour \u00eatre un peu autonome.<\/p>\n\n\n\n

Quelques consid\u00e9rations techniques pr\u00e9alables<\/h2>\n\n\n\n

On rappelle que l’objectif de ces pages sur le plongement projectif est seulement d’illustrer, dynamiquement, la d\u00e9marche g\u00e9n\u00e9rale de Bachmann dans l’environnement du mod\u00e8le hyperbolique du disque de Poincar\u00e9. Dans ce contexte, pour aborder plus finement les concepts de Bachmann, on va aller plus en d\u00e9tail sur certains r\u00e9sultats qui, s’ils n’ont pas d’int\u00e9r\u00eat th\u00e9oriques particuliers, vont \u00eatre utiles pour la mise en \u0153uvre des figures.<\/p>\n\n\n\n

Le lieu des centre des droites tangentes \u00e0 un cercle hyperbolique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On commence par quelque chose qui semble bien \u00e9loign\u00e9 de la probl\u00e9matique initiale, mais un peu plus loin, nous serons amen\u00e9 \u00e0 utiliser des droites hyperboliques tangentes au cercle \\(C_{uv}\\). Voici une synth\u00e8se de la construction du lieu des centres euclidiens de ces droites. Une page de blog reviendra … un jour … sur ce r\u00e9sultat, par ailleurs assez classique, et dont une variante est parfois utilis\u00e9e, par exemple dans le cadre des polygones r\u00e9guliers hyperboliques.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-dessous, cas o\u00f9 la conique est une hyperbole avec M sur chaque branche.<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Retour sur la construction de l’image d’un pinceau par une demi-rotation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On commence par simplifier la construction de l’axe (\u00e9ventuel) de l’image d’un pinceau par une demi-rotation.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette figure, la bissectrice est construite comme la droite du pinceau \\((d, d^{uv})\\) passant par \\(O\\) ce qui fait qu’elle existe dans l’illustration ci-dessous \u00e0 gauche. Le point nomm\u00e9 \\(D_{uv}\\) n’est pas l’image de \\(D\\) par \\(uv\\).
En bas \u00e0 droite, on illustre le premier r\u00e9sultat mentionn\u00e9 dans la page pr\u00e9c\u00e9dente : l’image d’un pinceau \u00e0 centre est \u00e0 centre, ou encore, avec le vocabulaire de Bachmann pour le plongement : l’image d’un pinceau propre est un pinceau propre.<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

En pratique, c’est cette construction, adapt\u00e9e pour pouvoir \u00eatre transform\u00e9e en macro, qui va \u00eatre utilis\u00e9e dans la suite des constructions. En particulier, les logiciels actuels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique permettent de construire un unique point qui est, selon les circonstances, soit le point \\(C_{int}\\), soit le point \\(C_{ext}\\).<\/p>\n\n\n\n

Caract\u00e9risation du type de pinceau image en rapport \u00e0 \\(C_{uv}\\)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Reprenons la figure pr\u00e9c\u00e9dente, en ajoutant le cercle \\(C_{uv}\\). Dans l’illustration de gauche, l’image du pinceau par \\(H_{uv}\\) est \u00e0 centre, de centre \\(C_{int}\\), intersection de la perpendiculaire commune \u00e0 \\(d\\) et \\(d^{uv}\\) et de la droite du pinceau \\(\\mathscr{P}_{d \\, d^{uv}}\\) passant par \\(O\\), aussi axe de sym\u00e9trie de \\((d,d^{uv})\\). A droite l’image est un pinceau \u00e0 axe , de point id\u00e9al impropre \\(C_{ext}\\). La droite rose n’est plus la perpendiculaire commune \u00e0 \\(d\\) et \\(d^{uv}\\) mais la perpendiculaire \u00e0 la bissectrice (axe de sym\u00e9trie) issue de \\(O\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Il est alors clair que le pinceau image devient sans support quand les points \\(d_1\\) et \\(d_2^{uv}\\) sont confondus. Or, \u00e0 gauche les axes \\(d\\) et \\(d^{uv}\\) ne rencontrent pas le cercle \\(C_{uv}\\) alors qu’\u00e0 droite, ils rencontrent le cercle. On peut alors, dans un premier temps, conjecturer qu’\u00e0 la fronti\u00e8re, dans le cas d’un pinceau image sans support, ces deux axes sont tangents au cercle \\(C_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n

