{"id":5430,"date":"2023-03-10T14:55:32","date_gmt":"2023-03-10T10:55:32","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5430"},"modified":"2025-12-21T14:57:52","modified_gmt":"2025-12-21T10:57:52","slug":"axiomatique-de-bachmann-theoreme-de-hjelmslev-applications-transitivite-des-pinceaux","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=5430","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann &#8211; Th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev &#8211; Applications : transitivit\u00e9 des pinceaux"},"content":{"rendered":"\n<p>Les axiomes 3 et 4 portaient sur la compos\u00e9e de trois droites dans le cas des pinceaux \u00e0 centre ou \u00e0 axe. Avant d\u2019aborder les th\u00e9or\u00e8mes fondamentaux sur les pinceaux, dans une premi\u00e8re section, on explore le \u00ab m\u00e9lange \u00bb de points et de droites. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment nous allons caract\u00e9riser quand le produit \\(AbC\\) est une droite et quand \\(aBc\\) est un point.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans cette page on fait r\u00e9f\u00e9rence syst\u00e9matiquement aux premiers th\u00e9or\u00e8mes d\u00e9velopp\u00e9s dans <a href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5345\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5345\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette page<\/a> (s&rsquo;ouvre dans un nouvel onglet).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Illustrations euclidiennes du contexte<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour illustrer en terrain connu les d\u00e9veloppements absolus qui vont suivre, on peut commencer par regarder ce qu\u2019il en est d\u2019un point de vue euclidien :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignleft size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"255\" height=\"178\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/AbC-droite.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5432\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>\u00c9tant donn\u00e9 deux points \\(A\\) et \\(C\\) et une droite \\(b\\), on peut \u00e9tudier \\(AbC\\) en d\u00e9composant les points \\(A\\) et \\(C\\) en des droites parall\u00e8les et orthogonales \u00e0 \\(b\\) en \\(A=aa&rsquo;\\) et \\(C=cc&rsquo;\\). <br>Alors \\(AbC=aa&rsquo;bc&rsquo;c\\) avec \\(a&rsquo;, b, c&rsquo;\\) parall\u00e8les donc en pinceau, le produit de ces trois droites est une droite \\(d\\) parall\u00e8le \u00e0 \\(b\\).<br>Ainsi \\(AbC=adc\\) avec \\(d\\) orthogonale \u00e0 \\(a\\) et \\(c\\)<\/p>\n\n\n\n<p>On conclu alors &#8211; voir le paragraphe sur la lecture alg\u00e9brique de l&rsquo;incidence &#8211; que le produit \\(AbC\\) est une droite ssi le point \\(ab\\) est sur \\(c\\) c\u2019est-\u00e0-dire \\((AC) \\perp b\\).<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignleft size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"314\" height=\"187\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/aBc-point.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5434\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/aBc-point.jpg 314w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/aBc-point-300x179.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 314px) 100vw, 314px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Pour l\u2019\u00e9tude euclidienne de \\(aCb\\), puisqu\u2019il n\u2019y a qu\u2019un point en jeu, on peut directement se placer dans le vectorialis\u00e9 du plan affine, et consid\u00e9rer les droites \\(a&rsquo;\\) et \\(b&rsquo;\\) parall\u00e8les \u00e0 \\(a\\) et \\(b\\) passant par \\(C\\) : les transformations vectorielles sont les m\u00eames. <\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Alors il est clair, avec des notations \u00e9videntes, que : \\(\\overrightarrow{a&rsquo;} \\, \\overrightarrow{C} \\, \\overrightarrow{b&rsquo;} = -Id \\quad\\) ssi \\( \\quad a&rsquo; \/\/ b&rsquo;\\).<\/p>\n\n\n\n<p>C\u2019est ce que l\u2019on va essayer de transcrire dans un vocabulaire plus g\u00e9n\u00e9ral, o\u00f9 il n\u2019y a pas de parall\u00e8les \u2013 mais des perpendiculaires communes \u2013 et pas de vectorialis\u00e9 car pas de translations.