\u00ab Pour passer de la notion d\u2019un espace limit\u00e9 \u00e0 celle de l\u2019espace projectif, il suffit d\u2019adjoindre aux points qui composent l\u2019espace limit\u00e9 de nouveaux \u00e9l\u00e9ments convenablement d\u00e9finis auxquels on a donn\u00e9 le nom de points id\u00e9aux. […] On les d\u00e9finit en g\u00e9n\u00e9ralisant le concept de \u00ab gerbes de droites \u00bb […] Lorsque les gerbes ne se rencontrent pas toutes en un m\u00eame point de la r\u00e9gion limit\u00e9e de l\u2019espace envisag\u00e9, on dira que la gerbe est impropre pour cette r\u00e9gion et que ses droites ont en commun un point id\u00e9al. \u00bb <\/em><\/p>\nPrincipes de g\u00e9om\u00e9trie \u2013 Encyclop\u00e9die des sciences math\u00e9matiques.<\/em><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n Dans ces quelques pages, on aborde la question g\u00e9n\u00e9rale de ce plongement des plans m\u00e9triques de Bachmann essentiellement d\u2019un point de vue culturel, sans reprendre ses d\u00e9monstrations, parfois longues ou fastidieuses. Il s\u2019agit de proposer ici des illustrations dynamiques des notions mises en jeu, en particulier parce que la g\u00e9om\u00e9trie dynamique permet \u00e0 la fois de rendre compte facilement des questions rencontr\u00e9es mais aussi – sur le cas hyperbolique – d’explorer des r\u00e9sultats plus pr\u00e9cis que ceux de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale, essentiellement \u00e0 titre d’illustration et d’appropriation des concepts propos\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n Bachmann rappelle r\u00e9guli\u00e8rement que sa d\u00e9marche s\u2019inscrit dans une continuit\u00e9 historique : Tout d\u2019abord, le premier mod\u00e8le plan de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un cercle (de Klein-Beltrami<\/a>), totalement projectif, a \u00e9t\u00e9 une source de repr\u00e9sentation significative pour ce plongement : les sym\u00e9tries orthogonales hyperboliques \u00e9taient d\u00e9j\u00e0 les homologies harmoniques qui d\u00e9finissaient l\u2019orthogonalit\u00e9. Ensuite Dehn a effectivement op\u00e9r\u00e9 ce plongement pour le cas hyperbolique dans le cas r\u00e9el (avec des distances). Le travail de Bachmann a \u00e9t\u00e9 d\u2019avoir su adapter, dans le contexte d\u2019axiomatique absolue g\u00e9n\u00e9rale (et alg\u00e9brique), les outils d\u00e9j\u00e0 mis en place par ses pr\u00e9d\u00e9cesseurs, comme les demi-rotations de Hjelmslev auxquelles est consacr\u00e9e cette page.<\/p>\n\n\n\n Pour cette partie, Bachmann distingue les pinceaux \u00e0 centre des autres en nommant les premiers \u00ab pinceaux propres \u00bb, et les autres (\u00e0 axe ou sans support) \u00ab impropres \u00bb. Nous avons vu, lors de la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries<\/a>, que dans le cas elliptique tous les pinceaux sont propres. Ainsi le processus de plongement par les pinceaux comme points id\u00e9aux n\u2019apporte rien en terme de nouveaux points. Et c\u2019est inutile dans ce cas puisqu\u2019un plan elliptique m\u00e9trique est d\u00e9j\u00e0 un plan projectif m\u00e9trique.<\/p>\n\n\n On pourrait donc se placer dans la suite, sans nuire \u00e0 l\u2019exhaustivit\u00e9 du proc\u00e9d\u00e9, dans une situation qui exclut le cas elliptique, plus pr\u00e9cis\u00e9ment dans le cas o\u00f9, par un point, il n\u2019existe toujours qu\u2019une seule perpendiculaire \u00e0 une droite, puisque le cas elliptique est le seul qui ne v\u00e9rifie pas cette condition. Ce n\u2019est certes pas la d\u00e9marche de Bachmann, au contraire, puisqu\u2019il a cherch\u00e9 une g\u00e9n\u00e9ralisation \u00ab absolue \u00bb \u00e0 la d\u00e9marche initiale de Hjelmslev.<\/p>\n\n\n\n Les pinceaux \u00e9tant les nouveaux points du plan projectif, il convient de les retrouver dans notre mod\u00e8le DP<\/strong>. Les pinceaux propres correspondent aux points int\u00e9rieurs au cercle. Les pinceaux \u00e0 axe s\u2019identifient au centre euclidien de l\u2019axe qui peut \u00eatre \u00e0 l\u2019infini dans n\u2019importe quelle direction si l\u2019axe est un diam\u00e8tre du cercle, les pinceaux sans support sont identifi\u00e9s aux points du cercle : on a d\u00e9j\u00e0 tous les points du plan id\u00e9al.