{"id":5537,"date":"2023-03-25T17:21:32","date_gmt":"2023-03-25T13:21:32","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5537"},"modified":"2025-12-21T16:55:27","modified_gmt":"2025-12-21T12:55:27","slug":"axiomatique-de-bachmann-pinceaux-remarquables-de-triangles-et-de-trilateres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=5537","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann – Pinceaux remarquables de triangles et de trilat\u00e8res"},"content":{"rendered":"\n

Cette page est consacr\u00e9e aux principaux pinceaux remarquables, dont les m\u00e9diatrices, les bissectrices, ou les hauteurs et quelques cons\u00e9quences. Comme d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 dans d’autres pages du site, la question des m\u00e9dianes, dans ce cadre tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral, est plus complexe \u00e0 traiter et n\u00e9cessite d’autres outils d\u00e9velopp\u00e9s plus loin dans la th\u00e9orie. Dans cette page, on utilise les premiers r\u00e9sultats de base (th 1 \u00e0 9) naturellement, mais aussi ceux autour du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev et les th\u00e9or\u00e8mes sur les pinceaux<\/a> autour de la transitivit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Les th\u00e9or\u00e8mes, \u00e9nonc\u00e9s dans un cadre tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral – en particulier ind\u00e9pendamment de la construction d’un corps de nombres associ\u00e9 \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie – introduisent des hypoth\u00e8ses sur l’existence de certaines droites qui peuvent ne pas exister selon la richesse de la g\u00e9om\u00e9trie. Bachmann parle de \u00ab\u00a0mobilit\u00e9 dans le plan\u00a0\u00bb, notion sur laquelle nous reviendrons dans une page consacr\u00e9e aux corps associ\u00e9s aux g\u00e9om\u00e9tries d\u00e9gag\u00e9es selon les axiomes ajout\u00e9s. Par exemple sur la g\u00e9om\u00e9trie minimale de Bachmann, le plan euclidien sur \\(\\displaystyle \\frac{\\mathbb{Z}}{3\\mathbb{Z}}\\), \u00e0 9 points et 12 droites, d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9 ici<\/a>, par chaque point passent 4 droites, par paire, deux \u00e0 deux orthogonales, chaque paire \u00e9tant bissectrices de l’autre. Mais deux droites incidentes \u00e0 un point et non orthogonales n’ont pas de bissectrices car il n’y a pas assez de droites. <\/p>\n\n\n\n

Dans le contexte de nos illustrations hyperboliques et elliptiques, dans les mod\u00e8les euclidiens construits sur \\(\\mathbb{R}\\), il n’y a pas probl\u00e8me de mobilit\u00e9 : en g\u00e9n\u00e9ral ces droites existent car il existe toujours une m\u00e9diatrice de deux points, et donc un centre de sym\u00e9trie de deux points, ou encore deux droites ont toujours (au moins) un axe de sym\u00e9trie. Nous commenterons souvent ces illustrations avec la culture d\u00e9j\u00e0 acquise des menus pr\u00e9c\u00e9dents DP<\/strong> et ELL<\/strong> m\u00eame si les objets mis en \u00e9vidence (essentiellement des cycles) ne sont pas encore d\u00e9velopp\u00e9s dans la description de l’axiomatique de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n

M\u00e9diatrices d’un triangle<\/h2>\n\n\n\n

Th 20<\/strong> : M\u00e9diatrices d\u2019un triangle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soit \\(ABC\\) un triangle. S\u2019il existe deux droites \\(u\\) et \\(v\\) telles que \\(A^u=B\\) et \\(B^v=C\\), alors il existe une droite \\(w\\) telle que \\(u, v, w\\) soient en pinceau et que \\(A^w=C\\).<\/p>\n\n\n\n

Preuve <\/em>: Soit (par Th 13<\/strong>, sur l’existence d’une droite d’un pinceau passant par un point) la droite \\(g\\) du pinceau \\(\\mathscr{P}_{uv}\\) passant par \\(B\\). Alors \\(ugv\\) est une droite \\(w\\) et on a : \\(A^w=A^{ugv}=B^{gv}=B^v=C\\)et de plus, le produit est une droite du pinceau de par les propri\u00e9t\u00e9s d\u00e9duites de la transitivit\u00e9.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustration des trois types de pinceau dans le contexte hyperbolique<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet. Le point \\(C\\) est aimant\u00e9 par un horicycle passant par \\(A\\) et \\(B\\) pour que le pinceau puisse \u00eatre r\u00e9ellement \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n

