{"id":5743,"date":"2023-05-01T00:15:50","date_gmt":"2023-04-30T20:15:50","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5743"},"modified":"2025-12-21T17:27:50","modified_gmt":"2025-12-21T13:27:50","slug":"axiomatique-de-bachmann-antiappariement-et-applications-medianes-brianchon-pappus","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=5743","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann – Antiappariement et applications (m\u00e9dianes, Brianchon, Pappus)"},"content":{"rendered":"\n

Comme signal\u00e9 dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes, les divers pinceaux de droites remarquables ont \u00e9t\u00e9 abord\u00e9s dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes, sauf celui des m\u00e9dianes. Dans les menus pr\u00e9c\u00e9dents (DP<\/strong> – ELL<\/strong> – PS<\/strong> – PSH<\/strong>), nous avons largement v\u00e9rifi\u00e9 exp\u00e9rimentalement que les m\u00e9dianes non seulement sont en pinceau, mais aussi sont concourantes(1)<\/sup>. Pour montrer ce r\u00e9sultat, Bachmann utilise un autre th\u00e9or\u00e8me important (d\u00fb \u00e0 Hessenberg \u2013 1905), sur une notion que nous allons maintenant aborder, l\u2019antiappariement. Mais avant cela commen\u00e7ons par un lemme technique sur les pinceaux.<\/p>\n\n\n\n

(1) On a aussi vu, par exemple dans cette page<\/a> (section \u00ab\u00a0le plan affine d’ordre 3\u00a0\u00bb), qu’il y a un cas – et on verra ult\u00e9rieurement que c’est le seul – o\u00f9 les m\u00e9dianes ne sont pas concourantes, c’est le cas euclidien sur un corps de caract\u00e9ristique 3.<\/p>\n\n\n\n

Le lemme des 9 droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Proposition<\/strong> : on consid\u00e8re 6 isom\u00e9tries \\(\\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3, \\beta_1, \\beta_2, \\beta_3\\) telles que
\u2022 \\(\\alpha_1 \\neq \\alpha_2\\) et \\(\\beta_1 \\neq \\beta_2\\)
\u2022 huit des produits deux \u00e0 deux sont des droites (par exemple sauf \\(\\alpha_3 \\beta_3\\)) Alors le neuvi\u00e8me produit, \\(\\alpha_3 \\beta_3\\), est aussi une droite.<\/p>\n\n\n

\\(\\begin{array}{|c | c | c| c|}
\n\\hline
\n\\text{ isom\u00e9tries} & \\alpha_1 & \\alpha_2 & \\alpha_3 \\\\ \\hline
\n\\beta_1 & \\Delta & \\Delta & \\Delta \\\\ \\hline
\n\\beta_2 & \\Delta & \\Delta & \\Delta \\\\ \\hline
\n\\beta_3 & \\Delta & \\Delta \\\\ \\hline
\n\\end{array}\\)<\/center><\/p>\n\n\n\n

Bachmann r\u00e9sume la situation dans ce tableau en disant que si, pour deux groupes de trois isom\u00e9tries (avec les hypoth\u00e8ses de distinction), 8 des 9 cases du tableau sont des droites, la neuvi\u00e8me aussi.<\/p>\n\n\n\n

Preuve du lemme<\/em> : si \\(\\beta_3 = \\beta_1\\), le r\u00e9sultat est vrai puisque \\(\\alpha_3 \\beta_1\\) est d\u00e9j\u00e0 une droite par hypoth\u00e8se. On se place d\u00e9sormais dans le cas o\u00f9 \\(\\beta_3 \\neq \\beta_1\\). On peut alors \u00e9crire deux s\u00e9ries d\u2019\u00e9galit\u00e9s :<\/p>\n\n\n\n

\\((E_1) \\; \\; (\\alpha_1 \\beta_1)^{-1} (\\alpha_1 \\beta_2) = (\\alpha_2 \\beta_1)^{-1} (\\alpha_2 \\beta_2) = (\\alpha_3 \\beta_1)^{-1} (\\alpha_3 \\beta_2) = \\beta_1^{-1}\\beta_2\\)
\\((E_2) \\; \\; (\\alpha_1 \\beta_1)^{-1} (\\alpha_1 \\beta_3) = (\\alpha_2 \\beta_1)^{-1} (\\alpha_2 \\beta_3) = \\beta_1^{-1}\\beta_3\\)<\/p>\n\n\n\n

Or par hypoth\u00e8se, les 8 parenth\u00e8ses diff\u00e9rentes de ces \u00e9galit\u00e9s repr\u00e9sentent des droites, donc sont \u00e9gales \u00e0 leurs inverses, et les produits des parenth\u00e8ses deux \u00e0 deux ne sont pas \u00e9gaux \u00e0 1 car \\(\\alpha_1 \\neq \\alpha_2\\) pour \\((E_1)\\) et \\(\\beta_1 \\neq \\beta_2\\) pour \\((E_2)\\). On peut donc r\u00e9\u00e9crire \u2013 avec des notations \u00e9videntes – ces \u00e9galit\u00e9s sous la forme : <\/a>\\((E_1) \\; \\; d_1d’_1=d_2d’_2=d_3d’_3\\) et \\((E_2) \\; \\; \\delta_1 \\delta’_1 = \\delta_2 \\delta’_2\\).<\/p>\n\n\n\n

