![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Tableau_Dehen.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nTout d\u2019abord, il met en \u00e9vidence l\u2019existence d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie non elliptique dans laquelle la somme des angles d\u2019un triangle est sup\u00e9rieure \u00e0 deux droits et pour laquelle il existe une infinit\u00e9<\/em>(*) de droites issues d\u2019un point donn\u00e9, non s\u00e9cantes \u00e0 une droite donn\u00e9e. Cette g\u00e9om\u00e9trie est appel\u00e9e non legendrienne<\/em>, en r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 la preuve de Legendre utilisant l\u2019archim\u00e9die de \\(\\mathbb{R}\\) <\/strong>pour montrer l\u2019impossibilit\u00e9 de cette g\u00e9om\u00e9trie. Un sous-produit, alors assez inattendu, est l\u2019existence d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie ayant cette m\u00eame propri\u00e9t\u00e9 quant aux non s\u00e9cantes mais dans laquelle la somme des angles d\u2019un triangle est \u00e9gale \u00e0 deux droits : une g\u00e9om\u00e9trie dite semi-eucl<\/em>idienne.<\/p>\n\n\n\n Ce bref rappel historique d\u2019une des probl\u00e9matiques de l\u2019\u00e9cole de Hilbert fixe les points significatifs que nous allons retrouver d\u2019une autre fa\u00e7on dans l\u2019approche de Bachmann, et en particulier cette g\u00e9om\u00e9trie semi-euclidienne qui, par certains aspects est proche de l\u2019euclidienne et par d\u2019autres s\u2019en \u00e9loigne sensiblement. Par exemple une cons\u00e9quence troublante de son existence est dans le fait que l\u2019axiome des parall\u00e8les et l\u2019alignement des points de l\u2019\u00e9quidistante ne sont pas des propri\u00e9t\u00e9s \u00e9quivalentes : elles ne le sont, en d\u00e9finitive, que dans cette hypoth\u00e8se de continuit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n (*) une infinit\u00e9 car les corps utilis\u00e9s sont implicitement infinis. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, le vocabulaire, de cette introduction \u00e0 la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries, est celui de l\u2019\u00e9poque o\u00f9 ces questions ont \u00e9t\u00e9 pos\u00e9es, en particulier, les termes \u00ab elliptique, euclidienne, hyperbolique \u00bb contiennent les axiomes de continuit\u00e9. Dans les \u00ab Fondements \u00bb de Hilbert, on distingue plusieurs axiomes de continuit\u00e9 dont le premier est l\u2019archim\u00e9die. Les autres sont l\u00e0 pour aboutir \u00e0 \\(\\mathbb{R}\\) comme corps de nombres).<\/p>\n\n\n\n En anticipant un peu, signalons que les proc\u00e9d\u00e9s de Dehn pour construire la g\u00e9om\u00e9trie non legendrienne, en supprimant une droite et ses points sont adapt\u00e9s par Bachmann pour ses exemples de g\u00e9om\u00e9tries semi elliptiques ou semi-hyperboliques.<\/p>\n\n\n\n Le propos de Bachmann est d\u2019introduire de nouveaux axiomes pour retrouver les trois grands types de g\u00e9om\u00e9trie : elliptique, euclidienne et hyperbolique. Avant cette s\u00e9paration, il pr\u00e9vient que cette d\u00e9marche, tout alg\u00e9brique, va n\u00e9cessairement produire des g\u00e9n\u00e9ralisations qui peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9es par certains comme g\u00eanantes au moins en terme de repr\u00e9sentation de l\u2019euclidien puisque, sans axiome suppl\u00e9mentaire de continuit\u00e9, il va exister une infinit\u00e9 de plans euclidiens non isomorphes, ce qui est une d\u00e9marche tr\u00e8s diff\u00e9rente de celle de Hilbert qui cherchait \u2013 en particulier par l\u2019introduction des axiomes d\u2019int\u00e9grit\u00e9 \u2013 \u00e0 retrouver le plan euclidien r\u00e9el rapidement et de mani\u00e8re cat\u00e9gorique.<\/p>\n\n\n\n Le premier axiome de s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries est l\u2019\u00e9tude du cas de la polarit\u00e9. La d\u00e9marche portant sur le groupe de transformations initial, on peut l\u2019exprimer sous la forme :<\/p>\n\n\n\n Axiome \\(\\mathbf{P}\\) : Il existe un trilat\u00e8re polaire (ie trois droites \\(\\mathbf{a, b, c}\\) telles que \\(\\mathbf{abc=1}\\))<\/strong><\/p>\n\n\n\n Bachmann appelle groupe elliptique de transformations <\/em>un groupe \\(\\Gamma\\) v\u00e9rifiant \\(\\mathbf{P}\\), et plan elliptique le couple \\((\\Gamma, \\Delta)\\) quand \\(\\Gamma\\) v\u00e9rifie l\u2019axiome de polarit\u00e9. Nous choisirons, dans toute cette section, d\u2019appeler le couple \\((\\Gamma, \\Delta)\\), muni des 5 axiomes de base, \u00ab plan de Bachmann \u00bb, et donc, muni de l\u2019axiome de polarit\u00e9, nous parlerons de plan elliptique de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n Nous avons vu (th\u00e9or\u00e8me 2) que l\u2019existence de trois droites \\(a, b, c\\) telles que \\(abc=1\\) est \u00e9quivalente au fait que ces trois droites sont deux \u00e0 deux orthogonales (trilat\u00e8re polaire) ou encore qu\u2019un point est \u00e9gal \u00e0 une droite (de \\(abc=1\\), il vient \\(a=bc=A\\) puisque \\(b \\mid c\\)) : il existe \\(A\\) tel que \\(A=a\\). L\u2019existence d\u2019un point \u00e9gal \u00e0 une droite, acquise comme un r\u00e9sultat \u00e9quivalent \u00e0 l\u2019axiome de polarit\u00e9 \\(\\mathbf{P}\\), le contexte axiomatique de Bachmann aboutit \u00e0 ce r\u00e9sultat :<\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> : Dans un groupe elliptique de transformations, tout point est \u00e9gal \u00e0 une droite et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n\n\n\n D\u2019un point de vue g\u00e9om\u00e9trique – dans le champ des configurations – cela signifie que chaque droite a un p\u00f4le et chaque point une polaire.