Note sur la manipulation des figures de toute cette page<\/strong>
Les noms des droites sont en fait donn\u00e9s par des points. En manipulant la figure, rapidement ces noms des droites (\\(u, v, w, g\\) ci-dessus) vont sur le cercle horizon. Pour les changer de place, il suffit de se rapprocher de ces noms, et quand ils sont surlign\u00e9s, on peut les prendre \u00e0 la souris et les d\u00e9placer. <\/p>\n\n\n\n

Dans le contexte elliptique, il n’y a qu’un type de pinceau : les pinceaux \u00e0 centre. On sait qu’il y a deux m\u00e9diatrices pour deux points donn\u00e9s et donc deux droites \\(u\\) (\\(u_1, u_2\\)) et deux droites \\(v\\) (\\(v_1, v_2\\)) ci-dessous … et donc quatre droites \\(g\\) (de la preuve): \\(g_{11}, g_{12}, g_{21}\\) et \\(g_{22}\\) … mais il n’y a bien que deux m\u00e9diatrices \\(w\\) de \\(A\\) et \\(C\\) et non pas quatre. Voici une illustration :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les droites du th\u00e9or\u00e8me 20 dans le cas elliptique<\/em>
Les droites \\(w_{11}\\) et \\(w_{22}\\) sont confondues: c’est la droite \\((I_{11}I_{22})\\).
Les droites \\(w_{12}\\) et \\(w_{21}\\) sont confondues: c’est la droite \\((I_{12}I_{21})\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure associ\u00e9e<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Les 4 intersections \\(I_{11}, I_{12}, I_{21}, I_{22}\\) sont les centres des 4 cercles circonscrits \u00e0 \\(ABC\\). Des figures plus abouties ont d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 propos\u00e9es dans cette page<\/a> du menu ELL<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Bissectrices de trilat\u00e8res<\/h2>\n\n\n\n

La question des bissectrices est tr\u00e8s int\u00e9ressante dans le cas hyperbolique car les bissectrices peuvent ne pas \u00eatre en pinceau. Commen\u00e7ons par un premier r\u00e9sultat \u00e9l\u00e9mentaire.<\/p>\n\n\n\n

Th 21a<\/strong> : bissectrices en pinceau \u00e0 centre<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soient \\(a, b, c\\) trois droites. S\u2019il existe deux droites \\(u\\) et \\(v\\) telles que \\(a^u=b\\) et \\(b^v=c\\) et s\u2019il existe \\(J \\mid u, v\\), alors il existe une droite \\(w\\) telle que \\(a^w=c\\), et \\(u, v, w\\) sont en pinceau.<\/p>\n\n\n\n

Preuve <\/em>: Soit \\(g\\) la perpendiculaire \u00e0 \\(b\\) incidente \u00e0 \\(J\\). Alors \\(ugv\\) est une droite \\(w\\) et on a : \\(a^w=a^{ugv}=b^{gv}=b^v=c\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me ne n\u00e9cessite pas d’hypoth\u00e8ses sur les droites \\(a, b, c\\). Voici deux illustrations
On a ajout\u00e9 le cercle inscrit du trilat\u00e8re … qui devient un triangle \u00e0 droite.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n

Du point de vue de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, cette figure n’est pas aussi triviale qu’il y para\u00eet car quand les droites se coupent (comme \u00e0 droite) il faut traiter la continuit\u00e9 de la bissectrice … pour qu’elle reste la bissectrice int\u00e9rieure. Ce point d\u00e9licat (y compris th\u00e9oriquement) a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 abord\u00e9 dans cette page<\/a> du menu DP<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Quand les bissectrices ne sont pas en pinceau<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cela ne concerne que la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique car dans le cas elliptique, deux droites \u00e9tant s\u00e9cantes, le point \\(J\\) du th\u00e9or\u00e8me 21a<\/strong> existe toujours. Dans le cas hyperbolique, quand ce point d’intersection n’existe pas, il peut ne pas y avoir de pinceau de bissectrices.<\/p>\n\n\n\n