Alors, les produits de \\((E_1)\\) sont ceux du pinceau \\(\\mathscr{P}_{d_1d’_2}=\\mathscr{P}_{d_1d_2}\\) puisque \\(d_1 \\neq d_2\\) (par \\(\\alpha_1 \\neq \\alpha_2\\)). Et comme \\(d_1 = \\delta_1\\) et \\(d_2 = \\delta_2\\), si on consid\u00e8re le pinceau pr\u00e9c\u00e9dent et \\(\\mathscr{P}_{\\delta_1 \\delta’_1}\\), on a deux droites distinctes, \\(d_1 \\neq d_2\\), dans deux pinceaux, ces pinceaux sont confondus (Th 18<\/a>) : ainsi ces huit droites sont dans un seul pinceau. <\/p>\n\n\n\n

Enfin, avec \\(\\alpha_3 \\beta_3 = (\\alpha_3 \\beta_1)(\\alpha_1 \\beta_1)^{-1}(\\alpha_1 \\beta_3\\), comme produit de trois droites en pinceau, \\(\\alpha_3 \\beta_3\\) est aussi une droite, qui plus est, du m\u00eame pinceau.<\/p>\n\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me d’antiappariement<\/h2>\n\n\n\n

Les axiomes de tri-r\u00e9flexions \u00e9tant pos\u00e9s et les propri\u00e9t\u00e9s des pinceaux \u00e9tablies<\/a>, il est naturel de s\u2019int\u00e9resser \u00e0 cette relation entre la droite \\(c\\) d\u2019un pinceau \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) et le produit \\(d=acb\\) du m\u00eame pinceau. Cette correspondance, Bachmann l\u2019appelle l\u2019antiappariement<\/strong>(2)<\/sup>. Il note alors \\(c^*\\) la droite anti-appari\u00e9e de \\(c\\) dans \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) ou plus g\u00e9n\u00e9ralement, puisque la relation est sym\u00e9trique, le couple \\((c, c^*)\\) de droites antiappari\u00e9es dans<\/strong><\/em> \\(\\mathscr{P}_{ab}\\)).<\/p>\n\n\n\n

(2) Gegenpaarung<\/em> en allemand ou counterpairing<\/em> en anglais.<\/p>\n\n\n\n

Ce vocabulaire \u00ab dans<\/strong><\/em> \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) \u00bb (qui signifie qu\u2019il s\u2019agit d\u2019une propri\u00e9t\u00e9 de pinceau<\/em>) est justifi\u00e9 par la remarque suivante : si deux droites \\(u\\) et \\(u^*\\) sont antiappari\u00e9es dans \\(\\mathscr{P}_{ab}\\), alors l\u2019antiappariement de \\((c, c^*)\\) est aussi vrai dans <\/em>\\(\\mathscr{P}_{uu^*}\\) = \\(\\mathscr{P}_{ab}\\).<\/p>\n\n\n\n

En effet, supposons que \\(u^*=aub\\) et \\(c^*=acb\\). Alors \\(ucu^*=ucaub\\). Mais comme les droites \\(a, c, u\\) sont dans \\(\\mathscr{P}_{ab}\\), \\(uca\\) est une droite \u00e9gale \u00e0 \\(auc\\) et donc \\(ucu^*=acb=c^*\\). Ainsi, pour deux couples de droites antiappari\u00e9es \\((u, u^*)\\) et \\((v, v^*)\\) d’un m\u00eame pinceau, on a toujours \\(u^*=vuv^*\\), soit en particulier \\(uv^*=vu^*\\).<\/p>\n\n\n\n

On peut alors parler de couple antiappari\u00e9 \u00e0 un autre<\/strong> (dans un m\u00eame pinceau). On dira aussi que \\(u^*\\) et \\(v^*\\) sont antiappari\u00e9es \u00e0 \\(u\\) et \\(v\\) pour un m\u00eame antiappariement<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Un premi\u00e8re cons\u00e9quence \u2013 que l\u2019on mettra en relation avec l\u2019isogonalit\u00e9 \u2013 est que si un couple \\((u, u^*)\\) admet une bissectrice \\(b \\; (bu^*=ub)\\), alors tout couple \\((v, v^*)\\) anti-appari\u00e9 \u00e0 \\((u, u^*)\\) admet la droite \\(b\\) <\/em>comme bissectrice.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> d’antiappariement<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soient \\(a, b, c\\) un trilat\u00e8re, \\(a’, b’, c’\\) trois droites en pinceau telles que chaque triplet \\((a’, b, c)\\), \\((b’, c, a)\\) et \\((c’, a, b)\\) soient aussi en pinceau, et \\(a^{ \\prime \\prime}\\), \\(b^{ \\prime \\prime}, c^{ \\prime \\prime}\\) les antiappari\u00e9es \u00e0 \\(a’, b’\\) et \\(c’\\) pour un m\u00eame antiappariement. On suppose de plus que \\(a a^{ \\prime \\prime} \\neq b b^{ \\prime \\prime}\\).<\/p>\n\n\n\n

Alors toute droite \\(g\\) en pinceau avec \\((a, a^{ \\prime \\prime})\\) et \\((b, b^{ \\prime \\prime})\\) le sera aussi avec \\((c, c^{ \\prime \\prime})\\).<\/p>\n\n\n\n

L\u2019illustration ci-contre, o\u00f9 les points repr\u00e9sentent les hypoth\u00e8ses (et la conclusion en rose) sur les pinceaux est propos\u00e9e par Bachmann comme repr\u00e9sentation mn\u00e9motechnique du th\u00e9or\u00e8me : en particulier on distingue les droites initiales \\(a, b, c\\) \u00ab en trilat\u00e8re \u00bb c\u2019est-\u00e0-dire non en faisceau. En g\u00e9n\u00e9ral, elles ne sont pas non plus \u00ab en triangle \u00bb comme ici.<\/p>\n\n\n\n