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Deux th\u00e9or\u00e8mes pr\u00e9liminaires<\/h2>\n\n\n\n<p><br><strong>Th 10 : une lecture alg\u00e9brique du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev<\/strong><\/p>\n\n\n\\(AbC \\in \\Delta \\quad \\mathrm{ssi} \\quad \\exists v \\; \\mathrm{telle} \\; \\mathrm{que} \\; v \\mid A,b,C\\)\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">En pratique, sauf cas particuliers, \\(AbC\\) est une droite ssi, \\((AC)\\) est orthogonale \u00e0 \\(b\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Illustration dynamique<\/strong> <strong>dans<\/strong> <strong>le contexte hyperbolique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On illustre le fait que \\(AbC\\) est une droite en prenant la m\u00e9diatrice d&rsquo;un point \\(M\\) et de \\(M^{AbC}\\) : c&rsquo;est la droite rouge. \\(AbC\\) est effectivement une droite si cette droite rouge est ind\u00e9pendante du point \\(M\\).<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Dvhd2LS1Iy8tS8Vtsn4hliryXBUU7ESe\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans cette figure, agir sur le point \\(b_2\\) (aimant\u00e9 par la droite grise en pointill\u00e9) pour que la droite \\(b = (b_1b_2)\\) soit<\/em> <em>perpendiculaire \u00e0 \\((AC)=v\\).<br>On a aussi construit les droites \\(a\\) et \\(c\\) de la preuve suivante.<\/em><br> <\/p>\n\n\n\n<p><em>Preuv<\/em>e<\/p>\n\n\n\n<p>Si \\(A=C\\), \\(AbA\\) est une droite par conjugaison, et il existe toujours \\(v \\mid A,b\\): il suffit de choisir la (une) perpendiculaire \u00e0 \\(b\\) incidente \u00e0 \\(A\\). Le th\u00e9or\u00e8me est trivial dans ce cas ; on peut d\u00e9sormais supposer \\(A \\neq C\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Si \\(A\\) et \\(A\\) sont deux points distincts, le cas particulier ci-dessus donne une indication : consid\u00e9rons la droite \\(v\\) incidente \u00e0 \\(A\\) et \\(C\\) : par l&rsquo;axiome 1, cette droite existe, et on a \\(v \\mid A, C\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Notons alors \\(c=Cv=vC\\)  (la droite orthogonale \u00e0 \\(v\\) passant par \\(C\\)) et \\(a=Av=vA\\) la droite orthogonale \u00e0 \\(v\\) passant par \\(A\\). On a aussi \\(A=av=va\\). On peut alors \u00e9crire : \\(AbC=vabcv\\). Remarquons que les droites \\(a\\) et \\(c\\) sont distinctes car \\(A\\) et \\(C\\) sont distincts.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Premi\u00e8re implication <\/em>: si \\(v \\mid b\\) comme on a aussi \\(a \\mid v\\) et \\(c \\mid v\\), par l&rsquo;axiome <strong>A3<\/strong>, \\(a, b, c\\) sont en pinceau, il existe une droite \\(d\\) tel que \\(abc=d\\), et par le compl\u00e9ment de l&rsquo;axiome <strong>A3<\/strong> (Th. 6), de plus \\(d \\mid v\\), c&rsquo;est-\u00e0-dire \\(vdv=d\\). Autrement dit \\(AbC=d\\) soit \\(AbC\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n<p><em>R\u00e9ciproquement<\/em>: si \\(AbC\\) est une droite, par conjugaison, \\(vAbCv\\) aussi et donc \\(v(abcv)v\\)  est une droite, soit \\(abc\\) est une droite. On a vu qu\u2019<em>\u00eatre en pinceau <\/em>est ind\u00e9pendant de l\u2019ordre des droites et donc \\(acb\\) est aussi une droite. Or \\(a \\mid v\\) et \\(c \\mid  v\\) avec \\(a\\) diff\u00e9rent de \\(c\\). Par le th\u00e9or\u00e8me 9, r\u00e9ciproque de l&rsquo;axiome <strong>A4<\/strong>, il vient \\(b \\mid v\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Compl\u00e9ment au Th 10 :<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Dans le cas o\u00f9 \\(AbC\\) est une droite \\(d\\), et \\(v\\) une droite telle que \\(v \\mid A, b, C\\)  alors \\(d \\mid v\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Preuve du compl\u00e9ment<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Dans le cas o\u00f9 \\(A\\) et \\(C\\) sont distincts, le compl\u00e9ment de l&rsquo;axiome <strong>A4<\/strong> appliqu\u00e9 \u00e0 ce qui est ci-dessus suffit \u00e0 assurer que \\(d \\mid v\\).