Il existe n\u00e9anmoins des points bissecteurs. Bachmann garde le terme de \u00ab\u00a0milieu\u00a0\u00bb de deux droites (Mittelpunk<\/em> dans le Aufbau<\/em><\/strong> de 1959 p 52). Daniel Perrin, lui, utilise le terme de bissecteur<\/em>. Voici une propri\u00e9t\u00e9 des bissecteurs mais qui n’est pas montr\u00e9e par Bachmann qui n’utilise finalement pas les bissecteurs.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet. Conserver les droites \\(a, b, c\\) non s\u00e9cantes.<\/p>\n\n\n\n

Un mot sur l’approche KE-KH<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Sur ce th\u00e8me (comme sur d’autres) l’approche – tr\u00e8s diff\u00e9rente – de Daniel Perrin<\/a>, parce qu’elle est projective, est plus efficace. Dans les articles de ce site \u00e0 propos de cette approche, on appelle KH<\/strong> le plongement projectif du plan hyperbolique. Comme on dispose de la polarit\u00e9, les bissectrices de trois droites sont les m\u00e9diatrices de leurs p\u00f4les et donc les bissecteurs, les milieux des p\u00f4les. Dans ce contexte projectif, chaque point a deux milieux, il y a donc deux bissecteurs pour deux droites (un \u00e0 l’ext\u00e9rieur du cercle horizon bien entendu). Il y a alors, \u00ab\u00a0naturellement\u00a0\u00bb peut-on dire, quatre droites d’alignement des points bissecteurs pris par trois. La d\u00e9monstration est p. 104 de ce fichier souvent mentionn\u00e9 DPPartie4<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Signalons que KH<\/strong> n’est pas une g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann essentiellement parce que l’axiome d’incidence n’est pas respect\u00e9. Pour rappel, Daniel Perrin s’en explique ainsi :<\/p>\n\n\n\n

\n

Attention, par rapport aux textes standards sur les g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, ce livre pr\u00e9sente une singularit\u00e9. En effet, les points et les droites que nous d\u00e9finissons ici ne v\u00e9rifient pas toujours l\u2019axiome de base de la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide : par deux points passe une droite et une seule. Il nous semble, en effet, qu\u2019il est pr\u00e9f\u00e9rable de renoncer \u00e0 cet axiome dans un premier temps, m\u00eame si le poids des traditions s\u2019y oppose. Cette g\u00e9n\u00e9ralisation ne concerne d\u2019ailleurs que le cas hyperbolique pour lequel elle revient \u00e0 ajouter aux points du disque de Klein les points ext\u00e9rieurs. Dans ce cas, on verra que le surcro\u00eet d\u2019efficacit\u00e9 obtenu en utilisant la polarit\u00e9 vaut bien quelques concessions. On verra tout au long des chapitres suivants qu\u2019on retrouve ais\u00e9ment les r\u00e9sultats usuels en sp\u00e9cialisant les r\u00e9sultats g\u00e9n\u00e9raux aux points et droites hyperboliques.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 – pages 22-23<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Retour \u00e0 la pr\u00e9sentation de Bachmann<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Il propose ensuite un \u00e9nonc\u00e9 plus g\u00e9n\u00e9ral, gr\u00e2ce en particulier aux th\u00e9or\u00e8mes de transitivit\u00e9 de la relation \u00ab\u00a0\u00eatre en pinceau\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Th 21b : bissectrices en pinceau <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soient \\(a, b, c\\) trois droites non en pinceau, et \\(u\\) et \\(w\\) deux droites telles que \\(c^u=b\\) et \\(b^w=a\\). Alors :
S\u2019il existe une droite \\(v\\) \u00e0 la fois en pinceau, avec \\(a\\) et \\(c\\) d’une part et avec \\(u\\) et \\(w\\) d’autre part, alors \\(c^v=a\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustration de la d\u00e9monstration dans le cas de pinceau \u00e0 axe,
avec les pieds \\(h_B, h_C, h_A\\) respectivement sur \\(b, c, a\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n

On a donc \\(b^w=a\\) et \\(b^u=c\\). Puisque \\(v \\in \\mathscr{P}_{ac}, \\; cva = b^uvb^w\\) est une droite. de m\u00eame, comme \\(v \\in \\mathscr{P}_{uw}, \\; uvw\\) est aussi une droite. \\(b^u=c\\) s’\u00e9crit aussi \\(ub=cu\\), et de m\u00eame \\(b^w=a\\) s’\u00e9crit aussi \\(wb=aw\\). Alors \\(u(cva)w\\) s’\u00e9crit aussi \\(bu.v.wb\\) soit \\((uvw)^b\\) et donc est une droite, et m\u00eame (revoir le th 16<\/a>) de \\(\\mathscr{P}_{uw}\\).<\/p>\n\n\n\n