La repr\u00e9sentation de Bachmann est plus succincte, avec d’autres notations – et sans couleur – mais avec les \u00e9galit\u00e9s d’angles dues aux \u00e9galit\u00e9s ci-dessous (et le fait que l’on repr\u00e9sente les pinceaux par des points, donc par des pinceaux \u00e0 centre).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Preuve du th\u00e9or\u00e8me <\/em>: les d\u00e9finitions des antiappari\u00e9es de \\(a’, b’, c’\\) pour le pinceau \\(\\mathscr{P}_{a’b’}\\) s\u2019\u00e9crivent : \\(a’b’= b^{ \\prime \\prime}c^{ \\prime \\prime}, \\; b’c’ = c^{ \\prime \\prime}b^{ \\prime \\prime}\\) et \\(c’a’ = a^{ \\prime \\prime}c^{ \\prime \\prime}\\). On peut alors compl\u00e9ter le tableau de produit d\u2019isom\u00e9tries suivant :<\/p>\n\n\n

\\(\\begin{array}{|c | c | c| c|}
\n\\hline
\n\\text{ligne \/ colonne} & c^{\\prime \\prime}a’b & c^{\\prime \\prime}b’a & g \\\\ \\hline
\na a^{\\prime \\prime} & ac’b & (c’a’b’)^a & a a^{\\prime \\prime}g\\\\ \\hline
\nb b^{\\prime \\prime} & (c’b’a’)^b & bc’a & b b^{\\prime \\prime}g\\\\ \\hline
\nc c^{\\prime \\prime} & ca’b & cb’a \\\\ \\hline
\n\\end{array}\\)<\/center><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

D\u2019apr\u00e8s les hypoth\u00e8ses, les 8 produits d\u2019isom\u00e9tries sont des droites. V\u00e9rifions que nous sommes dans les hypoth\u00e8ses du lemme des 9 droites (\\(\\alpha_1 \\neq \\alpha_2\\) et \\(\\beta_1 \\neq \\beta_2\\)) : \\(a a^{ \\prime \\prime} \\neq b b^{ \\prime \\prime}\\) est une hypoth\u00e8se du th\u00e9or\u00e8me. On ne peut avoir \\(c^{\\prime \\prime}a’b = c^{\\prime \\prime}b’a\\) car alors, on aurait \\(a\u2019bc = b\u2019ac\\) ce produit appartenant aux deux pinceaux distincts (\\(a, b, c\\) est un trilat\u00e8re) \\(\\mathscr{P}_{bc}\\), \\(\\mathscr{P}_{ac}\\), il serait \u00e9gal \u00e0 \\(c\\), ce qui aboutit \u00e0 \\(a\u2019 = a\\) et \\(b\u2019 = b\\), en contradiction avec l\u2019hypoth\u00e8se que \\(ca\u2019b\\) soit une droite et \\(a, b, c\\) un trilat\u00e8re. Ainsi, on a bien \\(c^{\\prime \\prime}a’b \\neq c^{\\prime \\prime}b’a\\). Le lemme des 9 droites est donc applicable, le produit dans la derni\u00e8re case (\\(cc^{\\prime \\prime}g\\)) est une droite et donc \\(g\\) est aussi en pinceau avec \\(c\\) et \\(c^{\\prime \\prime}\\).<\/p>\n\n\n\n

Le pinceau des m\u00e9dianes<\/h2>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me : <\/strong>soit \\(ABC\\) trois points non align\u00e9s, \\(I\\) et \\(J\\) des milieux de \\((A, B)\\) et de \\((B,C )\\) \u2013 soit \\(C=B^J\\) et \\(A=B^I\\) \u2013 et \\(v\\) la(3)<\/sup> droite incidente \u00e0 \\(B\\) appartenant au pinceau de droites \\(\\mathscr{P}_{uv}\\) en notant \\(u=(AJ)\\) et \\(w=(CI)\\).
Alors il existe un point \\(K\\), incident \u00e0 \\(v\\), et tel que \\(C^K=A\\).<\/p>\n\n\n\n

(3) A priori on devrait \u00e9crire ici une <\/em>droite, car on ne sait pas que \\(B\\) ne peut pas \u00eatre incidente \u00e0 \\(u\\) et \\(w\\) simultan\u00e9ment. Ce sera montr\u00e9 au cours de la d\u00e9monstration : r\u00e9sulte du fait que \\(A, B, C\\) ne sont pas align\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Ce th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9cise que s\u2019il existe des milieux pour deux couples de points, le troisi\u00e8me couple admet aussi un milieu et les trois m\u00e9dianes sont en pinceau.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Preuve du th\u00e9or\u00e8me<\/em> : on construit les points \\(A_1=A^J, I_1=I^J\\) et \\(g=uJ\\) la perpendiculaire \u00e0 \\(u\\) en \\(J\\). Soit \\(s\\) la <\/em>perpendiculaire en \\(g\\) \u00e0 \\(I_1\\). Cette droite \\(s\\) est d\u00e9finie (ie elle est bien unique<\/em>) car \\(I_1\\) n\u2019est pas le p\u00f4le de \\(g\\). En effet \\(I^J=g\\) donnerait \\(I=g^J=g\\). Mais alors on pourrait \u00e9crire \\(C=B^J=B^{gu}=B^{Iu}=A^u=A\\). Or c\u2019est impossible car \\(A, B, C\\) sont distincts, puisque non align\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Alors on peut appliquer la r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me des milieux (Th 23 de cette page<\/a>) dans \\(AA_1C\\) : Tout d’abord \\(I_1\\) est milieu de \\(C\\) et \\(A_1\\). En effet, on a \\(C^{I_1}=C^{JIJ}=JIJCJIJ=JI.JCJ.IJ=JIC^JIJ=JIBIJ=JB^IJ=JAJ=A_1\\) . Par ailleurs \\(g\\), perpendiculaire \u00e0 \\((AA_1)\\) en un milieu de \\(A\\) et \\(A_1\\) est une m\u00e9diatrice, donc \\(s\\), perpendiculaire \u00e0 \\(g\\) en \\(I_1\\) coupe \\((AC)\\) en un milieu de \\(A\\) et \\(C\\). D\u2019o\u00f9 l\u2019existence d\u2019un point \\(K\\), de \\(s\\), milieu de \\(A\\) et \\(C\\) : \\(K \\mid s\\), \\(C^K=A\\) et donc \\(K \\mid b=(AC)\\).<\/p>\n\n\n\n