<br>Dans le cas o\u00f9 \\(A=C\\), la droite \\(d\\) est \\(AbA\\). Or si \\(v \\mid b, A\\), alors \\(AbA \\mid AvA\\) par conservation de la relation \\(\\mid\\) par isom\u00e9trie. Or \\(AvA=A\\) donc  \\(d \\mid v\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Illustration du th\u00e9or\u00e8me dans le contexte elliptique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p> On a toujours un point \\(M\\), son sym\u00e9trique \\(M^A\\)par rapport \u00e0 \\(A\\), not\u00e9 \\(MA\\) dans la figure suivante, le sym\u00e9trique \\(M^{Ab}\\) de ce point par rapport \u00e0 la droite \\(b=(b_1b_2)\\), not\u00e9 \\(MAb\\) dans la figure, et enfin son sym\u00e9trique par rapport au point \\(C\\), soit \\(M^{AbC}\\), not\u00e9 \\(MAbC\\) dans les illustrations. Dans le contexte elliptique le m\u00e9diateur entre \\(M\\) et \\(M^{AbC}\\) est la r\u00e9union de deux droites orthogonales : ce sont les droites rouges. \\(AbC\\) est effectivement une droite si une de ces deux droites rouges est ind\u00e9pendante du point \\(M\\). C&rsquo;est le cas quand \\(A\\) est sur la perpendiculaire \u00e0 \\(b\\) passant par \\(C\\) (droite grise en pointill\u00e9, qui aimante \\(A\\)).<\/p>\n\n\n\n<p>Le contexte elliptique est plus riche car le point \\(A\\) peut aussi \u00eatre sur le p\u00f4le \\(P_b\\) de la droite \\(b\\). Voici une galerie de 6 illustrations de ce que l&rsquo;on peut exp\u00e9rimenter avec la figure suivante.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de 6 illustrations de la figure suivante<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>La figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1s0zFaeoufnpHQs7x1nhxivB91V09FOll\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:570px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur les points \\(M, A, C\\) ou les poign\u00e9es \\(b_1, b_2\\) pour explorer les situations propos\u00e9es ci-dessus &#8230; ou d&rsquo;autres &#8230;<\/em><br><em>Placer ensuite \\(A\\) sur la droite \\((C P_b)\\) et alors \\(M\\) sur la polaire de \\(C\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 11 : th\u00e9or\u00e8me dual du pr\u00e9c\u00e9dent<\/strong><\/p>\n\n\n\\(aBc  \\; \\mathrm{e}st \\; \\mathrm{un} \\; \\mathrm{point} \\; \\quad \\mathrm{ssi} \\quad \\exists v \\; \\mathrm{telle} \\; \\mathrm{que} \\; v \\mid a,B,c\\)\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">En pratique, sauf cas particuliers, \\(aBc\\) est un point ssi, \\(B\\) est sur la perpendiculaire commune \u00e0  \\(a\\) et \u00e0 \\(c\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Ce th\u00e9or\u00e8me se montre simplement en revenant au pr\u00e9c\u00e9dent par conjugaison.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Sens direct <\/em>: si \\(aBc\\) est un point \\(D\\) alors \\(BcD=a\\) est une droite et par le compl\u00e9ment ci-dessus au th\u00e9or\u00e8me 10, il existe une droite \\(v\\) telle que \\(v \\mid B, c, D, a\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Sens r\u00e9ciproque <\/em>: Supposons qu&rsquo;il existe une droite \\(v\\) telle que \\(v \\mid a, B, c\\).<br>Notons \\(b=Bv\\). Par hypoth\u00e8se \\(vc=cv\\). Puisque l&rsquo;on a \\(v \\mid a, b, c\\), par l&rsquo;axiome <strong>A4<\/strong>, \\(abc\\) est une droite \\(d\\) telle que \\(d \\mid v\\) (compl\u00e9ment \u00e0 l&rsquo;axiome <strong>A4<\/strong>).<br>On peut alors \u00e9crire \\(aBc = abvc = abcv = dv\\) qui est un point puisque \\(d \\mid v\\). Ainsi \\(aBc\\) est un point \\(D\\) et de plus \\(D \\mid v\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure d&rsquo;illustration dans le cadre hyperbolique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Avec les notations identiques \u00e0 la figure pr\u00e9c\u00e9dente, on peut proposer cette illustration<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"776\" height=\"478\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_a.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5463\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_a.jpg 776w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_a-300x185.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_a-768x473.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 776px) 100vw, 776px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus le cas g\u00e9n\u00e9ral de la figure, ci-dessous le cas du th\u00e9or\u00e8me, avec \\(B\\) sur la perpendiculaire commune \u00e0 \\(a\\) et \\(c\\)<\/em> : <em> \\(I\\)<\/em> <em>et  \\(J\\)<\/em> <em>sont confondus.<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"436\" height=\"418\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_b.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5464\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_b.jpg 436w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Bachmann_th11_b-300x288.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 436px) 100vw, 436px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/17j-Gbd-tQYupIpo04oViDzL9Nh-HTX5h\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th11.