<\/p>\n\n\n\n Pour montrer ce r\u00e9sultat, Bachmann commence par un lemme (ind\u00e9pendant de l\u2019axiome de polarit\u00e9) :<\/p>\n\n\n\n Lemme sur la polarit\u00e9<\/strong><\/em> : si \\(A \\mid b\\) alors \\((\\exists a \\; \/ \\; a=A) \\; \\Leftrightarrow \\; (\\exists B \\; \/ \\; B=b)\\)<\/p>\n\n\n\n Preuve du lemme<\/em> : De \\(A \\mid b\\) on peut poser \\(c=Ab\\), et donc \\(b=Ac\\) et \\(A=bc\\). Autrement dit \\(A \\mid c\\) et \\(b \\mid c\\) Sens direct<\/em> : S\u2019il existe \\(A\\) tel que \\(A=a\\), alors \\(b=ac\\) avec \\(a \\mid c\\) et donc il existe \\(B=ac\\) tel que \\(B=b\\).<\/p>\n\n\n\n R\u00e9ciproquement<\/em>, s\u2019il existe \\(B\\) tel que \\(B=b\\), alors \\(A=Bc\\) avec \\(B \\mid c\\) donc \\(Bc\\) est une droite \\(a\\), et donc il existe \\(a\\) tel que \\(a=A\\).<\/p>\n\n\n\n Preuve du th\u00e9or\u00e8me<\/em> : On suppose donc qu\u2019il existe un point \\(A\\) et une droite \\(a\\) telle que \\(A=a\\). Soit alors \\(g\\) une droite quelconque. Montrons que \\(g\\) est un point. Consid\u00e9rons \\(U\\) un point de \\(g\\) ( c\u2019est-\u00e0-dire \\(U \\mid g\\) et donc \\(U \\neq g\\)). Soit alors \\(h\\) l\u2019unique droite incidente \u00e0 \\(U\\) et \\(A\\) (existence et unicit\u00e9 par les axiomes A1<\/strong> et A2<\/strong>). On applique trois fois le lemme pr\u00e9c\u00e9dent :<\/p>\n\n\n\n \u2022De \\(A \\mid h\\) et \\(A=a\\), on d\u00e9duit du lemme qu\u2019il existe un point \\(H\\) tel que \\(H=h\\). On montrerait de m\u00eame que pour tout point \\(G\\) quelconque, il existe une droite \\(g\\) telle que \\(G=h\\).<\/p>\n\n\n\n Cons\u00e9quences du th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n\n\n\n Remarquons d\u00e9j\u00e0 que si \\(A=a\\), les propri\u00e9t\u00e9s \\(g \\mid A\\) et \\(g \\mid a\\) sont \u00e9quivalentes, ce qui signifie que toute droite orthogonale \u00e0 une droite passe par son p\u00f4le et r\u00e9ciproquement toute droite passant par le p\u00f4le d\u2019une droite lui est orthogonale.<\/p>\n\n\n\n Cette polarit\u00e9 donne \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie elliptique non seulement une structure projective d\u2019incidence, mais plus encore, comme nous venons de le voir, par la dualit\u00e9 entre l\u2019incidente et l\u2019orthogonalit\u00e9. Pr\u00e9cisons un peu plus cela, simplement en r\u00e9interpr\u00e9tant les deux axiomes d\u2019incidence qui peuvent se r\u00e9sumer par cette propri\u00e9t\u00e9 :<\/p>\n\n\n\n Axiomes<\/strong> A1<\/strong> et A2<\/strong><\/em> : \u00c9tant donn\u00e9 deux points \\(A\\) et \\(B\\) distincts, il existe une unique droite \\(d\\) telle que \\(A, B \\mid d\\).<\/p>\n\n\n\n Dual 1<\/strong> : (en \u00e9changeant droites et points: \\(a=A, b= B\\) et \\(D=d\\)) Ainsi en g\u00e9om\u00e9trie elliptique deux droites distinctes sont toujours s\u00e9cantes. Et en particulier, il n\u2019existe qu\u2019un type de pinceau, les pinceaux \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n Dual 2<\/strong> : (en \u00e9changeant seulement les deux premi\u00e8res droites : \\(a=A, b= B\\)) En particulier cette unique perpendiculaire commune est la polaire de leur intersection. Et donc tous les pinceaux \u00e0 centre sont aussi pinceaux \u00e0 axe (et les \u00e9quidistantes des cercles).<\/p>\n\n\n\n Dual 3 <\/strong>: (en conservant \\(A\\), \u00e9changeant \\(B=b\\) avec \\(b \\neq A\\)) Par un point donn\u00e9 et une droite non polaire de ce point, il passe une et une seule droite orthogonale \u00e0 la droite en ce point.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est aussi, en g\u00e9om\u00e9trie absolue, les th\u00e9or\u00e8mes 3 et 4. Dans le cas elliptique, ces th\u00e9or\u00e8mes sont simplement une autre lecture des axiomes. Cet exemple illustre, combien des r\u00e9sultats parfois d\u00e9licats \u00e0 montrer dans le cadre g\u00e9n\u00e9ral de la g\u00e9om\u00e9trie absolue, s\u2019obtiennent bien plus facilement dans les g\u00e9om\u00e9tries particuli\u00e8res avec leurs outils propres. C’est en particulier le cas du pinceau des m\u00e9dianes – encore non abord\u00e9 dans ces pages. Nous avons l\u2019exemple ici d\u2019un r\u00e9sultat toujours pr\u00e9sent dans les preuves, un peu subtil \u00e0 obtenir en d\u00e9but de la th\u00e9orie, mais qui est une cons\u00e9quence triviale dans un cadre plus pr\u00e9cis.<\/p>\n\n\n\n Il d\u00e9coule imm\u00e9diatement de la dualit\u00e9 que, de \\(A \\neq B\\) et par \\(a=A, b= B\\), on peut \u00e9crire \\(a \\perp b \\; \\Leftrightarrow \\; A \\mid B\\). Autrement dit \\(AB\\) est d\u2019ordre 2 :<\/p>\n\n\n\n Les p\u00f4les de deux droites orthogonales sont mutuellement milieux l\u2019un de l\u2019autre : le produit \\(AB\\) \u00e9tant involutif, on a \\(ABA=B\\) et \\(BAB=A\\) : \\(A\\) est milieu de \\((B, B)\\) et \\(B\\) milieu de \\((A, A)\\).<\/p>\n\n\n\n D\u2019un point de vue g\u00e9om\u00e9trique, c\u2019est une fa\u00e7on de dire que la sym\u00e9trie centrale de centre \\(A\\) admet comme point invariant, non seulement son centre \\(A\\) mais tous les points de la polaire de \\(A\\). Il en r\u00e9sulte en particulier, que la polaire \\(a\\) de \\(A\\), au sens que l\u2019on en a donn\u00e9(*) avec les sym\u00e9tries est aussi un cercle de centre \\(A\\) et, dans ce cas particulier, le cercle \\(a\\) est invariant point par point dans la sym\u00e9trie de centre \\(A\\).<\/p>\n\n\n\n (*) Bien entendu,, ce n’est pas encore abord\u00e9 dans notre d\u00e9veloppement lin\u00e9aire de l’axiomatique de Bachmann, mais dans cette page<\/a> du menu DP<\/strong>, on a d\u00e9fini un cycle comme l’image d’un point par un pinceau. Ce cycle s’appelle un cercle si le pinceau est \u00e0 centre, une \u00e9quidistante s’il est \u00e0 axe, et un horicycle s’il est dans support.