Reste \u00e0 montrer \u2013 l\u2019essentiel du th\u00e9or\u00e8me \u2013 que \\(K\\) est incident \u00e0 \\(v\\). Dans la suite, on note \\(a=(BC), \\; b=(CA)\\) et \\(c=(AB)\\).<\/p>\n\n\n\n

On consid\u00e8re maintenant \\(r\\) la <\/em>perpendiculaire \u00e0 \\(g\\) issue de \\(B\\). L\u00e0 encore \u00ab la \u00bb <\/em>car \\(B\\) n\u2019est pas le p\u00f4le de \\(g\\). En effet \\(B=g\\) conduit \u00e0 \\(B=g=g^J=B^J=C\\) ce qui n\u2019est pas vrai.<\/p>\n\n\n\n

Ainsi, les droites \\(u, r\\) et \\(s\\) sont en pinceau (\u00e0 axe, elles sont orthogonales \u00e0 \\(g\\)), alors les droites \\(u, r^u, s^u\\) sont aussi en pinceau (car \\(u^u=u\\)). Or \\(r^u\\) est la perpendiculaire \u00e0 \\(g\\) issue de \\(C\\) et \\(s^u\\) celle issue de \\(I\\). Comme \\(g\\) est stable par \\(u\\), les droites \\(u, r^u, s^u\\) sont les antiappari\u00e9es de \\(u, r, s\\) dans l\u2019antiappariement du pinceau des droites orthogonales \u00e0 \\(g\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

De plus \\(v\\) est en pinceau avec \\(u\\) et \\(w\\) d\u2019une part (hypoth\u00e8se sur \\(v\\)), et \\(c\\) et \\(r\\) d\u2019autre part \\(( \\in \\mathscr{P}_B)\\). Si on peut appliquer le th\u00e9or\u00e8me de l\u2019antiappariement, on aurait que \\(s, b \\), et \\(v\\) sont en pinceau.<\/p>\n\n\n\n

On peut appliquer le th\u00e9or\u00e8me dans le cas particulier o\u00f9 \\(c’\\) et \\(c^{\\prime \\prime}\\) (du th\u00e9or\u00e8me g\u00e9n\u00e9ral) sont confondues en la bissectrice des autres droites antiappari\u00e9es du pinceau : ci-contre, dans l’illustration de l’application du th\u00e9or\u00e8me, il y a 5 droites au lieu de 6 issues du point symbolique \\(a’b’c’=ur^us^u\\).<\/p>\n\n\n\n

Reste \u00e0 v\u00e9rifier la derni\u00e8re hypoth\u00e8se du th\u00e9or\u00e8me : \\(wu \\neq cr\\). Or \\(\\mathscr{P}_{cr}\\) est un pinceau centr\u00e9 sur \\(B\\), si les deux produits \u00e9taient \u00e9gaux on aurait \\(B \\mid u,w\\) ce qui aboutit \u00e0 \\(u=c\\) et donc que \\(A, B, J\\) sont align\u00e9s. Il en r\u00e9sulterait que \\(A, B, J\\) et \\(B^J\\) seraient align\u00e9s, soit que \\(A, B\\) et \\(C\\) seraient align\u00e9s, ce qui n\u2019est pas. <\/p>\n\n\n\n

On a donc bien \\(wu \\neq cr\\). Ainsi le th\u00e9or\u00e8me de l\u2019antiappariement est applicable et le produit \\(sbv\\) est une droite<\/em>. Mais cela ne suffit pas pour conclure. Car deux cas sont possibles :<\/p>\n\n\n\n

Soit \\(b \\neq s\\). <\/em>Alors, de \\(K \\mid b,s\\) il en r\u00e9sulte que le pinceau \\(\\mathscr{P}_{bs}\\) est \u00e0 centre \\(K\\) et donc que \\(K\\) est incident \u00e0 \\(v\\) : la droite \\(v\\) est bien la m\u00e9diane issue de \\(B\\), et les trois m\u00e9dianes sont en pinceau.<\/p>\n\n\n\n

Soit \\(b = s\\)<\/em><\/em>, cela signifie que \\(g\\) est aussi orthogonale \u00e0 \\(b\\) et donc qu\u2019il existe de \\(A\\) deux <\/em>perpendiculaires \u00e0 \\(g\\), car \\(b \\neq u\\) (sinon \\(B=C\\)). On sait que le seul cas o\u00f9 il n\u2019y a pas unicit\u00e9 de la perpendiculaire en un point est que le point est le p\u00f4le de la droite : dans ce cas, on a alors \\(A=g\\).<\/p>\n\n\n\n