Construction d’un pinceau \u00e0 axe dont l’image est sans support<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le principe de la construction est r\u00e9sum\u00e9 dans les commentaires de cette figure. On justifie aussi pourquoi, si \\(d_1=d_2^{uv}\\), l’axe \\(d\\) est tangent \u00e0 \\(C_{uv}\\)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Cette propri\u00e9t\u00e9 devient alors une propri\u00e9t\u00e9 caract\u00e9ristique du type de pinceau image<\/strong> d’un pinceau \u00e0 axe. Il est :
\u2022 \u00e0 centre, si \\(d\\) ne coupe pas \\(C_{uv}\\),
\u2022 \u00e0 axe, si \\(d\\) coupe \\(C_{uv}\\),
\u2022 sans support, si \\(d\\) est tangent \u00e0 \\(C_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n

Les droites id\u00e9ales propres<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

On aborde d\u00e9sormais les concepts propos\u00e9s par Bachmann. Il commence par d\u00e9finir les droites id\u00e9ales propres<\/strong> \\(g(a)\\) <\/em>associ\u00e9es aux droites \\(a\\) du plan m\u00e9trique comme indiqu\u00e9 sur l’illustration suivante. On notera que Bachmann d\u00e9fini ces droites id\u00e9ales propres comme ensemble de points … alors que ce n’est pas le cas dans le cadre initial de son axiomatique.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (pour voir le d\u00e9placements des points \\(I\\) et \\(J\\)).<\/p>\n\n\n\n

Les demi-rotations conservent les droites id\u00e9ales propres : \\(H_{uv}(g(d)) = g(H_{uv}(d))\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C’est bien entendu le principal r\u00e9sultat th\u00e9orique. L’ensemble des illustrations de ce r\u00e9sultat tient dans cette figure qu’il est pr\u00e9f\u00e9rable de manipuler pour mieux s’approprier ce concept de droite id\u00e9ale propre.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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En effet \u00e0 l’ouverture, les axes \\(\\alpha\\) et \\(\\gamma\\) existent, et les points id\u00e9aux associ\u00e9s \\(H_{uv}(C)\\) et \\(H_{uv}(A)\\) sont donc impropres, et ils sont bien sont bien sur \\(g(H_{uv}(d))\\) (sur les demi-droites).<\/p>\n\n\n\n

Ensuite on agit sur le point \\(C\\) pour que \\(\\gamma\\) disparaisse et que le pinceau \\(H_{uv}(\\mathscr{P}_c)\\) devienne un pinceau \u00e0 centre. Pour visualiser dynamiquement ce que devient \\(H_{uv}(C)\\) on peut afficher un pinceau effectif d’axe \\(c\\) avec les droites \\(p\\) et \\(q\\). Le point \\(H_{uv}(C)\\), centre du pinceau image, devient un point id\u00e9al propre comme on le voit dans cette illustration : <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\\(H_{uv}(C)\\), centre du pinceau \\(H_{uv}(\\mathscr{P}_c)\\), o\u00f9 le pinceau \u00e0 axe <\/em> \\(\\mathscr{P}_{c}\\)<\/em> est<\/em> repr\u00e9sent\u00e9 par \\(\\mathscr{P}_{pq}\\). <\/em>
On v\u00e9rifie que \\(H_{uv}(C)\\) est bien sur la partie propre de \\(g(H_{uv}(d))\\), soit \\(H_{uv}(d)\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Un bouton permet aussi de visualiser l’image du point \\(B\\) de \\(d\\). Ce point \\(H_{uv}(B)\\) est construit comme milieu de \\([B\\; B^{uv}]\\) obtenu par m\u00e9diatrice. Il est – \u00e9videmment – sur \\(H_{uv}(d)\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sur cette figure, on a aussi d\u00e9plac\u00e9 \\(A\\) pour que \\(H_{uv}(A)\\) devienne un point id\u00e9al propre.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure g\u00e9n\u00e9rique<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

\\(H_{uv}\\) surjective sur l’ensemble des pinceaux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