<\/p>\n\n\n\n Dans le cas o\u00f9 \\(A\\) et \\(B\\) ne sont pas sur les polaires l\u2019un de l\u2019autre, alors l\u2019existence d\u2019un milieu \\(I\\) de \\((A, B)\\) montre que l\u2019intersection \\(J\\) de la droite \\((AB)\\) et de la polaire de \\(I\\) est un autre milieu de \\((A, B)\\) : dans le cas g\u00e9n\u00e9ral de deux points \\(A\\) et \\(B\\) tels que \\(AB\\) ne soit pas involutif, l\u2019existence(*)<\/em> d\u2019un milieu de deux points assure l\u2019existence d\u2019un second milieu.<\/p>\n\n\n\n (*) Dans un contexte g\u00e9n\u00e9ral o\u00f9 l\u2019on ne dispose pas d\u2019axiomes suppl\u00e9mentaires, l\u2019existence du milieu de deux points (\u00e9quivalente \u00e0 celle d\u2019une m\u00e9diatrice) n\u2019est pas une cons\u00e9quence des premiers axiomes car la g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann n\u2019est pas a priori homog\u00e8ne. Pour cela il faudrait que le groupe soit transitif. Nous en verrons une \u00e9quivalence en terme de corps dans une future page sur les corps associ\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n Enfin signalons que, par le th\u00e9or\u00e8me 4, dans un plan non elliptique, l\u2019unicit\u00e9 de la perpendiculaire \u00e0 une droite issue d\u2019un point est toujours v\u00e9rifi\u00e9e, ce qui va tout de suite \u00eatre utile dans l\u2019introduction du second axiome de distinction des g\u00e9om\u00e9tries.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n On introduit d\u00e9sormais un nouvel axiome, que nous choisissons d\u2019appeler simplement l\u2019axiome du rectangle<\/strong>, m\u00eame si Bachmann est bien plus pr\u00e9cis dans son vocabulaire : il parle de rectilat\u00e8re<\/strong>. Chacun comprendra qu\u2019il a bien raison de ne pas utiliser, m\u00eame dans un mot construit, une quelconque r\u00e9f\u00e9rence, fut-elle indirecte, au concept d\u2019angle. On comprendra aussi que, pour une fois, parce qu\u2019il n\u2019y a pas d\u2019ambigu\u00eft\u00e9, nous avons choisi de ne pas le suivre.<\/p>\n\n\n\n Axiome<\/strong> \\(\\mathbf{R}\\) : Il existe quatre droites<\/strong> \\(\\mathbf{a, b,c, d} \\; \\mathbf{(a} \\neq \\mathbf{b, c} \\neq \\mathbf{d)}\\) telles que<\/strong> \\(\\mathbf{a, b} \\mid \\mathbf{c,d}\\) <\/p>\n\n\n\n Autrement dit il existe deux droites distinctes qui ont (au moins) deux perpendiculaires communes. Nous avons vu que l\u2019axiome de polarit\u00e9 entra\u00eenait l\u2019unicit\u00e9 de la perpendiculaire commune de deux droites distinctes.<\/p>\n\n\n\n On a \\(\\mathbf{P} \\Rightarrow \\neg \\mathbf{R}\\), et donc \\(\\mathbf{R} \\Rightarrow \\neg \\mathbf{P}\\). Avec l\u2019axiome du rectangle nous sommes dans un plan non elliptique, et en particulier nous disposons de l\u2019unicit\u00e9 de la perpendiculaire \u00e0 une droite issue d\u2019un point.<\/p>\n\n\n\n Retrouver la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, dans ce contexte, c\u2019est retrouver l\u2019unicit\u00e9 de la non s\u00e9cante \u00e0 une droite passant par un point donn\u00e9. Or nous n\u2019avons que des r\u00e9sultats sur l\u2019orthogonalit\u00e9. Pour voir le lien entre les deux, Bachmann introduit ce nouveau concept :<\/p>\n\n\n\n Equi-perpendicularit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n Deux droites seront dites \u00e9qui-perpendiculaires<\/em> si les pinceaux de leurs perpendiculaires co\u00efncident, autrement dit si toute perpendiculaire \u00e0 l\u2019une est perpendiculaire \u00e0 l\u2019autre.<\/p>\n\n\n\n Tout d\u2019abord, deux droites \u00e9qui-perpendiculaires sont n\u00e9cessairement non s\u00e9cantes : si \\(I\\) est l\u2019intersection de deux telles droites \\(a\\) et \\(b\\), la perpendiculaire \\(d\\) \u00e0 \\(I\\) en \\(a\\) admet deux perpendiculaires en \\(I\\) : \\(a\\) et \\(b\\), ce qui est contradictoire avec \\(\\neg \\mathbf{P}\\).<\/p>\n\n\n\n Ensuite les propri\u00e9t\u00e9s des pinceaux \u00e0 axe (Th 7 et Th 9<\/a>) montrent que si deux droites ont deux perpendiculaires communes, elles sont \u00e9qui-perpendiculaires. On peut alors utiliser cette propri\u00e9t\u00e9 (dite \u00ab PCEqui<\/strong> \u00bb dans la suite) pour montrer les \u00e9quivalences suivantes :<\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me du rectangle et th\u00e9or\u00e8me des trois points<\/strong><\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> : dans un groupe de transformations de Bachmann, les propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont \u00e9quivalentes :<\/p>\n\n\n\n Le th\u00e9or\u00e8me des trois points va \u00eatre essentiel pour la structure qui va suivre. Remarquons que l\u2019\u00e9quivalence entre l\u2019axiome du rectangle et le th\u00e9or\u00e8me du rectangle signifie, compte tenu de ce que l\u2019on sait sur l\u2019orthogonalit\u00e9, que deux droites sont \u00e9qui-perpendiculaires d\u00e8s qu\u2019elles ont une perpendiculaire commune.<\/p>\n\n\n\n Preuve du th\u00e9or\u00e8me<\/em><\/p>\n\n\n\n \\(\\mathbf{a} \\Rightarrow \\mathbf{b}\\)<\/em><\/p>\n\n\n Soient \\(g, h\\) et \\(g_1, h_1\\) les 4 droites de l\u2019axiome du rectangle \\((g, h \\mid g_1 h_1)\\). Montrons un premier lemme :<\/p>\n\n\n\n Pour toutes droites \\(x\\) et \\(x_1\\) telles que \\(x \\perp g_1\\) et \\(x_1 \\perp g\\) alors \\(x \\perp x_1\\).<\/p>\n\n\n\n En effet, \\(g_1\\) et \\(h_1\\) \u00e9tant \u00e9qui-perpendiculaires (PCEqui), il vient \\(g, x \\perp g_1, x_1\\) et donc, toujours par PCEqui, \\(g\\) et \\(x\\) sont aussi \u00e9qui-perpendiculaires.