D\u2019une part, cela prouve que nous sommes en g\u00e9om\u00e9trie elliptique (revoir l’axiome de polarit\u00e9<\/a> de la page sur la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries), et d\u2019autre part que le th\u00e9or\u00e8me est montr\u00e9 dans toute g\u00e9om\u00e9trie o\u00f9 l\u2019axiome de polarit\u00e9 n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9 … ce qui en fait beaucoup.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Premier cas particulier elliptique<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans le cas o\u00f9 \\(A=g\\), illustration ci-dessus o\u00f9 \\(J\\) est \u00e0 la fois sur la polaire de \\(A\\) et au milieu de \\(B\\) et \\(C\\), et on v\u00e9rifie que \\(I^J\\) est bien sur \\((BC)\\). On peut appliquer la m\u00eame d\u00e9marche en \\(I\\) pourvu que la perpendiculaire (encore not\u00e9e \\(g\\) ci-dessus) \u00e0 \\(w\\) en \\(I\\) ne soit pas la polaire de \\(C\\). Alors la preuve se transpose sans probl\u00e8me en \u00e9changeant les r\u00f4les des points \\((A, J)\\) et de ceux de \\((C, I)\\).<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure associ\u00e9e<\/a> \u00e0 cette illustration dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Reste \u00e0 traiter le cas o\u00f9 l\u2019on a simultan\u00e9ment \\(A=g=uJ\\) et \\(C=wI=h\\). Si on manipule la figure pr\u00e9c\u00e9dente pour se placer dans ce cas, on ne r\u00e9alise en fait qu’un cas particulier o\u00f9 les droites \\(a\\) et \\(c\\) sont confondues avec les polaires de \\(C\\) et \\(A\\). Par contre on observe d\u00e9j\u00e0 que \\(I_1\\) et \\(J_1\\) co\u00efncident.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le second cas particulier r\u00e9alis\u00e9 avec la figure pr\u00e9c\u00e9dente<\/em><\/p>\n\n\n\n

Mais on peut r\u00e9aliser une figure plus fine o\u00f9 \\(I\\) et \\(J\\) sont sur les polaires de \\(C\\) et \\(A\\) sans que les c\u00f4t\u00e9s du triangles soient eux m\u00eames ces polaires, dont voici une illustration.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le second cas particulier, dans son cas le plus g\u00e9n\u00e9rique. On agit sur \\(B\\) et \\(I\\) uniquement.
Bien entendu la figure ne se fait pas trivialement : \\(B\\) et \\(I\\) donn\u00e9s, on construit \\(A\\). \\(J\\) doit \u00eatre construit sur la polaire de \\(J\\) tout en ayant \\(C=B^J\\) sur la polaire de \\(I\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

On se place donc dans ce cas \\(A=g=uJ\\) et \\(C=wI=h\\) (illustration ci-dessus). Alors non seulement \\(I^J\\) mais aussi \\(J^I\\) sont sur la droite \\(b=(AC)\\). De plus ces deux points sont \u00e0 la fois sur \\(b\\) et sur \\((IJ)\\). Ces deux droites \u00e9tant distinctes (sinon \\(A, B, C\\) seraient align\u00e9s), leur intersection est r\u00e9duite \u00e0 un point et donc \\(I^J=J^I\\), not\u00e9 \\(IJ_1\\) dans la figure ci-dessus. En remarquant que \\(B \\neq J^I\\) car sinon \\(B\\) serait align\u00e9 \u00e0 \\(A\\) et \\(C\\), et de m\u00eame \\(B \\neq I^J\\) on peut alors \u00e9crire :<\/p>\n\n\n\n

\\(B^I=A=g \\) donc \\(B^I \\mid J\\) soit \\(B \\mid J^I\\). De m\u00eame\\(B^J= C= h \\) donc \\(B^J \\mid I\\) soit \\(B \\mid I^J\\)<\/p>\n\n\n\n

Soit alors \\(v_1\\) la polaire de \\(I^J = J^I\\) (et donc \\(v_1 = I^J = J^I\\)). Alors \\(v_1\\) est orthogonale \u00e0 \\((IJ)\\) et \\(b\\). De \\(B \\mid J^I\\) ci-dessus, il vient \\(B \\mid v_1\\), la droite \\(v_1\\) passe par \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

On peut \u00e9crire \\(J^{v_1}= v_1Jv_1 = (JIJ).J.(IJI)=I\\) soit \\(J^{v_1}=I\\). De m\u00eame, il vient \\(B^{Jv_1}=B^{IJ}=JIBIJ\\). Mais \\(B^I \\mid J\\) s\u2019\u00e9crit aussi \\(IBIJ=JIBI\\) et donc \\(B^{Jv_1}=IBI=B^I\\) soit \\(C^{v_1}=A\\).<\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9finitive \\((AJ)^{v_1}=(A^{v_1}J^{v_1})=(CI)\\) et donc \\(u^{v_1}=w\\). Il en r\u00e9sulte que les droites \\(u, v_1\\) et \\(w\\) sont en pinceau car de \\(v_1u=wv_1\\) il vient \\(uwv_1=uv_1u=v_1^u\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n

Comme \\(v\\) et \\(v_1\\) sont en pinceau avec \\(u\\) et \\(w\\) et chacune \u00e9tant incidente \u00e0 \\(B\\), par unicit\u00e9 de la droite d\u2019un pinceau incidente \u00e0 un point n\u2019appartenant aux deux droites, il en r\u00e9sulte que \\(v\\) et \\(v_1\\) sont confondues. Ainsi, dans ce cas particulier, \\(v\\) est aussi en pinceau avec \\(u\\) et \\(w\\).<\/p>\n\n\n\n

Ainsi les m\u00e9dianes de trois points, comme d\u00e9finies dans le th\u00e9or\u00e8me, sont toujours en pinceau. D\u2019une mani\u00e8re absolue nous ne pouvons pas aller plus loin (pr\u00e9ciser le type de pinceau) car nous avons vu un exemple (qui plus est euclidien) o\u00f9 les m\u00e9dianes sont en pinceau \u00e0 axe. <\/p>\n\n\n\n