M\u00eame si ce r\u00e9sultat semble clair quand il est illustr\u00e9 et interpr\u00e9t\u00e9 dans un mod\u00e8le aussi riche que le disque de Poincar\u00e9 – en particulier disposant de la continuit\u00e9 – en r\u00e9alit\u00e9 ce que l’on vient d’illustrer montre essentiellement la simple inclusion \\(H_{uv}(g(d)) \\subset g(H_{uv}(d))\\). Pour avoir l\u2019\u00e9galit\u00e9, il faut s\u2019assurer que \\(H_{uv}\\) est surjective sur l\u2019ensemble des pinceaux, ce qui n\u2019est pas une \u00e9vidence en soi dans le cadre aussi g\u00e9n\u00e9ral de cette axiomatique. Voir le Aufbau<\/em> 6.2. xi p. 98 pour les deux \u00e9ditions de 1959 et 1973 pour la d\u00e9monstration.<\/p>\n\n\n\n

Le disque de Poincar\u00e9 comme \u0153illeton conforme sur le plan projectif de Klein<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ces figures ont un c\u00f4t\u00e9 un peu hallucinant, mais c\u2019est didactiquement int\u00e9ressant : ne pas simplement prolonger des segments par les droites, ajouter, par le choix de la conformit\u00e9 du mod\u00e8le, une singularit\u00e9 sur la fronti\u00e8re, \u00e9vite, en terme de repr\u00e9sentation, de \u00ab glisser dans le plongement \u00bb, et force \u00e0 la r\u00e9flexion. Le disque de Poincar\u00e9 peut ainsi \u00eatre per\u00e7u comme un \u0153illeton circulaire ayant des propri\u00e9t\u00e9s optiques d\u00e9formantes particuli\u00e8res, rendant la partie de ce plan comme un plan hyperbolique conforme. D’un autre point de vue – en particulier en regardant l’approche alternative de Daniel Perrin<\/a> – on peut aussi penser que choisir ce mod\u00e8le pour illustrer le plongement, en cr\u00e9ant cette singularit\u00e9, apporte de l\u2019opacit\u00e9 – et une singuli\u00e8re complication – dans un domaine o\u00f9 tout est pourtant simple et tellement plus lisse.<\/p>\n\n\n\n

Les droites id\u00e9ales<\/h2>\n\n\n\n

Comme nous avons introduit les demi-rotations dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, il est naturel d\u2019appeler d\u00e9sormais droite id\u00e9ale<\/strong> tout ensemble \\(d\\) de points id\u00e9aux pour lequel il existe une demi-rotation \\(H_{uv}\\) de centre \\(O\\), d\u00e9sormais fix\u00e9(1)<\/sup>, telle que <\/em>\\(H_{uv}(d)\\) <\/em>soit une droite id\u00e9ale propre.<\/p>\n\n\n\n

Dans le cadre de nos illustrations avec le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9 – compte tenu qu\u2019il s\u2019agit d\u2019une \u00ab seconde axiomatisation \u00bb et que l’on connait le mod\u00e8le projectif de Klein – il est clair qu\u2019avec cette d\u00e9finition, les droites id\u00e9ales sont, sauf cas particuliers, les droites projectives du plan, en pratique pour les constructions les droites affines.<\/p>\n\n\n\n

(1) m\u00eame si bien entendu, \\(O\\) est manipulable dans les figures dynamiques. Avec cette d\u00e9finition des droites propres, il s’agit de v\u00e9rifier que, dans toutes les configurations, pour le point \\(O\\) donn\u00e9, il existe toujours deux droites \\(u\\) et \\(v\\) qui font qu’une droite id\u00e9ale \\(d\\) donn\u00e9e va \u00eatre transform\u00e9e en droite id\u00e9ale propre par \\(H_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n