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Compl\u00e9ment au Th. 11 :<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Dans le cas o\u00f9 \\(aBc\\) est un point \\(D\\), et \\(v\\) une droite telle que \\(a, B, c \\mid v\\), alors \\(D \\mid v\\). <em>Preuve <\/em>: ceci r\u00e9sulte de la preuve ci-dessus (du sens direct).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Illustration elliptique de ce th\u00e9or\u00e8me<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>La situation est bien plus riche car deux points ont deux milieux et deux m\u00e9diatrices. Voici quelques illustrations.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"903\" height=\"453\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/PresenteFig11Ell.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5467\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/PresenteFig11Ell.jpg 903w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/PresenteFig11Ell-300x150.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/PresenteFig11Ell-768x385.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 903px) 100vw, 903px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus, pr\u00e9sentation g\u00e9n\u00e9rale, ci dessous, les 4 possibilit\u00e9s de concordance des milieux d&rsquo;indices \\(m\\) ou \\(n\\)<\/em>,<br><em>respectivement, en haut \\(I_m=I_n, \\; J_n=J_m\\) et en dessous \\(J_n=i_m\\) et \\(I_n=J_m\\)<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p>Quand \\(B\\) est sur la perpendiculaire commune, le point \\(D\\), centre de sym\u00e9trie,  \u00e9tant un des milieux des segments, la droite qui passe par les deux autres milieux est la polaire de ce point. Par ailleurs, le centre de sym\u00e9trie \u2013 d\u2019apr\u00e8s le compl\u00e9ment au th\u00e9or\u00e8me \u2013 \u00e9tant sur la droite \\(v\\), polaire de \\(V\\), sa polaire passe par \\(V\\) : donc les deux m\u00e9diatrices communes \u00e0 \\([NN^{aBc}]\\) et \\([MM^{aBc}]\\)  sont celles incidentes \u00e0 \\(V\\). Ou encore le centre de sym\u00e9trie cherch\u00e9 est l\u2019intersection des deux m\u00e9diatrices non incidentes \u00e0 \\(V\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"896\" height=\"872\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Th11_Ell_Les4Cas.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5469\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Th11_Ell_Les4Cas.jpg 896w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Th11_Ell_Les4Cas-300x292.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Th11_Ell_Les4Cas-768x747.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 896px) 100vw, 896px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/10IhlxQfzaZlY_VSRPwdvg220sK-XaXVl\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th11_Ell.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure associ\u00e9e<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev<br>\u00ab\u00a0Th\u00e9or\u00e8me fondamental des plans m\u00e9triques\u00a0\u00bb<\/h2>\n\n\n\n<p>Bachmann utilise plusieurs fois l&rsquo;expression \u00ab Th\u00e9or\u00e8me fondamental des plans m\u00e9triques\u00bb \u00e0 propos du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev, alors que, dans le contexte o\u00f9 nous le rencontrons, c\u2019est un th\u00e9or\u00e8me relativement technique (quasiment un lemme), assez \u00e9l\u00e9mentaire. Si on s\u2019interroge sur cet aspect \u00ab fondamental \u00bb on peut envisager plusieurs points de vue . Sous un angle formel, ce th\u00e9or\u00e8me est la premi\u00e8re caract\u00e9risation de droites en pinceaux de l\u2019axiomatique de Bachmann ; nous verrons plus loin qu\u2019il est ensuite \u00e0 l\u2019origine de la mise en place d\u2019autres th\u00e9or\u00e8mes fondamentaux sur la transitivit\u00e9 des pinceaux. D\u2019un point de vue technique \u2013 en particulier de construction \u2013 c\u2019est un th\u00e9or\u00e8me essentiel pour la r\u00e9alisation de figures ind\u00e9pendamment du type de pinceau rencontr\u00e9 ; on comprendra que pour ce site il est fondamental, en particulier pour cela.  