En fait, il est clair que les m\u00e9dianes sont concourantes dans le cas elliptique puisqu\u2019il n\u2019existe qu\u2019un seul type de pinceau . Il faudrait alors montrer que les m\u00e9dianes sont concourantes dans le cas euclidien (sauf si la caract\u00e9ristique du corps associ\u00e9 est \u00e9gale \u00e0 3) et surtout \u2013 c\u2019est le plus d\u00e9licat – dans le cas hyperbolique. Les d\u00e9monstrations sont plus simples quand on se place dans une g\u00e9om\u00e9trie donn\u00e9e, avec ses axiomes et ses outils propres. <\/p>\n\n\n\n

Bachmann lui-m\u00eame ne montre le concours des m\u00e9dianes uniquement qu\u2019en appendice de son ouvrage, en particulier apr\u00e8s le plongement des plans m\u00e9triques dans un plan id\u00e9al projectif, et en utilisant ce plan id\u00e9al : l\u2019avantage est que le r\u00e9sultat est alors montr\u00e9 pour des g\u00e9om\u00e9tries un peu plus g\u00e9n\u00e9rales (semi-euclidiennes, semi-hyperboliques) qu\u2019en s\u00e9parant les g\u00e9om\u00e9tries elles-m\u00eames. Mais le prix a payer est assez cons\u00e9quent.<\/p>\n\n\n\n

Les th\u00e9or\u00e8mes de Brianchon et Pappus<\/h2>\n\n\n\n

L\u2019un des objectifs de Bachmann est de plonger toutes les g\u00e9om\u00e9tries produites par son axiomatique dans un plan projectif m\u00e9trique id\u00e9al, et retrouver ainsi, en les g\u00e9n\u00e9ralisant, les r\u00e9sultats de Dehn dans le cadre des g\u00e9om\u00e9tries m\u00e9triques (au sens de munis d\u2019une distance de Cayley). On se propose ici, comme application de l\u2019antiappariement, de voir deux des premiers th\u00e9or\u00e8mes fondamentaux qui donneront \u00e0 ce plongement les structures alg\u00e9briques attendues.<\/p>\n\n\n\n

Il s\u2019agit d\u2019explorer deux th\u00e9or\u00e8mes essentiels pour l\u2019alg\u00e9brisation dans le vocabulaire des pinceaux. On doit \u00e0 Hessenberg la d\u00e9monstration suivante (1930) du th\u00e9or\u00e8me absolu de Brianchon (et de Pappus) sur la base de son th\u00e9or\u00e8me de l\u2019antiappariement, preuve qu\u2019il place en parall\u00e8le de celle, affine, de Hilbert pour le th\u00e9or\u00e8me de Pappus (que Hilbert appelle de Pappus-Pascal).<\/p>\n\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Brianchon<\/strong> sur les pinceaux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soient deux pinceaux \u00e0 centre \\(A\\) et \\(B\\) compos\u00e9s de six droites \\(a_{i \\, (1 \\le i \\le 3)}\\) et \\(b_{j \\, (1 \\le j \\le 3)}\\) incidentes respectivement \u00e0 \\(A\\) et \\(B\\), aucune n\u2019\u00e9tant incidente aux deux points. Les pinceaux \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_i \\, b_j}}}\\) (\\(i \\neq j\\)) sont appel\u00e9s les sommets de l\u2019hexagramme. Par unicit\u00e9 de l\u2019intersection de deux pinceaux, les six sommets sont distincts et distincts des pinceaux \u00e0 centre \\(\\mathscr{P_\\mathit{A}}\\) et \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\) . Les pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{{a_i b_j}}}\\) et \\(\\mathscr{P_\\mathit{{a_j b_i}}}\\) sont dits oppos\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

On suppose d\u00e9sormais que les trois paires de faisceaux oppos\u00e9s ont chacun une intersection non vide et donc qu\u2019il existe trois droites appel\u00e9es diagonales de l\u2019hexagramme. On notera \\(c_k\\) la diagonale joignant les sommets \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_i b_j}}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_j b_i}}}\\) pour les permutations circulaires \\((i, j, k)\\) dans \\(\\{1, 2, 3\\}\\).<\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me de Brianchon<\/strong> : Sous ces hypoth\u00e8ses, si deux diagonales ont un point commun \\(C\\), alors les trois diagonales sont concourantes en \\(C\\).<\/strong><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustration du th\u00e9or\u00e8me de Brianchon absolu (de pinceaux)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Preuve du th\u00e9or\u00e8me <\/em>: tout d\u2019abord on peut supposer les trois diagonales distinctes car si deux sont confondues le r\u00e9sultat est trivial. \u00c0 une num\u00e9rotation pr\u00e8s, on peut supposer que \\(C\\) est l\u2019 intersection des diagonales \\(c_2\\) et \\(c_3\\). Toujours par unicit\u00e9 de l\u2019 intersection de deux pinceaux, \\(\\mathscr{P_\\mathit{C}}\\) est diff\u00e9rent \u00e0 la fois des six autres sommets \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_i \\, b_j}}}\\) mais aussi de \\(\\mathscr{P_\\mathit{A}}\\) et \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\). En particulier \\(C\\) est un point diff\u00e9rent de \\(A\\) et \\(B\\). Il en r\u00e9sulte aussi que pour chaque pinceau \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_i b_j}}}\\), il existe une unique droite \\(c_{ij}\\) incidente \u00e0 \\(C\\) et appartenant \u00e0 \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_i b_j}}}\\). Comme \\(c_2\\) est incidente \u00e0 \\(C\\), \\(c_{13}=c_{31}=c_2\\). De m\u00eame, \\(c_3\\) \u00e9tant incidente \u00e0 \\(C\\), on a aussi \\(c_{12}=c_{21}=c_3\\). Dans ce contexte, le th\u00e9or\u00e8me sera montr\u00e9 si on montre que \\(c_{23}=c_{32}\\). Car alors cette droite commune sera \\(c_1\\) et donc \\(c_1\\) sera incidente \u00e0 \\(C\\).<\/p>\n\n\n\n