Cela signifie aussi que \\(b^uvb^w \\in \\mathscr{P}_{uw}\\), et donc, au final, les deux droites \\(v\\) et \\(b^uvb^w\\) sont deux droites qui appartiennent aux deux pinceaux \\(\\mathscr{P}_{uw}\\) et \\(\\mathscr{P}_{ac}\\).<\/p>\n\n\n\n

Pour montrer que \\(v=b^uvb^w\\), il suffit de montrer que les deux ponceaux sont distincts (car par le th 18<\/a> il n’existe au plus qu’une droite \u00e0 l’intersection de deux pinceaux).<\/p>\n\n\n\n

Pour cela, montrons que \\(b^u \\notin \\mathscr{P}_{uw}\\). En effet, si \\(b^u\\) tait dans ce ponceau, le produit \\(b^uuw=ubw\\) serait une droite – et en particulier \u00e9gal \u00e0 son inverse. Alors \\(cba = b^ubb^w = (ub)ubw(bw) = (ub)wbu(bw) = (wbu)b(ubw)=b^{ubw}\\) dont serait une droite, ce qui n’est pas car, par hypoth\u00e8se du th\u00e9or\u00e8me, \\(a, b, c\\) ne sont pas en pinceau.<\/p>\n\n\n\n

Et donc les deux pinceaux \u00e9tant distincts, leur intersection, si elle existe, est unique (th 18), et donc \\(v=b^uvb^w=cva\\), soit \\(c^v=a\\). De plus, on a \\(uvw=u(b^uvb^w)w=(uvw)^b\\). Comme \\(uvw \\neq b\\) (car sinon \\(ubw\\) seraient une droite) et qu’elle est stable par \\(b\\), alors n\u00e9cessairement \\(uvw \\perp b\\).<\/p>\n\n\n\n

Cela donne la perpendiculaire aux droites \\(a, b, c\\) appartenant au pinceau des bissectrices simplement par le produit de ces droites, donc les points de contact des cycles exinscrits par exemple, ceci ind\u00e9pendamment de la nature du cycle exinscrit (cercle, horicycle ou \u00e9quidistante). C’est ainsi que sont construits les points \\(h_A, h_B, h_C\\) dans l’illustration pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Compl\u00e9ments<\/strong> sur les propri\u00e9t\u00e9s du cercle inscrit et des cycles exinscrits dans cet article<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Les th\u00e9or\u00e8mes des milieux<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Th 22 : le th\u00e9or\u00e8me des milieux<\/strong>
Soit \\(ABC\\) un triangle. S\u2019il existe deux points \\(U\\) et \\(W\\) tels que \\(C^U=B\\) et \\(B^W=A\\) alors il existe une droite \\(v\\) telle que \\(UvW\\) soit une droite et tel que \\(C^v=A\\).<\/p>\n\n\n\n

La droite passant par deux milieux de deux \u00ab\u00a0c\u00f4t\u00e9s\u00a0\u00bb d’un triangle et le troisi\u00e8me \u00ab\u00a0c\u00f4t\u00e9\u00a0\u00bb de ce triangle ont pour perpendiculaire commune une m\u00e9diatrice de ce troisi\u00e8me c\u00f4t\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Le terme<\/em> \u00ab\u00a0c\u00f4t\u00e9\u00a0\u00bb est un abus langagier simplificateur car on ne peut pas d\u00e9finir de notion de segment \u00e0 ce stade de la th\u00e9orie, on n’a besoin que des centres de sym\u00e9trie de sommets en r\u00e9alit\u00e9. Par \u00ab\u00a0triangle\u00a0\u00bb on entend \u00ab\u00a0trois droites deux \u00e0 deux s\u00e9cantes\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Preuve<\/em> : soit \\(h\\) une<\/em>* perpendiculaire \u00e0 la droite \\((UV)\\) issue de \\(B\\). Par le th\u00e9or\u00e8me 10 (la version alg\u00e9brique de Hjelmselv), on sait que \\(UhW\\) est une droite \\(v\\), et on a \\(C^v= C^{UhW} =B^{hW}= B^W=A\\).<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de l’illustration hyperbolique<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