Premi\u00e8res explorations<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On quitte un temps le d\u00e9roul\u00e9 g\u00e9n\u00e9ral de Bachmann pour explorer dynamiquement le concept de droites id\u00e9ales dans le mod\u00e8le hyperbolique du disque de Poincar\u00e9. Dans cette premi\u00e8re illustration, \\(M\\) est un point de la droite affine \\(a=(a_1a_2)\\). Comme point id\u00e9al (ici toujours impropre car la droite \\(a\\) ne rencontre pas le cercle horizon) il est associ\u00e9 \u00e0 un pinceau \u00e0 axe \\(\\mathscr{P}(M)\\) dont l’image est l’axe \\(H_{uv}(\\mathscr{P}(M))\\), associ\u00e9 au point id\u00e9al impropre \\(H_{uv}(M)\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On a juste construit le lieu de \\(H_{uv}(M)\\) quand le point \\(M\\) d\u00e9crit la droite \\(a\\). On v\u00e9rifie (ou on constate selon …) d\u00e9j\u00e0, que ce lieu est bien une droite id\u00e9ale propre, puis les propri\u00e9t\u00e9s propos\u00e9es dans la figure.<\/p>\n\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> exploratoire<\/em><\/strong> dans un nouvel onglet. En particulier, dans cette figure, toujours conserver l’ellipse.
\u2022 Dans un premier temps ne pas couper le cercle horizon par \\(a\\),
\u2022 Puis couper le cercle horizon par \\(a\\) pour observer que la figure n’est pas (du tout) finalis\u00e9e, en particulier \\(H_{uv}(M)\\) n’existe plus quand \\(M\\) devient un point hyperbolique (un point id\u00e9al propre) … qui n’est d’ailleurs pas bien plac\u00e9. C’est ce que nous allons am\u00e9liorer maintenant.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure suivante, la droite id\u00e9ale propre, image de la droite id\u00e9ale, n’est plus un lieu mais elle est construite, la figure est donc plus fluide. Si la droite affine \\(a\\) coupe le cercle horizon, il est clair que la droite id\u00e9ale passant par les points \\(a_1\\) et \\(a_2\\) n’est plus la droite affine, mais devient la droite id\u00e9ale propre associ\u00e9e : c’est l’effet \u00ab\u00a0\u0153illeton d\u00e9formant du mod\u00e8le conforme\u00a0\u00bb mentionn\u00e9 plus haut. On s’attend bien entendu (vu la section pr\u00e9c\u00e9dente) \u00e0 ce que la demi-rotation sur cette droite id\u00e9ale donne bien le point image attendu. Voyons cela en d\u00e9tail.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ci-dessus le point \\(H_{uv}(M_{dp})\\) est construit comme le milieu de \\(M_{dp}\\) et \\(M_{dp}^{uv}\\), milieu obtenu par intersection du segment et de la m\u00e9diatrice (orange).<\/em>
Il est bien sur la partie \u00ab\u00a0droite hyperbolique\u00a0\u00bb de l’image g\u00e9n\u00e9rale \\(H_{uv}(a)\\).<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u2022 \u00e0 gauche, la situation \u00e0 l’ouverture de la figure, la droite \\(a\\) coupe le cercle horizon, \\(M\\) est un point id\u00e9al impropre ainsi que \\(H_{uv}(M)\\).
\u2022 \u00e0 droite, quand le droite \\(a\\)<\/em><\/em> ne coupe plus l’ellipse toute la construction dispara\u00eet, il faut alors rapprocher l\u00e9g\u00e8rement les points \\(u\\) et \\(v\\) pour agrandir l’ellipse.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir et manipuler cette figure<\/a> dans un nouvel onglet. L\u00e0 encore conserver la conique sous forme d’ellipse, le traitement de l’hyperbole sera abord\u00e9 ult\u00e9rieurement.<\/p>\n\n\n\n