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Soient alors \\(A, B, C\\) trois points. Notons \\(a, b, c\\) les perpendiculaires \u00e0 \\(g_1\\) issues de \\(A, B, C\\) et \\(a_1, b_1, c_1\\) celles perpendiculaires \u00e0 \\(g\\), issues des m\u00eames points.<\/p>\n\n\n\n Par l\u2019application du lemme pr\u00e9c\u00e9dent, il vient \\(a, b, c, g, h \\perp a_1, b_1, c_1, g_1, h_1\\). Il en r\u00e9sulte que les droites \\(a, b, c\\) et les droites \\(a_1, b_1, c_1\\) commutent, mais aussi (par le th\u00e9or\u00e8me 1) que \\(A=aa_1, B=bb_1\\) et \\(C=cc_1\\).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs \\(abc\\) et \\(a_1b_1c_1\\) sont des droites \\(d\\) et \\(d_1\\) telles que \\(d \\perp g_1\\) et \\(d_1 \\perp g\\), et toujours par le lemme pr\u00e9c\u00e9dent \\(d \\perp d_1\\) de telle sorte que \\(dd_1=D\\) est un point.<\/p>\n\n\n\n La commutativit\u00e9 signal\u00e9e ci-dessus permet de conclure car \\(ABC = aa_1.bb_1.cc_1 = abc.a_1b_1c_1=dd_1=D\\).<\/p>\n\n\n\n \\(\\mathbf{b} \\Rightarrow \\mathbf{c}\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n On suppose que le produit de trois points est un point. Soit alors \\(a, b\\) et \\(c, d\\) telles que \\(a, b \\perp c\\) et \\(a \\perp d\\).<\/p>\n\n\n\n Notons \\(B:bc, \\; C=ca\\) et \\(D=ad\\).<\/p>\n\n\n\n Alors \\(BCD=bc.ca.ad=bd\\) est un point par hypoth\u00e8se, c\u2019est-\u00e0-dire que \\(b \\perp d\\).<\/p>\n\n\n\n \\(\\mathbf{c} \\Rightarrow \\mathbf{a}\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n Il suffit de montrer que les hypoth\u00e8ses du th\u00e9or\u00e8me du rectangle peuvent \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9es. Or on sait qu\u2019une droite contient au moins trois points, et qu\u2019il y a toujours une perpendiculaire \u00e0 une droite issue d\u2019un point de cette droite. Les hypoth\u00e8ses du th\u00e9or\u00e8me sont toujours v\u00e9rifi\u00e9es, et donc il existe alors deux paires de droites deux \u00e0 deux orthogonales, c\u2019est bien l\u2019axiome du rectangle.<\/p>\n\n\n\n Connectabilit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le th\u00e9or\u00e8me du rectangle montre qu\u2019un plan de Bachmann qui v\u00e9rifie l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\) a des propri\u00e9t\u00e9s proches de celles attendues. Par exemple, de ce qui pr\u00e9c\u00e8de, il est imm\u00e9diat que :<\/p>\n\n\n\n Par un point non incident \u00e0 une droite il passe une et une seule \u00e9qui-perpendiculaire \u00e0 cette droite.<\/em><\/p>\n\n\n\n Ce serait l\u2019axiome d\u2019Euclide si on savait que les seules droites non s\u00e9cantes \u00e0 une droite donn\u00e9e sont ses \u00e9qui-perpendiculaires, c\u2019est-\u00e0-dire les droites ayant une perpendiculaire commune avec elle. Mais on sait, par le rappel historique sur la classification de Dehn qu\u2019il n\u2019en est rien. Il existe des plans semi-euclidiens, qui v\u00e9rifient l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\), et pour lesquels par un point il peut passer (\u00e9ventuellement) une infinit\u00e9 de non s\u00e9cantes \u00e0 une droite donn\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n Pour s\u00e9parer cette g\u00e9om\u00e9trie semi-euclidienne (dans laquelle la propri\u00e9t\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente montre que l\u2019\u00e9qui-perpendicularit\u00e9 joue le m\u00eame r\u00f4le que le parall\u00e9lisme euclidien) de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, il suffit d\u2019exclure cette possibilit\u00e9, en n\u2019offrant pas d\u2019alternative entre les droites s\u00e9cantes et les droites \u00e9qui-perpendiculaires.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est donc ce que propose Bachmann en introduisant une nouvelle d\u00e9finition :<\/p>\n\n\n\n Deux droites sont dites connectables<\/strong> si elles ont soit un point soit une perpendiculaire en commun. D\u2019o\u00f9 l\u2019axiome de connexion :<\/p>\n\n\n\n Axiome \\(\\mathbf{C}\\) : deux droites sont toujours connectables.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Un plan m\u00e9trique qui v\u00e9rifie les axiomes \\(\\mathbf{R}\\) et \\(\\mathbf{C}\\) <\/strong>est dit un plan euclidien<\/strong>. Et dans ce cas, si on appelle parall\u00e8les<\/em> deux droites non s\u00e9cantes, il y a \u00e9quivalence entre l\u2019\u00e9qui-perpendicularit\u00e9 et le parall\u00e9lisme<\/em>.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Le milieu de deux points<\/strong><\/p>\n\n\n\n Dans un plan euclidien(*)<\/sup>, le th\u00e9or\u00e8me des trois points a de nombreuses cons\u00e9quences. Une premi\u00e8re, triviale, mais syst\u00e9matiquement utile, est que, le produit de trois points \u00e9tant un point, il est involutif, soit \\(ABC=CBA\\) (toujours utilis\u00e9 dans les preuves suivantes).<\/p>\n\n\n\n (*) En pratique, sauf mention contraire, les propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont vraies dans un plan muni seulement de l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\), donc dans la g\u00e9om\u00e9trie semi-euclidienne. Bien-s\u00fbr, il faut remplacer l\u2019expression \u00ab parall\u00e8les \u00bb par \u00ab \u00e9qui-perpendiculaires \u00bb, et alors m\u00eame les propri\u00e9t\u00e9s des parall\u00e8logrammes sont vraies (elles sont semi-euclidiennes)<\/p>\n\n\n\n Lemme<\/em> (vrai dans \\(\\neg \\; \\mathbf{P}\\)) : si \\(A\\) et \\(B\\) sont deux points distincts, alors \\(AB \\neq BA\\).<\/p>\n\n\n\n En effet soit \\(d\\) l\u2019unique droite incidente \u00e0 \\(A\\) et \\(B\\), alors il existe \\(a\\) et \\(b\\) telles que \\(A=ad=da\\) et \\(B=bd=db\\), et \\(a \\neq b\\). Alors \\(AB=ab\\) et \\(BA=ba\\).