(*) : on n’a besoin que de l’existence d’une<\/em> perpendiculaire. Mais, par ailleurs, si \\(B\\) devait \u00eatre le p\u00f4le de \\((UW)\\), les points \\(B\\) et \\(C\\) seraient confondus, ce qui n’est pas le cas car on parle de vrai triangle \\(ABC\\). Donc dans tous les cas, il s’agit de la<\/em> perpendiculaire.<\/p>\n\n\n\n

\u00ab\u00a0une m\u00e9diatrice\u00a0\u00bb<\/em> car dans le cas elliptique, il existe deux milieux \\(U\\) et \\(W\\) donc plusieurs droites latex]h[\/latex] et ainsi plusieurs possibilit\u00e9s pour la droite latex]v[\/latex] . En r\u00e9alit\u00e9, comme dans le th\u00e9or\u00e8me 20, deux seulement, m\u00eame s’il y a quatre droites \\(h\\). <\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration suivante, les droites \\(h\\), not\u00e9es \\(h_{xy}\\) sont index\u00e9es en \\(U, V\\), ainsi \\(h_{ie}\\) est la perpendiculaire \u00e0 \\((U_{int}W_{ext})\\) passant par \\(B\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Illustration de la preuve pr\u00e9c\u00e9dente dans le contexte elliptique<\/em><\/p>\n\n\n\n

En utilisant la polarit\u00e9, il est facile de rep\u00e9rer quelle m\u00e9diatrice (droite rouge) passant par \\(V_{int}\\) ou \\(V_{ext}\\) est produit de \\(W_{xy}h_{xy}U_{xy}\\). Pour cela on rep\u00e8re par quel troisi\u00e8me milieu passe la droite \\((W_{xy}U_{xy})\\). En effet comme la perpendiculaire commune de deux droites est la polaire de leur intersection, il est clair que la m\u00e9diatrice passant par \\(V_{int}\\) est issue des deux hauteurs \\(h_{ii}\\) et \\(h_{ee}\\) : elle est la polaire de \\(V_{ext}\\), et donc la perpendiculaire commune de \\((AB)\\) et de \\((U_{int}W_{int})\\), mais aussi de \\((AB)\\) et de \\((U_{ext}W_{ext})\\). Et la m\u00e9diatrice issue de \\(V_{ext}\\) provient des deux autres hauteurs \\(h_{ie}\\) et \\(h_{ei}\\).<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de cette illustration elliptique<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

Th 23 : r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me des milieux<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soit \\(ABC\\) un triangle. S\u2019il existe une droite \\(u\\) et un point \\(W\\) tels que \\(C^u=B\\) et \\(B^W=A\\) alors il existe un point \\(V\\) tel que \\(uVW\\) soit une droite et \\(C^V=A\\). <\/p>\n\n\n\n

La perpendiculaire \u00e0 une m\u00e9diatrice d’un c\u00f4t\u00e9 d’un triangle passant par un milieu d’un autre c\u00f4t\u00e9 coupe le troisi\u00e8me c\u00f4t\u00e9 en un milieu. (avec les remarques pr\u00e9c\u00e9dentes sur l’expression \u00ab\u00a0c\u00f4t\u00e9\u00a0\u00bb)<\/p>\n\n\n\n

Preuve <\/em>: soit \\(s\\) une perpendiculaire \u00e0 \\(u\\) issue de \\(W\\) et \\(h\\) une perpendiculaire \u00e0 \\(s\\) issue de \\(B\\). Alors, par le th\u00e9or\u00e8me 10, \\(uWh\\) est un point \\(P\\), et donc \\(uhW=uhu(uWh)h=h^uPh\\) est un point \\(V \\; (\\in s)\\) v\u00e9rifiant \\(C^V=C^{uhW}=B^{hW}=B^W=A\\).
Enfin \\(uVW=u(uhW)W\\) est bien une droite, puisque ce n’est autre que la droite \\(h\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Les hauteurs d’un trilat\u00e8re<\/h2>\n\n\n\n

Th 24<\/strong> : hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re<\/strong>
Soit \\(a, b, c\\) un trilat\u00e8re non tripolaire (\\(abc \\neq 1\\)) et \\(u, v, w\\) telles que
i) \\(u \\perp a, v \\perp b\\) et \\(w \\perp c\\).
ii) \\(ubc, avc\\) et \\(abw\\) sont des droites.
Alors \\(uvw\\) est une droite (ie les trois droites sont en pinceau).<\/p>\n\n\n\n