Notons d\u00e9sormais \\(a=(AC)\\) et \\(b=(BC)\\). Alors dans \\(\\mathscr{P_\\mathit{C}}\\) les droites \\(a\\) et \\(b\\) d\u00e9terminent un antiappariement(4)<\/sup>. On note \\(d_{uv}\\) l\u2019antiappari\u00e9e de \\(c_{uv}\\) dans \\(\\mathscr{P_{\\mathit{ab}}}\\) : \\(ac_{uv}=d_{uv}b\\).<\/p>\n\n\n\n

(4) \u00c9ventuellement une r\u00e9flexion si \\(a=b\\), bissectrice des droites comme dans le th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent sur les m\u00e9dianes.<\/p>\n\n\n\n

Remarquons tout de suite que \\(c_{12}=c_{21}\\) implique qu’il en est de m\u00eame des antiappari\u00e9es : \\(d_{12}=d_{21}\\). Et pour les m\u00eames raisons on a aussi \\(d_{13}=d_{31}\\), on peut donc utiliser indiff\u00e9remment \\(d_{kj}\\) ou \\(d_{jk}\\) dans les figures suivantes : ce sont les m\u00eames droites.<\/p>\n\n\n\n

Nous allons appliquer trois fois le th\u00e9or\u00e8me de l\u2019antiappariement \u00e0 trois trilat\u00e8res \\((b_i, a_j, a_k)\\) pour les trois permutations circulaires de \\((i , j, k)\\) dans \\(\\{1, 2, 3\\}\\). Dans un premier temps voyons que les deux pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_j d_{ki}}}}\\) sont distincts. Tout d’abord \\(a_j \\neq d_{ki}\\) car \\(d_{ki}\\) est incidente \u00e0 \\(C\\) alors que \\(a_j\\) ne l\u2019est pas, on a donc bien d\u2019un pinceau. Ensuite \\(a_j \\in \\mathscr{P_{\\mathit{a_j d_{ki}}}}\\) alors que \\(a_j \\notin \\mathscr{P_\\mathit{B}}\\) ainsi les deux pinceaux sont bien distincts.<\/p>\n\n\n\n

On peut alors noter \\(g_i\\) la droite commune aux deux pinceaux. Elle existe toujours car un des deux pinceaux est \u00e0 centre. Pour appliquer le th\u00e9or\u00e8me de l\u2019antiappariement \u00e0 la droite \\(g_i\\), il reste \u00e0 v\u00e9rifier la derni\u00e8re hypoth\u00e8se du th\u00e9or\u00e8me, \u00e0 savoir que les produits \\(b_ib\\) et\\(a_j d_{ki}\\) sont diff\u00e9rents, ce qui est vrai car \\(B\\) est incident \u00e0 \\(b_i\\) et \\(b\\) mais pas \u00e0 \\(a_j\\). On en d\u00e9duit donc que \\(g_i\\), appartenant aux pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_j d_{ki}}}}\\) par d\u00e9finition, appartient aussi au pinceau \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_k d_{ji}}}}\\)<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Premi\u00e8re application du th\u00e9or\u00e8me d’antiappariement, ci dessus avec des pinceaux \u00e0 centre, ci-dessous avec un ou deux pinceau \u00e0 axe<\/em>,
en d\u00e9pla\u00e7ant les points comme indiqu\u00e9 dans l’illustration.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9taillant les trois applications du th\u00e9or\u00e8me d’antiappariement, on peut \u00e9crire :<\/p>\n\n\n\n

\u2022 \\(g_1\\) appartient aux pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\), \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_2 d_{31}}}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_3 d_{21}}}}\\)
\u2022 \\(g_2\\) appartient aux pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\), \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 d_{32}}}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_3 d_{12}}}}\\)
\u2022 \\(g_3\\) appartient aux pinceaux \\(\\mathscr{P_\\mathit{B}}\\), \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_2 d_{13}}}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 d_{23}}}}\\). <\/p>\n\n\n\n

Mais des \u00e9galit\u00e9s \\(d_{13}=d_{31}\\) et \\(d_{12}=d_{21}\\), on en d\u00e9duit que \\(g_1=g_2\\) puis que \\(g_1=g_3\\) et donc que \\(g_1\\) appartient aux deux pinceaux \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 d_{23}}}}\\) et \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 d_{32}}}}\\). Ce qui permet d’\u00e9crire que les droites \\(d_{23}\\) et \\(d_{32}\\) appartiennent au pinceau \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 g_1}}}\\), et bien entendu \u00e0 \\(\\mathscr{P_\\mathit{C}}\\) par d\u00e9finition des droites \\(d_{uv}\\). L\u00e0 encore \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_1 g_1}}}\\) est bien un pinceau (\\(a_1 \\neq g_1\\) car \\(B\\) est incident \u00e0 \\(g_1\\) et pas \u00e0 \\(a_1\\)) et les deux pinceaux sont distincts car \\(a_1 \\in \\mathscr{P_{\\mathit{a_1 g_1}}}\\) et \\(a_1 \\notin \\mathscr{P_\\mathit{C}}\\). Les deux droites, intersections des deux pinceaux, sont donc \u00e9gales : \\(d_{23}=d_{32}\\), et il en est de m\u00eame de leurs antiappari\u00e9es \\(c_{23}=c_{32}\\).<\/p>\n\n\n\n