On notera une bonne robustesse de la figure quand l’arc de cercle de la droite id\u00e9ale propre devient un segment passant par le centre du cercle (m\u00eame s’il n’y passe pas \u00ab\u00a0exactement\u00a0\u00bb dans une manipulation \u00e0 la souris, bien entendu).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans certains cas, la figure peut fonctionner quand la conique est une hyperbole, mais il y a globalement un travail d’orientation \u00e0 effectuer qui n’\u00e9tait pas n\u00e9cessaire dans le cas born\u00e9 de l’ellipse.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La conique des lieux des centres des droites tangentes \u00e0 \\(C_{uv}\\) est ici une hyperbole (car \\(O_{hz}\\) est ext\u00e9rieur \u00e0 \\(C_{uv}\\)).
La figure pr\u00e9c\u00e9dente est encore correcte dans cette configuration, en particulier car l’intersection de la droite \\(a\\) avec l’hyperbole est sur une m\u00eame branche.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Cas d’une droite id\u00e9ale tangente \u00e0 l’horizon<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans le plongement projectif de Bachmann, une droite id\u00e9ale \\(a\\) peut \u00eatre tangente \u00e0 l’horizon. Alors, par d\u00e9finition m\u00eame du cercle \\(C_{uv}\\), sa droite id\u00e9ale propre \\(g(a)\\) est, elle, tangente \u00e0 \\(C_{uv}\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Quand \\(M\\) passe par le point de contact de \\(a\\) et de l’horizon, \\(H_{uv}(M)\\) est au point de contact de \\(g(a)\\) et de \\(C_{uv}\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

C’est une grande diff\u00e9rence avec l’approche de Daniel Perrin<\/a> pour qui les tangentes au cercle unit\u00e9 (dans son vocabulaire – ce serait ici le cercle horizon), comme droites isotropes associ\u00e9es \u00e0 la forme quadratique utilis\u00e9e, ne sont pas des droites de son plongement, et donc l’axiome d’incidence n’est pas v\u00e9rifi\u00e9 pour les points de ces droites, ce qu’il annonce d’ailleurs tr\u00e8s vite :<\/p>\n\n\n\n

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Il nous semble, en effet, qu\u2019il est pr\u00e9f\u00e9rable de renoncer \u00e0 cet axiome dans un premier temps, m\u00eame si le poids des traditions s\u2019y oppose. Cette g\u00e9n\u00e9ralisation ne concerne d\u2019ailleurs que le cas hyperbolique pour lequel elle revient \u00e0 ajouter aux points du disque de Klein les points ext\u00e9rieurs. Dans ce cas, on verra que le surcro\u00eet d\u2019efficacit\u00e9 obtenu en utilisant la polarit\u00e9 vaut bien quelques concessions.<\/p>\nDaniel Perrin \u2013 Partie 4 \u2013 pages 22-23 (liens dans l’article mentionn\u00e9)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

C’est une des raisons pour lesquelles son approche ne peut pas s’inscrire dans le cadre de l’axiomatique de Bachmann … et c’est aussi pour cela qu’elle est si int\u00e9ressante.<\/p>\n\n\n\n

Ajout d’une droite id\u00e9ale<\/strong> sp\u00e9cifique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Nous reprenons l’expos\u00e9 de Bachmann. En anticipant un peu la suite – en seconde lecture, sachant que Bachmann s’inspire de Hjelmslev – il va y avoir un point qui ne pourra pas avoir de polaire : c’est le point \\(O\\). Voyons cela, et comment Bachmann aborde cette question. Rappelons le r\u00e9sultat que nous avons nomm\u00e9 R1<\/strong> dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, mis en \u00e9vidence pr\u00e9cis\u00e9ment pour traiter cette situation :<\/p>\n\n\n\n

R1<\/strong> \u2013 Si un pinceau est \u00e0 axe dont l\u2019axe \\(d\\) passe par le point \\(O\\), alors son image est aussi un pinceau \u00e0 axe, d\u2019axe \\(H_{uv}(d)\\).<\/p>\n\n\n\n

Il en r\u00e9sulte qu’il existe un ensemble de points <\/em>qui ne peut avoir comme image par \\(H_{uv}\\) une droite id\u00e9ale propre, et ceci pour aucun couple de droites \\((u, v)\\) s\u00e9cantes en \\(O\\). C\u2019est l’ensemble des pinceaux dont les points id\u00e9aux sont les pinceaux \u00e0 axe dont l\u2019axe passe par \\(O\\). En effet d’apr\u00e8s R1<\/strong>, l’image par \\(H_{uv}\\) de ces points appartient au m\u00eame ensemble : il est globalement invariant par \\(H_{uv}\\). D’o\u00f9 la d\u00e9finition suivante.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Bachmann appelle alors \u00ab\u00a0polaire<\/strong> de \\(\\mathscr{P}_O\\)\u00a0\u00bb cette nouvelle droite id\u00e9ale. C’est pr\u00e9cis\u00e9ment pour cela qu’elle a \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9e. <\/p>\n\n\n\n