Remarque sur l\u2019\u00e9criture du th\u00e9or\u00e8me<\/em> : la seconde s\u00e9rie d\u2019hypoth\u00e8ses sur \\(u, v, w\\) est celle de l\u2019existence d\u2019une droite appartenant \u00e0 l\u2019intersection du pinceau form\u00e9 de deux droites et de celui des droites orthogonales \u00e0 la troisi\u00e8me. On a vu (Th 18<\/a>) que l\u2019intersection de deux pinceaux contient au plus une droite : les existences de \\(u, v, w\\) ainsi d\u00e9finies ne sont pas certaines a priori, elles sont donc dans les hypoth\u00e8ses du th\u00e9or\u00e8me. Par exemple dans le cas elliptique, l\u2019\u00e9criture du th\u00e9or\u00e8me pourrait \u00eatre diff\u00e9rente car deux droites sont toujours s\u00e9cantes.<\/p>\n\n\n\n

Le th\u00e9or\u00e8me dit tout simplement que, quand elles existent toutes les trois, les hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re sont toujours en pinceau. C\u2019est en particulier le cas pour les triangles.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

On note \\(U=au=ua, V=vb=bv, W=wc=cw\\) es pieds des hauteurs et \\(p=ubc, q=avc\\) et \\(r=abw\\). On a rapidement les relations \\(Up=abc\\), et donc \\(Up=qV^c\\) et \\(Up=rW\\).
De m\u00eame, puisque \\(q=avc=cva \\)car une droite est \u00e9gale \u00e0 son inverse, on peut \u00e9crire\\(pqr=(ubc)(cva)(abw) =ubvbw=uv^bw=uvw\\) car \\(v^b=v\\) puisque \\(v \\perp b\\). Soit \\(pqr=uvw\\).<\/p>\n\n\n\n

Pour montrer que \\(uvw\\) est une droite, on va montrer que \\(pqr\\) en est une, et plus pr\u00e9cis\u00e9ment que ces trois droites sont en pinceau \u00e0 axe, d’axe la droite \\((UW)\\), c’est-\u00e0-dire que \\(p, q, r\\) sont toutes les trois orthogonales \u00e0 \\((UW)\\).<\/p>\n\n\n\n

\u2022 De \\(Up=abc \\neq 1\\) et du Th 4 (unicit\u00e9 de la perpendiculaire hors polarit\u00e9) , il existe une unique<\/em> droite \\(h\\) perpendiculaire \u00e0 \\(p\\) issue de \\(U \\; : \\; h \\mid p, U\\).
\u2022 De \\(Up=qV^c\\), on en d\u00e9duit que \\(qUp=V^c\\) est un point. Et donc, par le th\u00e9or\u00e8me 11, on sait que \\(qUp\\) est un point si et seulement si il existe une droite \\(g\\) telle que \\(g \\mid p, q, U\\), et donc \\(g\\) est la perpendiculaire commune \u00e0 \\(p\\) et \\(q\\) passant par \\(U\\). Par unicit\u00e9 de la droite \\(h\\), on a \\(g=h\\). Et donc \\(h\\) est orthogonale \u00e0 \\(p\\) et \\(q\\).
\u2022 Enfin la troisi\u00e8me relation \\(Up=rW\\) s’\u00e9crit d’une part \\(rUp=W\\), et donc \\(rUp\\) est un point et donc \\(h\\) est aussi orthogonale \u00e0 \\(r\\).
D’autre part \\(Up=rW\\) s’\u00e9crit aussi \\(U=rWp\\) et, toujours par le Th 11, on en d\u00e9duit que la perpendiculaire commune \u00e0 \\(r\\) et \\(p\\) passe aussi par \\(W\\). Et donc la droite \\(h\\) passe aussi par \\(W\\).<\/p>\n\n\n\n