<\/p>\n\n\n\n Si \\(AB=BA\\) alors \\(b^a=b\\) et \\(b\\) est invariante dans la sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \\(a\\), les deux droites, distinctes, ne peuvent qu\u2019\u00eatre orthogonales. C\u2019est impossible, dans un cas non elliptique, car \\(a\\) et \\(b\\) sont en pinceau \u00e0 axe, d\u2019axe \\(d\\) et, dans \\(\\neg \\; \\mathbf{P}\\), un pinceau \u00e0 axe n\u2019est jamais un pinceau \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n Par contrapos\u00e9e (vrai dans \\(\\neg \\; \\mathbf{P}\\)) : si \\(AB=BA\\), alors \\(A=B\\).<\/p>\n\n\n\n Cons\u00e9quence<\/strong> : unicit\u00e9 du milieu de deux points<\/strong> (en utilisant le th\u00e9or\u00e8me des trois points)<\/p>\n\n\n\n On suppose qu\u2019il existe un point \\(I\\) tel que \\(A^I=B\\) (\\(I\\) est dit milieu de \\(A\\) et<\/em> \\(B\\) car \\(B^I=A\\)). On a donc \\(AI=IB\\). Soit \\(J\\) un autre milieu de \\(A\\) et \\(B\\) : \\(AJ=JB\\). On a donc \\(I=AIB=BIA\\) et \\(J=AJB=BJA\\). Il en r\u00e9sulte que \\(IJ=AIB.BJA=AIJA\\) soit \\(AIJ=IJA=AJI\\). D\u2019o\u00f9\\(IJ=JI\\) soit, par le lemme pr\u00e9c\u00e9dent, \\(I=J\\).<\/p>\n\n\n\n Les parall\u00e9logrammes : propri\u00e9t\u00e9 des milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n Soit alors deux points \\(A\\) et \\(C\\) tel que le milieu \\(I\\) existe. On a donc \\(AI=IC\\). Alors pour tout point \\(B\\), le produit \\(ABC\\) est un point \\(D\\) et on peut \u00e9crire \\(DI=ABC.I = CBA.I = CB.AI= CB.IC = CBI.C=IBC\/C=IB\\). Ainsi le milieu de \\((A, C)\\) est aussi milieu de \\((B, D)\\) o\u00f9 \\(D=ABC\\).<\/p>\n\n\n\n On appelle parall\u00e9logramme<\/strong> \\(ABCD\\), 4 points \\(A, B, C, D\\) tels que \\(D=ABC\\). Alors si l\u2019un des couples \\((A, C)\\) ou \\((B, D)\\) a un milieu c\u2019est aussi celui de l\u2019autre.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Parall\u00e9logrammes : caract\u00e9risation par les translations<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le produit de deux points \\(AB\\) est appel\u00e9 une translation. Avec les notations du lemme, on a \\(AB=ab\\), ind\u00e9pendamment de la structure euclidienne(*)<\/sup>. Mais dans le cas euclidien, en se fixant un point \\(P\\) , chaque translation \\(AB\\) peut se repr\u00e9senter par \\(AB=PQ=pq\\) (avec des notations \u00e9videntes) o\u00f9 \\(Q\\) est le point donn\u00e9 par \\(Q=PAB\\). On a donc \\(ab=pq\\), ce qui signifie, compte tenu des propri\u00e9t\u00e9s vues sur les pinceaux (sachant que \\(abq=p\\) est une droite) que les quatre droites appartiennent au m\u00eame pinceau \u00e0 axe \\(\\mathscr{P}_{ab}\\). Il en r\u00e9sulte que \\((AB)\\), axe de\\(\\mathscr{P}_{ab}\\) et \\((PQ)\\), axe de \\(\\mathscr{P}_{pq}\\) sont \u00e9qui-perpendiculaires, c\u2019est-\u00e0-dire parall\u00e8les. De m\u00eame pour \\((AP)\\) et \\((BQ)\\). D\u2019o\u00f9 le nom de parall\u00e9logramme.<\/p>\n\n\n\n (*) D\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, en g\u00e9om\u00e9trie absolue les translations existent et ont les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s \u00e9l\u00e9mentaires qu\u2019ici, mais seulement sur la perpendiculaire commune <\/em>\u00e0 \\(a\\) et \\(b\\). En g\u00e9om\u00e9trie absolue la translation \\(AB\\) n\u2019a de sens que sur la droite \\((AB)\\), et ne s\u2019\u00e9tend au plan que quand on dispose du th\u00e9or\u00e8me des trois points. <\/p>\n\n\n\n Soit \\(D\\) le point tel que \\(ABC = D\\) alors \\((AB) \\; \/\/ \\; (CD)\\) et \\((AD) \\; \/\/ (\\; BC)\\).<\/p>\n\n\n\n R\u00e9ciproquement soient quatre points \\(ABCD\\) sont tels que \\((AB) \\; \/\/ \\; (CD)\\) et \\((AD) \\; \/\/ \\; (BC)\\).. Soit alors \\(D’=ABC\\). Alors \\(ABCD’\\) est un parall\u00e9logramme. Et par unicit\u00e9 de la parall\u00e8le(*)<\/sup> \u00e0 \\((BC)\\) issue de \\(A\\) et \u00e0 \\((AB)\\) issue de \\(C\\), il vient \\(D=D’\\), ce qui ach\u00e8ve l\u2019\u00e9quivalence entre la caract\u00e9risation par les c\u00f4t\u00e9s et la d\u00e9finition par les produits.<\/p>\n\n\n\n (*) Si on conserve le vocabulaire d\u2019\u00e9qui-perpendiculaire, on voit que tous ces r\u00e9sultats sont vrais dans les plans semi-euclidiens : on n\u2019utilise que le th\u00e9or\u00e8me des trois points, \u00e9quivalent \u00e0 l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\) et sa cons\u00e9quence sur l\u2019unicit\u00e9 d\u2019une \u00e9qui-perpendiculaire \u00e0 une droite donn\u00e9e passant par un point donn\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Ce r\u00e9sultat conduit \u00e0 deux cons\u00e9quences imm\u00e9diates : tout d\u2019abord si \\(ABCD\\) est un parall\u00e9logramme (\\(D=ABC\\)), alors les translations \\(AB\\) et \\(DC\\) sont \u00e9gales, ainsi que \\(AD\\) et \\(BC\\). La r\u00e9ciproque est imm\u00e9diate, d\u2019o\u00f9 la caract\u00e9risation par les translations<\/p>\n\n\n\n \\(ABCD\\) est un parall\u00e9logramme si et seulement si \\(AB=DC\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n Une seconde cons\u00e9quence porte sur les sym\u00e9tries centrales : l\u2019image d\u2019une droite est une droite parall\u00e8le (ou \u00e9qui-perpendiculaire). Dans le cas absolu g\u00e9n\u00e9ral, l\u2019image d\u2019une droite est une droite qui a une perpendiculaire commune avec la premi\u00e8re, mais c\u2019est sans int\u00e9r\u00eat sans l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\) qui donne un autre sens \u00e0 la perpendiculaire commune.<\/p>\n\n\n\n Si deux droites \\(m\\) et \\(n\\) ont une perpendiculaire commune, le produit \\(mn\\) est une translation. Il suffit de prendre \\(M\\) incident \u00e0 \\(m\\) et \\(N\\) l\u2019intersection de \\(n\\) et de sa perpendiculaire issue de \\(M\\). D\u2019apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, \\(mn=MN\\), ceci pour tout point \\(M\\) de \\(m\\).