La droite de l’infini<\/strong> du plongement projectif<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Tout d’abord, dans notre illustration par le disque de Poincar\u00e9, les droites affines construites par le logiciel sont projectives au sens o\u00f9 elles ont un point \u00e0 l’infini \u00e0 cause du diam\u00e8tre du cercle horizon qui appartient \u00e0 chaque type de pinceau, \u00e0 centre, \u00e0 axe ou m\u00eame sans support. Avec la question de la droite de l’infini c’est l’occasion de se pencher sur ces points.<\/p>\n\n\n\n

Dans le cadre de notre illustration, la droite de l’infini est obtenue par l’image des diam\u00e8tres du cercle horizon, consid\u00e9r\u00e9s comme axe de pinceaux. Il suffit de reprendre la construction propos\u00e9e en d\u00e9but de cette page de l’image d’un pinceau \u00e0 axe par une demi-rotation, mais en refaisant la figure manuellement car aucune macro-construction ne peut fonctionner puisque les macros attendent deux arcs de cercle quand il y a un arc et un segment. On utilise alors les propri\u00e9t\u00e9s propres au mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n

Exemple<\/strong> : soit \u00e0 construire l’axe de sym\u00e9trie d’un diam\u00e8tre \\((MN)\\) et de son image \\((M^{uv}N^{uv})\\) quand les deux sont non s\u00e9cants (cas o\u00f9 \\(H_{uv}(M)\\) est un point id\u00e9al propre, int\u00e9rieur \u00e0 l’horizon), il suffit de prendre la perpendiculaire commune \u00e0 \\((MN^{uv})\\) et \u00e0 \\((NM^{uv})\\) … et elle passe bien par \\(O\\). On trouve ainsi des propri\u00e9t\u00e9s simples pour toutes les situations, dont la perpendiculaire commune \u00e0 \\((MN)\\) (segment) et \\((M^{uv}N^{uv})\\) (arc de cercle) qui est n\u00e9cessaire pour construire \\(H_{uv}(M)\\) comme ci-dessous \u00e0 gauche.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche : la droite de l’infini est une droite ext\u00e9rieure au disque horizon. L’axe du pinceau image de l’axe \\((MN)\\) est la bissectrice ext\u00e9rieure de \\((MN)\\) et \\((M^{uv}N^{uv})\\) s\u00e9cants en \\(J\\).
\u00e0 droite, la droite de l’infini est une droite id\u00e9ale propre. Dans cette configuration, \\(H_{uv}(M)\\) est l’intersection de la perpendiculaire commune \u00e0 \\((MN)\\) et \\((M^{uv}N^{uv})\\) (verte) et de leurs bissectrice (marron).<\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

On remarquera que la droite de l’infini est une droite id\u00e9ale propre ssi \\(O_{Hz}\\) est ext\u00e9rieur au cercle \\(C_{uv}\\), les points id\u00e9aux de la partie hyperbolique de cette droite \u00e9tant obtenus \u00e0 partir des tangentes \u00e0 \\(C_{uv}\\) issues de \\(O_{Hz}\\) (illustration de gauche).<\/p>\n\n\n\n

On notera aussi (cela reste \u00e0 montrer, ce n’est qu’une conjecture ici) que, dans ce mod\u00e8le, la droite de l’infini a comme direction la droite \\((OO_{Hz})\\).<\/p>\n\n\n\n

Plan projectif d’incidence<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les droites id\u00e9ales \u00e9tant d\u00e9finies, Bachmann montre ensuite que la structure d\u2019incidence r\u00e9alis\u00e9e est bien celle un plan projectif, \u00e0 savoir que :
a)  Par deux points id\u00e9aux distincts il passe une et une seule droite id\u00e9ale
b)  Deux droites distinctes ont toujours un et un seul point d\u2019intersection
c) Il existe 4 points id\u00e9aux du plan dont trois quelconques ne sont jamais incidents \u00e0 une m\u00eame droite id\u00e9ale.<\/p>\n\n\n\n