D\u2019un point de vue \u00e9pist\u00e9mologique, ce qualificatif est peut-\u00eatre aussi un hommage de Bachmann \u00e0 son illustre pr\u00e9d\u00e9cesseur, qui a \u00e9t\u00e9 le premier \u00e0 travailler sur la possibilit\u00e9 de mettre en \u00e9vidence une pr\u00e9sentation de la g\u00e9om\u00e9trie \u00e0 partir des sym\u00e9tries orthogonales et de leurs compositions.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"385\" height=\"355\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Hjelmslev-euclidien-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5473\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Hjelmslev-euclidien-petit.jpg 385w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Hjelmslev-euclidien-petit-300x277.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 385px) 100vw, 385px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Th. 12 : Hjelmslev &#8211; version g\u00e9om\u00e9trique du th 10<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Soient \\(a, a_1, b, c, c_1\\) cinq droites telles que \\(aa_1=A, \\; cc_1=C\\), avec \\(A\\) et \\(C\\) distincts et telles que \\(abc\\) soit une droite \\(d\\).<br>Alors \\(a_1bc_1\\) est une droite si et seulement si \\(d \\mid (AC)\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Preuve<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>\\(a_1bc_1= a_1(aa)b(cc)c_1= AabcC=AdC\\). Par le th\u00e9or\u00e8me 10, \\(a_1bc_1\\) est une droite si et seulement si il existe une droite \\(v \\mid A, d, C\\) soit ssi \\(d \\mid (AC)\\).<\/p>\n\n\n\n<p>ci-contre illustration euclidienne : si \\(abc=d\\), c&rsquo;est que \\(ab=dc\\), d&rsquo;o\u00f9 l&rsquo;\u00e9galit\u00e9 d&rsquo;angles.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Illustration hyperbolique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>C&rsquo;est le contexte le plus riche car les pinceaux peuvent \u00eatre de plusieurs type alors qu&rsquo;il n&rsquo;y a qu&rsquo;un seul type dans le contexte elliptique. Dans la figure suivante, on consid\u00e8re trois droites \\(a, b , c\\) en pinceau (\u00e0 centre ou \u00e0 axe) &#8211; dont la question de la construction sera abord\u00e9e plus loin &#8211; on note \\(aOrth\\) et \\(cOrth\\) les droites \\(a_1\\) et \\(c_1\\) du th\u00e9or\u00e8me. Voici une galerie de 8 illustrations de ce que l&rsquo;on peut faire de la figure suivante.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de 8 illustrations de la figure suivante<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>La figure dynamique<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1MwZHdFKZaHCUy26EkkEIyhJJ3N1g9iZG\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:580px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur les poign\u00e9es \\(a_1, a_2, c_1, c_2\\) des droites \\(a\\) et \\(b\\), mais aussi sur la poign\u00e9e \\(b\\) de la droite du m\u00eame nom, <br>ainsi que sur les points \\(A\\) et \\(C\\) pour reproduire les 8 situations pr\u00e9sent\u00e9es ci-dessus.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas des pinceaux sans support<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Mais on sait aussi que, dans le cas hyperbolique, il existe un troisi\u00e8me type de pinceau &#8211; pas encore abord\u00e9 jusque l\u00e0 dans l&rsquo;axiomatique de Bachmann telle qu&rsquo;elle est d\u00e9roul\u00e9e, mais bien entendu le th\u00e9or\u00e8me 12 ayant comme principale argumentation, la situation o\u00f9 le produit de trois droites est une droite, le r\u00e9sultat s&rsquo;applique aussi dans le cas des \u00ab\u00a0pinceaux sans support\u00a0\u00bb c&rsquo;est-\u00e0-dire quand le pinceau \\(\\mathscr{P}_{ac}\\) est compos\u00e9 de droites parall\u00e8les. En voici une illustration :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"998\" height=\"931\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th12_PinceauxParalleles.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5488\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th12_PinceauxParalleles.jpg 998w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th12_PinceauxParalleles-300x280.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th12_PinceauxParalleles-768x716.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 998px) 100vw, 998px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1RMg-p26KvaFo1Yi1cWmIahiT64_t_MuT\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th12_Parall.