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs, \\(AA\\) est la translation \\(Id\\). Et dans ce cas \\(AA\\) peut toujours s\u2019\u00e9crire \\(aa\\), produit de deux droites \u00e9qui-perpendiculaires confondues (quelconques).<\/p>\n\n\n\n Le groupe des translations<\/strong><\/p>\n\n\n\n Par le th\u00e9or\u00e8me des trois points, le produit de deux translations, produit de 4 points s\u2019\u00e9crit aussi comme produit de deux points ce qui signifie que le produit de deux translations est une translation. Il est facile alors de v\u00e9rifier que les translations forment un sous-groupe \\(\\mathscr{T}\\).<\/p>\n\n\n\n De plus \\(\\mathscr{T}\\) est commutatif. En effet, \\(PQ.P’Q’ = PQP’.Q’=P’QP.Q’=P’.QPQ’=P’.Q’PQ=P’Q’.PQ\\). Il y a bien commutativit\u00e9 du groupe des translations \\(\\mathscr{T}\\).<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs la relation g\u00e9n\u00e9rale \\((AB)^{\\alpha} = A^{\\alpha}B^{\\alpha}\\) montre que \\(\\mathscr{T}\\) <\/em>est un sous-groupe distingu\u00e9 du groupe euclidien des transformations.<\/p>\n\n\n\n Structure du groupe euclidien de Bachmann<\/strong><\/p>\n\n\n\n Notons pour un point \\(O\\) donn\u00e9, \\(\\Gamma_O\\) le sous-groupe des \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Gamma\\) qui laissent \\(O\\) invariant. Il contient les droites incidentes \u00e0 \\(O\\) et les produits de deux telles droites (rotations de centre \\(O\\)). Par les th\u00e9or\u00e8mes des tri-r\u00e9flexions sur le pinceau \u00e0 centre \\(\\mathscr{P}_O\\), il est clair que ce sont les seules transformations de \\(\\Gamma_O\\).<\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me<\/strong> (d\u00e9composition des transformations euclidiennes planes)<\/em><\/p>\n\n\n\n Soit \\(O\\) un point arbitraire de \\(\\Gamma\\), alors \\(\\Gamma=\\Gamma_O.\\mathscr{T}\\). Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, toute transformation \\(\\alpha\\)de \\(\\Gamma\\) peut s\u2019\u00e9crire de mani\u00e8re unique \\(\\alpha=\\rho_O \\tau\\) avec \\(\\rho_O \\in \\Gamma_O\\) et \\(\\tau \\in \\mathscr{T}\\).<\/p>\n\n\n\n Preuve du th\u00e9or\u00e8me<\/em><\/p>\n\n\n\n Soit \\(\\mathscr{H} = \\{ \\rho_O \\tau , \\rho_O \\in \\Gamma_O , \\tau \\in \\mathscr{T} \\}\\). L\u2019existence de la d\u00e9composition revient \u00e0 montrer que toutes les droites sont \u00e9l\u00e9ments de \\(\\mathscr{H}\\) <\/em>et que \\(\\mathscr{H}\\) <\/em>est stable par multiplication. L\u2019unicit\u00e9 sera acquise en montrant que \\(\\Gamma_O \\cap \\mathscr{H} = \\{Id\\}\\).<\/p>\n\n\n\n i) Les droites sont dans <\/em>\\(\\mathscr{H}\\). Soit \\(d\\) une droite et \\(d_O\\) l\u2019\u00e9qui-perpendiculaire \u00e0 \\(d\\) passant par \\(O\\). (on peut dire parall\u00e8le, mais nous n\u2019utilisons pas l\u2019axiome \\(\\mathbf{C}\\)). Alors \\(d=d_Od_Od\\). Et nous avons vu que \\(d_Od\\) est une translation.<\/p>\n\n\n\n ii) <\/em>\\(\\mathscr{H}\\) est stable par multiplication<\/em>. \\(\\rho_1 \\tau_1 . \\rho_2 \\tau_2 = \\rho_1 \\rho_2 (\\rho_2)^{-1} \\tau_1 \\rho_2 \\tau_2 = \\rho_1 \\rho_2 \\tau_1 ^{\\rho_2}\\tau_2\\) qui est un \u00e9l\u00e9ment de \\(\\mathscr{H}\\) <\/em>car \\(\\Gamma_O\\) est un sous-groupe, et \\(\\mathscr{T}\\) <\/em>est un sous-groupe distingu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Comme les droites engendrent \\(\\Gamma\\), les deux propri\u00e9t\u00e9s pr\u00e9c\u00e9dentes montrent que \\(\\mathscr{H} = \\Gamma\\)<\/p>\n\n\n\n iii) <\/em>\\(\\Gamma_O \\cap \\mathscr{H} = \\{Id\\}\\). Soit \\(\\tau\\) un \u00e9l\u00e9ment de \\(\\Gamma_O \\cap \\mathscr{H}\\).<\/em> On peut \u00e9crire \\(\\tau=ab\\) le produit de deux droites \u00e9qui-perpendiculaires.<\/p>\n\n\n\n D\u2019autre part puisque \\(\\tau \\in \\Gamma_O\\), il y a deux possibilit\u00e9s : soit \\(\\tau=g\\) avec \\(g \\mid O\\) soit \\(\\tau=gh\\) avec \\(g, h \\mid O\\). L\u2019unicit\u00e9 de l\u2019\u00e9criture d\u00e9coule de iii) <\/em>par les arguments usuels sur les structures de groupe.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n On se place d\u00e9sormais dans \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\) :<\/p>\n\n\n\n Axiome \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\) : il existe des droites qui n\u2019ont ni point ni perpendiculaire en commun. <\/strong><\/p>\n\n\n\n Autrement dit : il existe des droites non connectables.<\/p>\n\n\n\n Nous sommes alors dans une situation diff\u00e9rente du cas euclidien (\\(\\mathbf{R}\\) et \\(\\mathbf{C}\\)), et du cas elliptique (qui v\u00e9rifie \\(\\mathbf{C}\\) car \\(\\mathbf{P} \\Rightarrow \\mathbf{C}\\)). Mais \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\) seul ne s\u00e9pare pas d\u2019avec ce qui pr\u00e9c\u00e8de (le cas semi-euclidien est \\(\\mathbf{R}\\) et \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\)).<\/p>\n\n\n\n Soient \\(a\\) et \\(b\\) deux droites non connectables, \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) est sans support (pas de centre, pas d\u2019axe). Donc dans le cadre \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\), il existe des pinceaux sans support alors que d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, dans la g\u00e9om\u00e9trie absolue leur existence est seulement non exclue. Par les diff\u00e9rents th\u00e9or\u00e8mes sur les pinceaux, deux droites d\u2019un pinceau sans support sont toujours non connectables. Mais on n\u2019a pas d\u2019informations suppl\u00e9mentaires. En particulier, nous verrons , dans un futur article de blog, que sans plus de pr\u00e9cision, les pinceaux sans supports peuvent \u00eatre bien plus g\u00e9n\u00e9raux que le cas hyperbolique usuel, et m\u00eame entre eux, de natures diff\u00e9rentes.