Les demi-rotations sont des injections de l\u2019ensemble des points id\u00e9aux dans lui-m\u00eame. Mais plus pr\u00e9cis\u00e9ment, il y a bijection entre l\u2019ensemble des points du plan m\u00e9trique et l\u2019ensemble des points id\u00e9aux propres du plan projectif ainsi qu\u2019entre l\u2019ensemble des droites du plan m\u00e9trique et l\u2019ensemble des droites id\u00e9ales propres : ainsi nous avons bien un plongement du plan m\u00e9trique dans le plan projectif d\u2019incidence.<\/p>\n\n\n\n

Construction dynamique de droites id\u00e9ales<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour des constructions dynamiques, il convient de pouvoir construire une droite id\u00e9ale passant par deux points, en particulier quand l’un est un point id\u00e9al impropre (ext\u00e9rieur au cercle) et l’autre un point id\u00e9al propre (int\u00e9rieur au cercle). La construction se fait tout simplement en utilisant la puissance d’un point par rapport \u00e0 un cercle et … la formule dite \u00ab\u00a0de la m\u00e9diane\u00a0\u00bb :
\\(MA^2-MB^2=2\\overrightarrow{AB}.\\overrightarrow{IM}\\) o\u00f9 \\(I\\) est le milieu de \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

Cela permet d’illustrer la version \u00ab\u00a0plongement projectif\u00a0\u00bb du th\u00e9or\u00e8me de Pappus, que Bachmann montre \u00e0 nouveau (bien plus loin dans son ouvrage) dans ce nouveau plan projectif, avec l’utilisation de l’antiappariemment comme d\u00e9j\u00e0 abord\u00e9 dans cette page<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Dans cette illustration on a trac\u00e9 la droite id\u00e9ale \\((C_1C_2)\\). Elle passe par \\(C_3\\)<\/em> que ce point id\u00e9al soit propre (\u00e0 droite) ou impropre (\u00e0 gauche)<\/em>.
En pratique \\(C_3\\) est un point unique (obtenu par programmation Javascript)<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On peut alors ajouter une autre droite id\u00e9ale, celle passant par \\(C_{1ext}\\) (cach\u00e9 sous le point \\(C_1\\)<\/em><\/em>) et \\(C_2\\) pour permettre de faire sortir (voir les d\u00e9tails dans la figure) \u00e0 la fois \\(C_1\\) et et m\u00eame \\(C_3\\) du cercle horizon.<\/em><\/p>\n\n\n\n

On n’est pas surpris de ces illustrations, c’est juste le Pappus projectif classique, regard\u00e9 \u00e0 travers l\u2019\u0153illeton \u00ab\u00a0\u00e0 d\u00e9formation conforme\u00a0\u00bb du disque de Poincar\u00e9. Ce qui est amusant, c’est de r\u00e9aliser cette figure … depuis l\u2019\u0153illeton lui-m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure <\/a>du plongement de Pappus dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Compl\u00e9ment<\/strong> : le d\u00e9tail de la construction d’une droite id\u00e9ale propre compl\u00e8tement dynamique<\/em> est propos\u00e9 dans la premi\u00e8re section de cet article<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

L’incidence \u00e9tant acquise, il reste encore un gros morceau pour Bachmann, celui de l’instauration de la polarit\u00e9. C’est l’objet de la troisi\u00e8me page<\/a> sur ce plongement projectif.<\/p>\n\n\n\n

Note technique<\/strong> : il manque un paragraphe – et surtout une figure – sur les droites id\u00e9ales dans le cas o\u00f9 la conique des centres est une hyperbole. J’ai choisi de reprendre ce point, un peu plus technique, apr\u00e8s la r\u00e9alisation des figures sur la polarit\u00e9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Bien entendu, il faut avoir lu la premi\u00e8re page sur le plongement projectif de Bachmann pour aborder celle-ci. Le figures utilis\u00e9es dans cette page sont soit trop grandes, soit accompagn\u00e9es de longs commentaires pour \u00eatre manipul\u00e9es dans la page elle-m\u00eame. On renvoie donc syst\u00e9matiquement \u00e0 la manipulation de chaque figure […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5956"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5956"}],"version-history":[{"count":74,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5956\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8376,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5956\/revisions\/8376"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5956"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}