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure associ\u00e9e<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>La construction de la droite \\(b\\) telle que \\(a, b, c\\) soient en pinceau<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Une premi\u00e8re cons\u00e9quence du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmlev est la construction de cette droite \\(b\\) depuis un point \\(M\\) donn\u00e9, et ceci, ind\u00e9pendamment du mod\u00e8le dans lequel on travaille, mais pour l&rsquo;illustration \u00ab\u00a0s\u00e9quentielle\u00a0\u00bb on peut avoir envie d&rsquo;une construction ind\u00e9pendante du th\u00e9or\u00e8me lui-m\u00eame. Voici par exemple une de construction r\u00e9alisable dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, \u00e0 partir des propri\u00e9t\u00e9s de l&rsquo;inversion.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"596\" height=\"376\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5491\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12.jpg 596w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12-300x189.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 596px) 100vw, 596px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La droite du pinceau \\(P_{ab}\\) passant par \\(M\\) est d\u00e9finie par deux contraintes :<br>\u2022 C&rsquo;est une droite hyperbolique donc la trace d&rsquo;un cercle passant par \\(M\\) et son inverse \\(Inv_M\\) par rapport au cercle horizon, soit de centre un point de la m\u00e9diatrice euclidienne de \\(M\\) et \\(Inv_M\\).<br>\u2022 Comme droite d&rsquo;un pinceau, son centre euclidien \\(I_m\\) est sur la droite des centres euclidiens \\((I_aI_b)\\), et donc \u00e0 l&rsquo;intersection de ces deux droites.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"549\" height=\"426\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12-secants.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5492\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12-secants.jpg 549w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Illustr_Pinceau_sansTh12-secants-300x233.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 549px) 100vw, 549px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Autre illustration : pinceau de droites s\u00e9cantes<\/em><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Une premi\u00e8re application du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmlsev<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Th 13 : existence d\u2019une droite d\u2019un pinceau donn\u00e9 incidente \u00e0 un point donn\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Soient \\(a\\) et \\(c\\) deux droites et \\(M\\) un point. Alors il existe une droite du pinceau \\(\\mathscr{P}_{ac}\\) incidente \u00e0 \\(M\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"384\" height=\"380\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Bachmann_Th13.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5495\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Bachmann_Th13.jpg 384w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Bachmann_Th13-300x297.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 384px) 100vw, 384px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Construction de la droite de \\(P_{ac}\\) passant par \\(M\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Depuis le point \\(M\\), on m\u00e8ne les perpendiculaires \\(a_1\\) et \\(c_1\\) aux droites \\(a\\) et \\(c\\). On note \\(A=aa_1\\) et \\(C=cc_1\\) les pieds de ces perpendiculaires. <br>Si \\(A=C\\), alors \\(A=C=M\\) , le pinceau est \u00e0 centre et la droite \\(c_1\\) ou  la droite \\(a_1\\) sont une droite solution. <br>Si \\(A \\neq C\\), soit alors \\(d\\) la &#8211; une<sup>(*)<\/sup> &#8211; perpendiculaire \u00e0 \\((AC)\\) issue de \\(M\\) (droite orange ci-dessus). Alors la droite (bleue ci-dessus) \\(b=c_1da_1\\) est une droite passant par \\(M\\) telle que \\(d=a_1bc_1\\).<br>Alors, d&rsquo;apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev, \\(b\\) est la droite cherch\u00e9e car \\(abc\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">!*) On a vu dans les premiers th\u00e9or\u00e8mes que le seul cas o\u00f9 il n\u2019y a pas unicit\u00e9 est quand \\(M\\) est p\u00f4le de \\((AC)\\). Mais dans le cas elliptique, la construction est triviale car il n&rsquo;y a que des pinceaux \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/11C9AUHBV15Zw_i5j-dNu61kXyRbVKOUS\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th13.