<\/p>\n\n\n Pour retrouver la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, il faut bien entendu restreindre tous ces possibles.<\/p>\n\n\n\n Consid\u00e9rons une droite \\(g\\) passant par \\(P\\) et non connectable \u00e0 une droite \\(h\\), et notons \\(u\\) la perpendiculaire \u00e0 \\(h\\) issue de \\(P\\). Alors la droite \\(g^u\\) (not\u00e9e \\(gu\\) ci-contre), sym\u00e9trique de \\(g\\) par rapport \u00e0 la droite \\(u\\), est elle aussi non connectable \u00e0 \\(h\\). D\u2019o\u00f9 la mise en place d\u2019un nouvel axiome :<\/p>\n\n\n\n Axiome <\/strong>\\(\\mathbf{H}\\) : Si <\/strong>\\(\\mathbf{P} \\mid \\mathbf{a, b, c} \\) et les couples <\/strong>\\(\\mathbf{(a, g), (b, g), (c, g)}\\) sont des couples de<\/strong> droites non connectables, alors, soit <\/strong>\\(\\mathbf{a=b}\\), soit <\/strong>\\(\\mathbf{b=c}\\), soit <\/strong>\\(\\mathbf{a=c}\\).<\/strong><\/p>\n\n\n\n \u00c9tant donn\u00e9s un point \\(P\\) et une droite \\(g\\), il passe par \\(P\\) au plus deux droites non connectables avec \\(g\\).<\/p>\n\n\n\n Un plan hyperbolique <\/strong>est alors un plan qui v\u00e9rifie les axiomes \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\) et<\/strong> \\(\\mathbf{H}\\). Il convient alors de v\u00e9rifier que les g\u00e9om\u00e9tries ainsi d\u00e9finies sont bien distinctes les unes des autres.<\/p>\n\n\n\n Pour cela, Bachmann montre que \\((\\neg \\; \\mathbf{C}\\) et \\(\\mathbf{H}) \\Rightarrow \\neg \\; \\mathbf{R}\\).<\/p>\n\n\n\n En pratique, il est \u00e9quivalent de montrer que \\((\\neg \\; \\mathbf{C}\\) et \\(\\mathbf{R}) \\Rightarrow \\neg \\; \\mathbf{H}\\), et utiliser l\u2019axiome du rectangle autorise une certaine souplesse par l\u2019utilisation de l\u2019\u00e9qui-perpendicularit\u00e9 et des translations. En particulier, on utilise le lemme technique suivant :<\/p>\n\n\n\n Lemme<\/em> : Avec l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\), si \\(u\\) et \\(v\\) sont \u00e9qui-perpendiculaires alors pour une droite \\(a\\) quelconque, \\(a^u\\) et \\(a^v\\) aussi.<\/p>\n\n\n\n Preuve du lemme<\/em> : L\u2019\u00e9qui-perpendicularit\u00e9 de deux droites \\(u\\) et \\(v\\) est \u00e9quivalente au fait que \\(uv\\) soit une translation. Et avec l\u2019axiome \\(\\mathbf{R}\\), les translations forment un groupe distingu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Donc si \\(uv\\) est une translation, \\((uv)^a\\) aussi et on a \\(a^ua^v=[(uv)^a(vu)]^u\\). Donc \\(u^av^a\\) est une translation, c\u2019est-\u00e0-dire que les droites sont \u00e9qui-perpendiculaires, ce qui, sous \\(\\mathbf{R}\\), signifie aussi qu\u2019elles ont une perpendiculaire commune et donc qu\u2019elles sont dans un faisceau \u00e0 axe.<\/p>\n\n\n Preuve de l\u2019implication<\/em> \\((\\neg \\; \\mathbf{C}\\) et \\(\\mathbf{R}) \\Rightarrow \\neg \\; \\mathbf{H}\\)<\/em>. Comme indiqu\u00e9 dans l\u2019introduction \u00e0 l\u2019axiome \\(\\mathbf{H}\\), par sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \\(v\\), les droites \\(a^v\\) et \\(g\\) sont non connectables. En particulier \\(a\\), \\(a^v\\) (incidentes \u00e0 \\(Q\\)) ne sont pas en pinceau avec \\(g\\). De m\u00eame \\(a^u\\) et \\(g\\) ne sont pas connectables. Par ailleurs, puisque \\(a^v\\) et \\(a^u\\) sont en pinceau \u00e0 axe, \\(a^u, a^v\\) et \\(g\\) ne sont pas en pinceau. De m\u00eame puisque \\(a\\) et \\(a^u\\) sont incidentes en \\(P\\), les droites \\(a\\), \\(a^u\\) et \\(g\\) ne sont pas en pinceau.<\/p>\n\n\n\n Soit maintenant \\(c\\) la droite incidente \u00e0 \\(P\\) appartenant au pinceau \\( \\mathscr{P}_{a^vg}\\) \u2013 dont l\u2019existence est une cons\u00e9quence de Hjelmslev \u2013 alors \\(c\\) est non connectable \u00e0 \\(c\\). Or elle est diff\u00e9rente de \\(a\\) (car \\(a, a^v, c\\) non en pinceau) et diff\u00e9rente de \\(a^u\\) (car \\(a^u, a^v, g\\) non en pinceau).<\/p>\n\n\n Donc \\(\\mathbf{R}\\) et \\(\\neg \\; \\mathbf{C}\\) conduit \u00e0 ce que \\(P\\) soit incident \u00e0 trois droites non connectables \u00e0 \\(g\\), ce qui est contraire \u00e0 \\(\\mathbf{H}\\). Ainsi la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique est bien distincte des g\u00e9om\u00e9tries semi-euclidiennes.<\/p>\n\n\n\n Dans le cas hyperbolique (ci-contre avec le disque de Poincar\u00e9), il est clair au contraire que \\(a^u\\), et \\(a^v\\), sont en pinceau avec \\(g\\), et certainement pas en pinceau \u00e0 axe, comme quand on est sous l\u2019axiome du rectangle.<\/p>\n\n\n\n Le plus remarquable est que cet axiome \u00e9vacue toutes les autres possibilit\u00e9s de pinceaux sans support en les r\u00e9duisant d\u2019un coup, avec un vocabulaire projectif, au cas minimal des seules intersections d\u2019une droite avec la conique absolue de Cayley (dans un contexte g\u00e9om\u00e9trique suffisamment riche pour que ces objets existent – ci dessus les points id\u00e9aux du cercle horizon). Ce r\u00e9sultat est assez troublant quant aux potentialit\u00e9s structurelles des plans m\u00e9triques, somme toute, en d\u00e9finitive, relativement limit\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Caract\u00e9risation de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique par les bouts de la figure de Bergau<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cet axiome \\(\\mathbf{H}\\) <\/strong>va permettre de fixer un vocabulaire sp\u00e9cifiquement hyperbolique aux faisceaux sans support. On dira tout d\u2019abord que deux droites non connectables \u2013 qui d\u00e9finissent donc un faisceau \u2013 ont un m\u00eame bout<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Puis on appellera bout<\/strong>(*)<\/sup>, le pinceau sans support d\u00e9fini par deux droites non connectables. Alors l\u2019axiome \\(\\mathbf{H}\\) <\/strong>permet de dire que si une droite \\(a\\) un bout, elle en a toujours un second (et pas plus). En terme de repr\u00e9sentation dans un mod\u00e8le (comme DP<\/strong> ou KB<\/strong>), on aura compris qu\u2019un bout \\(M= \\mathscr{P}_{ab}\\) o\u00f9 \\(a\\) et \\(b\\) sont non connectables peut se repr\u00e9senter par un point id\u00e9al \\(M\\) sur le cercle horizon.