On a donc \\(c_1 = c_{23} =c_{32}\\), et en particulier \\(C \\in c_1\\) : le th\u00e9or\u00e8me de Brianchon est d\u00e9montr\u00e9.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Version finale de la preuve. Ci dessus avec les trois pinceaux \u00e0 centre : les points \\(ad_{312}, ad_{213}\\) et \\(ad_{132},\\) existent.<\/em>
Ci-dessous avec un, deux ou m\u00eame trois pinceaux \u00e0 axe. Les droites \\(g_i\\) comme perpendiculaire commune aux axes de trois pinceaux.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette nouvelle figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Les repr\u00e9sentations de Bachmann lui-m\u00eame<\/strong><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Extension dans le cas o\u00f9 le point \\(C\\) n’existe pas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En fait, il n’est pas n\u00e9cessaire que \\(C\\) existe pour aboutir au th\u00e9or\u00e8me Brianchon. On a une extension naturelle, qui utilise, en fait, les m\u00eames arguments, pourvu que les trois diagonales \\(c_1, c_2, c_3\\) existent. En voici un r\u00e9sum\u00e9 en quelques illustrations.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

D<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration ci-dessus, \\(C\\) n’existe pas, les trois pinceaux de la forme \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_j d_{ki}}}}\\) sont \u00e0 centre, de centre \\(ad_{jki}\\). On a construit \\(g_1\\) et \\(g_2\\) nomm\u00e9es \\(drtG_1\\) et \\(drtG_2\\).
Ci-dessous, cas ou deux ou trois des pinceaux \\(\\mathscr{P_{\\mathit{a_j d_{ki}}}}\\) sont \u00e0 axe, d’axe \\(PC_{jki}\\)<\/em>.<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Bien entendu, il existe des situations o\u00f9 les trois diagonales n’existent pas simultan\u00e9ment.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Exemple de configuration o\u00f9 une diagonale n’existe pas : ici \\(c_2\\) n’existe pas.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me de Pappus<\/h2>\n\n\n\n

La principale cons\u00e9quence de ce th\u00e9or\u00e8me est la lecture \u00abprojective\u00bb qu\u2019en fait Bachmann : en inversant les r\u00f4les de droites et de points, il lit <\/em>dans le th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent, celui de Pappus.<\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me de Pappus<\/strong> : Si les sommets \\(A_{i \\, (1 \\le i \\le 3)}\\) et \\(B_{j \\, (1 \\le j \\le 3)}\\) d’un hexagramme sont respectivement sur deux droites donn\u00e9es \\(a\\) et \\(b\\), les trois intersections \\(C_i\\) des diagonales oppos\u00e9es \\((A_jB_k)\\) et \\((A_kB_j)\\) – pour \\(i, j , k\\) diff\u00e9rents – sont align\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Les th\u00e9or\u00e8mes de Pappus et Brianchon sont duaux l’un de l’autre en \u00e9changeant les notions de \u00ab\u00a0points\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0droites\u00a0\u00bb ainsi que les expressions \u00ab\u00a0passer par deux points\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0intersection de deux droites\u00a0\u00bb. Voici la relecture de la figure de Brianchon que propose Bachmann pour y voir le th\u00e9or\u00e8me de Pappus.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans cette figure, les diagonales ne sont pas construites par les points \\(A_i\\) et \\(B_j\\) mais comme intersections de deux pinceaux. Ainsi elles existent (ou peuvent exister) m\u00eame si les pinceaux associ\u00e9s ne sont plus \u00e0 centre. Voici deux illustrations, une o\u00f9 tous les points \\(A_i\\) et aucun \\(B_j\\) existent et l’autre o\u00f9 c’est l’inverse, et dans les deux cas les trois points \\(C_k\\) existent.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Voici deux autres illustrations, une avec un sommet \\(B_j\\) et un sommet \\(A_k\\), l’autre avec aucun point de Pappus, autres que les centres des pinceaux \\(A_1\\) et \\(B_1\\) existent, alors que les trois points \\(C_k\\) existent.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Pappus dans ses extensions possibles<\/em><\/p>\n\n\n\n

Ouvrir la figure associ\u00e9e<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9marche de l\u2019axiomatique de Bachmann, prend ici une dimension math\u00e9matique plus classique, celle de la g\u00e9n\u00e9ralisation des propri\u00e9t\u00e9s essentielles \u00e0 des objets plus abstraits : le th\u00e9or\u00e8me de Pappus, vrai sur ces nouveaux objets que sont les pinceaux, permet de les consid\u00e9rer comme objets \u00e9l\u00e9mentaires (points id\u00e9aux) d\u2019une nouvelle structure pour laquelle, en y plongeant toute l\u2019axiomatique d\u00e9ploy\u00e9e jusque-l\u00e0, dont Bachmann va montrer qu\u2019elle a bien les propri\u00e9t\u00e9s structurelles attendues : celle d\u2019\u00eatre un plan projectif \u00ab m\u00e9trique \u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire un plan projectif d\u2019incidence muni d\u2019une orthogonalit\u00e9 et d\u2019isom\u00e9tries qui prolongent celles du plan m\u00e9trique. C’est l’objet des trois prochaines pages de ce menu.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Comme signal\u00e9 dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes, les divers pinceaux de droites remarquables ont \u00e9t\u00e9 abord\u00e9s dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes, sauf celui des m\u00e9dianes. Dans les menus pr\u00e9c\u00e9dents (DP – ELL – PS – PSH), nous avons largement v\u00e9rifi\u00e9 exp\u00e9rimentalement que les m\u00e9dianes non seulement sont en pinceau, mais aussi sont […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5743"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5743"}],"version-history":[{"count":89,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5743\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8361,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5743\/revisions\/8361"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5743"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}