En d\u00e9finitive \\(h=(UW)\\) et \\(p, q, r \\mid h\\). Donc, par l’axiome A4<\/strong>, \\(pqr \\)est une droite, et par le compl\u00e9ment \u00e0 l’axiome A4<\/strong>, c’est une droite orthogonale \u00e0 \\((UW)\\).<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure associ\u00e9e \u00e0 cette preuve<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Trois illustration sur le pinceau des hauteurs d’un trilat\u00e8re<\/em>
\u00e0<\/em> gauche les hauteurs sont en pinceau \u00ab\u00a0\u00e0 axe\u00a0\u00bb (non construit), au centre il est \u00ab\u00a0sans support\u00a0\u00bb (les trois hauteurs sont parall\u00e8les), \u00e0 droite il n’existe que deux hauteurs.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Th 25 : bissectrices du triangle podaire<\/strong>
Le pinceau des hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re est aussi le pinceau des bissectrices de son triangle podaire.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Preuve<\/em> : le principe est de montrer que le sym\u00e9trique de la droite \\((VU)\\) par rapport \u00e0 la droite \\(v\\)est la droite latex](VW)[\/latex]. Mais pour le moment on ne connait essentiellement qu’une propri\u00e9t\u00e9 de la sym\u00e9trie orthogonale : elle conserve l’orthogonalit\u00e9. Donc on va montrer qu’une perpendiculaire \u00e0 \\((VU)\\) est perpendiculaire \u00e0 \\((VW)\\). On va ainsi \u00eatre amen\u00e9 \u00e0 montrer que \\((VU)\\perp q^a\\) et que \\((VW)\\perp q^c\\).
On utilise la m\u00eame d\u00e9marche que ci-dessus. On ira un peu plus vite. <\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration ci-contre, les droites nomm\u00e9es \\(pc, qp, pa, qa\\) sont les droites \\(p^c, q^p, p^a, q^a \\) de la preuve.<\/em><\/p>\n\n\n\n

On a \\(q^c = cav, p^c = cub=buc\\). Et donc avec \\(V=bv=vb\\), il vient \\(q^cVp^c = caua = U^c\\). Ainsi \\(q^cVp^c\\) est un point. Cela signifie (Th 11) que la perpendiculaire commune \u00e0 \\(q^c\\) et \u00e0 \\(p^c\\) passe par le point \\(V\\). Comme on vient de montrer au th\u00e9or\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent que les droites \\(p\\) et \\(q\\) ont la droite \\((UW)\\) comme perpendiculaire commune, les droites \\(p^c\\) et \\(q^c\\) ont la droite \\((U^cW^c)\\) comme perpendiculaire commune et donc \\(W \\; (=W^c)\\) est sur la perpendiculaire commune \u00e0 \\(p^c\\) et \\(q^c\\) : cette perpendiculaire commune est donc la droite \\((VW)\\).<\/p>\n\n\n\n

De m\u00eame, la perpendiculaire commune \u00e0 \\(p^a\\) et \\(q^a\\) passe par \\(U^a=U\\). montrons qu’elle passe aussi par \\(V\\). Pour cela il faut montrer que \\(p^aVq^a\\) est un point. De \\(p=ubc=cbu\\), on a \\(p^a\\)=acbua, et de \\(q=avc\\), on a \\(q^a=vca\\). On ins\u00e8re \\(V=bv=vb\\), ce qui donne \\(p^aVq^a=(acbua)(bv)(vca) =(acb)ua(bca)=U^{bca}\\). C’est donc un point. Ainsi la perpendiculaire commune \u00e0 \\(p^a\\) et \\(q^a\\) est la droite \\((VU)\\).<\/p>\n\n\n\n

Comme indiqu\u00e9 en pr\u00e9ambule de la preuve, pour montrer que \\((VU)^v=(VW)\\), on va montrer que c’est le cas des droites orthogonales , \u00e0 savoir que \\((q^a)^v=q^c\\). Or c’est imm\u00e9diat (maintenant … tout a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9par\u00e9 pour ….). En effet \\((q^a)^v=v((vca)v=cav=q^c\\). Ce qui ach\u00e8ve le fait que les hauteurs d’un trilat\u00e8re sont les bissectrices de son triangle orthique.<\/p>\n\n\n\n

Lancer la figure de cette preuve<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n

On rappelle qu’en d\u00e9pla\u00e7ant les poign\u00e9es des droites (les points \\(a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\\)), les noms de toutes les droites vont aller vers le cercle horizon. Il suffit de se rapprocher d’eux et les d\u00e9placer quand ils sont surlign\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Le cycle inscrit ou exinscrit associ\u00e9 aux hauteurs<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration suivante, on voit que l’orthocentre peut \u00eatre le centre d’un cercle inscrit ou exinscrit au trilat\u00e8re. Et quand le pinceau devient \u00e0 axe le cercle devient une \u00e9quidistante. On remarquera que l’on utilise le m\u00eame point (nomm\u00e9 \\(Pt\\)) du point de contact du cycle sur la droite \\((UV)\\), obtenu par le principe d\u00e9taill\u00e9 en fin du th 21b<\/strong> ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n