<\/p>\n\n\n\n (*) Le terme bout <\/em>a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9 par Hilbert [extr\u00e9mit\u00e9 <\/em>dans la traduction de P. Rossier] dans son article de 1904 sur une construction de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique n\u2019utilisant pas la continuit\u00e9 : Hilbert reprend la m\u00e9thode de Bolyai<\/a> et d\u00e9finit les bouts \u00e0 partir des demi-droites, utilisant explicitement une notion d\u2019ordre. Voir l’article consacr\u00e9 \u00e0 son (extraordinaire) corps des extr\u00e9mit\u00e9s<\/a> qui lui permet d’arriver \u00e0 son objectif. Bachmann montre ensuite deux propri\u00e9t\u00e9s \u00e9l\u00e9mentaires relatives \u00e0 l\u2019action des isom\u00e9tries sur les bouts des droites … qui en ont (car compte tenu de l\u2019\u00e9criture de l\u2019axiome \\(\\mathbf{H}\\), on pourrait rencontrer des plans hyperboliques pour lesquels certaines droites n\u2019auraient pas de bouts. Les mod\u00e8les r\u00e9els sont suffisamment riches pour que les droites aient toujours deux bouts).<\/p>\n\n\n\n 1 – la sym\u00e9trie orthogonale d\u2019axe une perpendiculaire \\(h\\) \u00e0 une droite \\(d\\) transforme un bout de \\(d\\) en l\u2019autre.<\/p>\n\n\n\n 2 – De m\u00eame pour les sym\u00e9tries centrales de centre \\(O\\) appartenant \u00e0 \\(d\\).<\/p>\n\n\n\n Ces propri\u00e9t\u00e9s des bouts \u00e9tant sp\u00e9cifiques \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, Bachmann s\u2019emploie ensuite \u00e0 chercher, pr\u00e9cis\u00e9ment, des caract\u00e9risations de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique par des \u00e9quivalents de l\u2019axiome \\(\\mathbf{H}\\). En particulier, il propose une figure caract\u00e9ristique de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, comme le triangle polaire l\u2019est de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique et le rectangle de la g\u00e9om\u00e9trie (semi)-euclidienne. En pratique on a besoin de lier l\u2019orthogonalit\u00e9 \u00e0 ce qui fait la particularit\u00e9 hyperbolique : les pinceaux sans support et leurs propri\u00e9t\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n Figure dynamique d’illustration de<\/strong> \\((\\neg \\; \\mathbf{C}\\) et \\(\\mathbf{H}) \\Rightarrow \\neg \\; \\mathbf{R}\\)<\/p>\n\n\n\n On construit un exemple o\u00f9 le produit de trois points est aussi le produit de deux droites sans support, donc certainement pas un point : on nie ainsi le th\u00e9or\u00e8me du rectangle \u00e9quivalent \u00e0 l\u2019axiome du rectangle : si dessous on a \\(A = gh, B = hu, C = uv\\), avec \\(v\\) et \\(g\\) non connectables. Alors \\(ABC=gv\\) n\u2019est pas un point.<\/p>\n\n\nLa g\u00e9om\u00e9trie elliptique<\/h2>\n\n\n\n
(plus simplement, on consid\u00e8re la perpendiculaire \u00e0 \\(b\\) en \\(A\\) \u2013 dont on sait qu\u2019elle est unique \u2013 d\u2019o\u00f9 ces relations).<\/p>\n\n\n\n
\u2022 De \\(U \\mid h\\) et \\(H=h\\), il en r\u00e9sulte alors que \\(U\\) est une droite ; il existe \\(u\\) telle que \\(u=U\\).
\u2022 Enfin de \\(U \\mid g\\) et \\(U=u\\), il en r\u00e9sulte qu\u2019il existe \\(G\\) tel que \\(G=g\\)<\/p>\n\n\n\n
Par deux droites distinctes, il passe un et un seul point.<\/p>\n\n\n\n
Deux droites distinctes ont toujours une et une seule perpendiculaire commune.<\/p>\n\n\n\nLa g\u00e9om\u00e9trie euclidienne<\/h2>\n\n\n\n
\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Les2imagesTHRectangle-Petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Le cas \\(ab=g\\). <\/em>Alors \\(a \\mid b\\) et donc \\(ab\\) serait un point \\(G\\), soit \\(G=g\\) ce qui est exclu car avec l\u2019axiome du rectangle, nous sommes dans le contexte \\(\\neg \\mathbf{P}\\).
Le cas \\(ab=gh\\)<\/em><\/em>. Si \\(g=h\\), alors \\(a=b\\) et \\(\\tau=Id\\), ce que l\u2019on voulait montrer.
Sinon, on peut \u00e9crire \\(a=ghb\\), soit \\(b \\in \\mathscr{P}_{gh}\\) et, par les Th 8 puis Th 4, il vient \\(a,b \\mid O\\). Comme \\(a\\) et \\(b\\) sont \u00e9qui-perpendiculaires, avoir un point commun signifie \u00eatre confondues. Donc dans ce cas, on a encore \\(a=b\\) et \\(\\tau=Id\\).<\/p>\n\n\n\nLa g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/AxiomeH_petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Mais rien n\u2019interdit, en g\u00e9n\u00e9ral qu\u2019il y ait d\u2019autres droites que \\(g\\) et \\(g^u\\) passant par \\(P\\) non connectables \u00e0 \\(h\\). Or en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, il n\u2019y en a que deux.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Illustr_RetnonC.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Soient deux droites non connectables \\(a\\) et \\(g\\) (par \\(\\neg \\, \\mathbf{C}\\)) et \\(P\\) et \\(Q\\) deux points de \\(a\\) (il existe au moins trois points). Notons \\(u\\) et \\(v\\) les perpendiculaires \u00e0 \\(g\\) issues de \\(P\\) et \\(Q\\).<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Illustr_H_dem_RnonC.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n