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure de cette illustration<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p>L\u2019existence, en g\u00e9n\u00e9ral, d\u2019une droite incidente \u00e0 un point donn\u00e9 appartenant \u00e0 un faisceau donn\u00e9 va \u00eatre un argument significatif dans les premiers th\u00e9or\u00e8mes sur les faisceaux d\u2019un triangle ou d\u2019un trilat\u00e8re. Par exemple nous allons voir que sans l\u2019existence d\u2019un point, ne pouvant introduire de cette fa\u00e7on une droite dans un faisceau, nous ne pourrons pas assurer l\u2019existence de certains faisceaux qui existent d\u00e8s qu\u2019un point existe. Ce n\u2019est bien entendu pas la limite d\u2019une d\u00e9marche constructive : nous verrons un exemple de non-existence de ces faisceaux, m\u00eame dans les g\u00e9om\u00e9tries aussi riches que la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique r\u00e9elle.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Transitivit\u00e9 de la relation \u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb<br>et ses cons\u00e9quences<\/h2>\n\n\n\n<p>Avant d\u2019aborder &#8211; dans la page suivante &#8211; les th\u00e9or\u00e8mes usuels sur les triangles et les trilat\u00e8res, afin d\u2019obtenir directement que certaines droites remarquables sont en pinceau, c\u2019est le moment d\u2019aller plus loin dans l\u2019\u00e9tude g\u00e9n\u00e9rale de ces pinceaux. En d\u00e9finissant la relation \u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb, nous avons tout de suite vu qu\u2019elle \u00e9tait r\u00e9flexive et sym\u00e9trique. Voyons maintenant :<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 14 : th\u00e9or\u00e8me de transitivit\u00e9<\/strong><br>Si \\(a \\neq b\\) et si \\(abc\\) et \\(abu\\) sont des droites, alors \\(acu\\) est aussi une droite.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Commentaire sur ce r\u00e9sultat <\/em>: tout d\u2019abord, on peut remarquer que si le pinceau de droites \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) est \u00e0 centre ou \u00e0 axe, par application des axiomes <strong>A3<\/strong> et <strong>A4<\/strong> de leurs r\u00e9ciproques, le th\u00e9or\u00e8me de transitivit\u00e9 est imm\u00e9diat. En effet, si \\(a\\) et \\(b\\) ont un point \\(P\\) en commun (ce serait la m\u00eame chose si c\u2019\u00e9tait une perpendiculaire \\(g\\)) alors \\(abc\\) \u00e9tant une droite, \\(c\\) est incident \u00e0 \\(P\\), \\(abu\\) \u00e9tant une droite \\(u\\) est incident \u00e0 \\(P\\), donc \\(a, c, u\\) \u00e9tant incident \u00e0 \\(P\\), \\(acu\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n<p>C\u2019est en particulier le cas dans les cas euclidien ou elliptique o\u00f9 il n\u2019y a pas d\u2019alternative aux axiomes <strong>A3<\/strong> et <strong>A4<\/strong>. Le seul int\u00e9r\u00eat de ce th\u00e9or\u00e8me \u2013 et aussi une des forces de cette axiomatique \u2013 est sa preuve dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, en particulier ind\u00e9pendamment du type pinceau, m\u00eame s\u2019il est \u00ab sans support \u00bb. Comme c\u2019est le seul cas d\u00e9sormais significatif, nous l\u2019illustrerons dans ce cas ; en pratique dans le cas o\u00f9\\(P_{ab}\\) est un pinceau de deux droites parall\u00e8les dans le cas hyperbolique.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"249\" height=\"216\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Lemme_Pied_Perp.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5499\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><em>Lemme<\/em>: les pieds des perpendiculaires \u00e0 deux droites distinctes issues d\u2019un point n\u2019appartenant \u00e0 aucune des deux droites sont distincts.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Preuve du lemme <\/em>: on consid\u00e8re donc \\(a \\neq b\\) et \\(P\\) non incident \u00e0 aucune de ces droites. Soient  \\(a_1\\) et  \\(b_1\\) des perpendiculaires \u00e0 \\(a\\) et \\(b\\) incidentes \u00e0 \\(P\\) : \\(P \\, \\mathfrak{I} \\, a_1,b_1\\) , avec \\(A=aa_1\\) et \\(B=bb_1\\). <br>On rappelle que l&rsquo;incidence \\(\\mathfrak{I}\\) contient, en plus de la relation \\(\\mid\\), les conditions \\(Pa_1 \\neq 1\\) et \\(Pb_1 \\neq 1\\) .