<\/p>\n\n\n\n Il s’agit de construire les droites, puis la polarit\u00e9. Pour illustrer la d\u00e9marche de Bachmann, on se placera syst\u00e9matiquement dans le plan hyperbolique comme ci-dessus puisqu\u2019on y dispose des trois types de pinceaux. M\u00eame si nous allons continuer \u00e0 illustrer les principes <\/em>de ce plongement dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, pour d\u00e9gager les id\u00e9es g\u00e9n\u00e9rales de Hjelmslev et de Bachmann, pla\u00e7ons nous un instant dans le mod\u00e8le de Klein, plus intuitif pour le plongement projectif, puisque construit sur des arguments projectif : on a envie que les droites hyperboliques (cordes du disque KB) se prolongent en les droites usuelles du plan. Ce proc\u00e9d\u00e9 naturel rendra compte de ce que Bachmann va appeler les droites id\u00e9ales propres<\/em>. La question est comment atteindre les autres ? Comment ramener, pour ce qui est de nos illustrations, les droites qui ne rencontrent pas le disque [du mod\u00e8le] \u00e0 partir de manipulations qui sont internes au plan hyperbolique ?<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n Bachmann propose l’illustration ci-contre (Aufbau p.91<\/em>) comme situation fondamentale: \\(A’\\) est l\u2019image de \\(A\\) dans une rotation de centre \\(O\\). Hjelmslev s\u2019est alors int\u00e9ress\u00e9 au milieu \\(A^*\\) de \\([AA’]\\). Si \\(O\\) est, dans nos mod\u00e8les (KB<\/a> et DP<\/a>), le centre de l\u2019horizon, les sym\u00e9tries orthogonales sont, dans les deux cas, des sym\u00e9tries euclidiennes, et le passage de \\(A\\) \u00e0 \\(A^*\\) est une similitude de rapport \\(\\displaystyle \\frac{1}{cos \\theta}\\), si l\u2019angle de la rotation est \\(2\\theta\\). Et donc, si on sait donner un sens \u00e0 cette transformation, d\u2019un point de vue absolu, on voit que l\u2019on pourra \u00ab ramener \u00bb toute(2)<\/sup> droite du plan sur une droite qui rencontre le cercle par un choix convenable de l\u2019angle de la rotation (puisque la similitude est de rapport aussi petit que l\u2019on veut) : une droite id\u00e9ale sera alors l\u2019image r\u00e9ciproque d\u2019une droite id\u00e9ale propre. Bien entendu ceci n\u2019est qu\u2019une repr\u00e9sentation. Il n\u2019y aura pas de similitude, ni d\u2019angle ou de rapport. Mais cette repr\u00e9sentation est suffisamment \u00e9clairante pour que Bachmann la propose pour illustrer ce passage de \\(A\\) \u00e0 \\(A^*\\) que Hjelmslev a appel\u00e9 demi-rotation<\/em>.<\/p>\n\n\n\n (2) Sauf la droite de l\u2019infini si \\(O\\) est le centre du cercle : dans les mod\u00e8les, le centre de l\u2019horizon a un r\u00f4le trop particulier. Pour \u00e9viter cette situation, on choisira \\(O\\) quelconque autre que le centre de l’horizon.<\/p>\n\n\n\n De m\u00eame, le point de vue ponctuel illustr\u00e9 ci-dessus (approche de Hjelmselv), ne va pas convenir dans l\u2019axiomatique de Bachmann dont les objets premiers sont les droites. Il va donc falloir l\u2019adapter. L’organisation de cette partie est donc claire. Elle est r\u00e9dig\u00e9e en deux partie (pour des manipulations plus fluides des figures) :<\/p>\n\n\n\n Cette page<\/p>\n\n\n\n Les pages suivantes<\/p>\n\n\n\n Bachmann commence par alg\u00e9briser le concept de demi-rotation de Hjelmslev. Le contexte g\u00e9n\u00e9ral est celui de deux droites \\(u\\) et \\(v\\) non orthogonales et s\u00e9cantes en un point \\(O\\), de sorte que \\(uv \\neq O\\) (mais aussi \\(uv \\neq 1\\)). Le point \\(O\\) peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme fixe dans toute cette partie : le plongement se fait \u00e0 partir d\u2019un point origine donn\u00e9, et on montre ensuite, \u00e0 la fin, qu\u2019il ne d\u00e9pend pas de ce point.<\/p>\n\n\n\n Notations et d\u00e9finition<\/strong><\/p>\n\n\n\n On notera \\(H_{uv}\\) une demi-rotation (\\(H\\) venant aussi bien de l’allemand Halb<\/em> que de l’anglais Half<\/em>).![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/Pinceaux_Propres_Impropres.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/Def_DemiRotation.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n
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Les demi-rotations<\/h2>\n\n\n\n
On notera, comme usuellement, \\(H_{uv}(g)\\) ou \\(H_{uv}(A)\\) l’image d’une droite ou d’un point par une demi-rotation. En effet, la notation exponentielle correspond \u00e0 une conjugaison dans l\u2019ensemble des isom\u00e9tries du groupe de Bachmann. Ici \\(H_{uv}\\) n\u2019est pas une isom\u00e9trie, nous utilisons donc une autre notation, r\u00e9servant l\u2019exponentiation aux seules isom\u00e9tries.<\/p>\n\n\n