<\/p>\n\n\n\n<p>Supposons (par l\u2019absurde) que \\(A=B\\). On a donc d\u2019une part \\(P, A \\, \\mathfrak{I} \\, a_1,b_1\\) et en m\u00eame temps \\(aa_1=bb_1\\)\u2019, soit encore \\(a_1b_1=ab\\). Comme \\(a \\neq b\\) on a \\(ab \\neq 1\\) donc \\(a_1b_1 \\neq 1\\) soit \\(a_1 \\neq b_1\\). De \\(P, A \\, \\mathfrak{I} \\, a_1,b_1\\), on a en particulier \\(P, A \\mid a_1,b_1\\). Par l\u2019axiome <strong>A2<\/strong>, on a donc \\(P=A=B\\), soit \\(P  \\mid a,b\\) ce qui n\u2019est pas par hypoth\u00e8se.<\/p>\n\n\n\n<p>Pour montrer le th\u00e9or\u00e8me, Bachmann distingue deux cas. Tout d\u2019abord le cas o\u00f9 il existe un triangle tripolaire. Nous avons vu, avec le th\u00e9or\u00e8me 2, que c\u2019est \u00e9quivalent \u00e0 l\u2019existence de trois droites \\(a, b, c\\) de produit \\(abc=1\\), ou encore \u00e0 l\u2019existence d\u2019un point \\(C\\) tel que \\(C=c\\). Nous montrerons ult\u00e9rieurement, ind\u00e9pendamment de ce que nous \u00e9tudions ici, que dans ce cas, n\u00e9cessairement toutes les droites en pinceau sont en pinceau \u00e0 centre, et la transitivit\u00e9 a alors \u00e9t\u00e9 trait\u00e9e ci-dessus (elle est contenue dans les axiomes). Examinons donc le seul cas qui n\u00e9cessite une preuve sp\u00e9cifique, celui o\u00f9 un produit de trois droites n\u2019est jamais \u00e9gal \u00e0 un, ou encore un point n\u2019est jamais \u00e9gal \u00e0 une droite. Nous avons vu (th\u00e9or\u00e8me 4) que dans ce cas, un point et une droite \u00e9tant donn\u00e9s, il existe une \u2013 <em>et une seule <\/em>\u2013 droite incidente \u00e0 ce point perpendiculaire \u00e0 cette droite. C\u2019est cette unicit\u00e9 que nous allons appliquer plusieurs fois.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"428\" height=\"417\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th14_intro1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5504\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th14_intro1.jpg 428w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th14_intro1-300x292.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 428px) 100vw, 428px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><em>Preuve du th\u00e9or\u00e8me <\/em>: on suppose que les 4 droites \\(a, b, c, u\\)  sont distinctes sinon le th\u00e9or\u00e8me est trivial. Soit alors \\(A\\) un point incident \u00e0 \\(a\\) et non incident \u00e0 \\(b\\). Alors \\(A\\) n\u2019est incident ni \u00e0 \\(c\\) ni \u00e0 \\(u\\) (par le th\u00e9or\u00e8me 8, r\u00e9ciproque de l\u2019axiome <strong>A3<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<p>Ci-contre les droites \\(a, b, c, u\\) sont pilot\u00e9es par un point du m\u00eame nom et sont, par trois en pinceau. Bien entendu, les 4 droites sont d\u00e9j\u00e0 en pinceau : il n&rsquo;y a pas d&rsquo;alternative  puisque c&rsquo;est justement ce que l&rsquo;on va montrer.<\/p>\n\n\n\n<p>On consid\u00e8re les perpendiculaires \\(b_1, c_1, u_1\\), respectivement \u00e0 \\(b, c, u\\) passant par \\(A\\). D&rsquo;apr\u00e8s le lemme pr\u00e9c\u00e9dent, les pieds des perpendiculaires \\(B, C, U\\) sont distincts.<\/p>\n\n\n\n<p>Par hypoth\u00e8se &#8211; parce que la nature d&rsquo;\u00eatre une droite est ind\u00e9pendant de l&rsquo;ordre des produits &#8211; on a que \\(bac\\) et \\(bau\\) sont deux droites. On est donc dans des configurations du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev avec des pinceaux \u00e0 centre, de centre \\(A\\). Ainsi par deux premi\u00e8res application du th\u00e9or\u00e8me on peut \u00e9crire les relations <br><em>(*1)<\/em> \\(\\quad b_1ac_1 \\perp (BC)\\) et \\(b_1au_1 \\perp (BU)\\). <\/p>\n\n\n\n<p>Deux cas sont alors possibles : soit les trois points \\(B, C, U\\) sont align\u00e9s  soit ils ne le sont pas. <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"274\" height=\"268\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/Th13_Cas-BCU-alignes.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5509\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Le cas align\u00e9 est imm\u00e9diat \u00e0 traiter, en particulier car il n&rsquo;entre pas dans le cadre de pinceaux sans support (illustration ci-contre).<\/p>\n\n\n\n<p>En effet, dans le cas o\u00f9 \\(B, C, U\\) sont align\u00e9s, les droites \\(b_1ac_1\\)et \\(b_1au_1\\) sont toutes deux incidentes \u00e0 \\(A\\) et orthogonales \u00e0 \\((BC)=(BU)\\). Elles sont donc \u00e9gales, d\u2019o\u00f9 \\(c_1=u_1\\). Ainsi \\(A, C\\) et \\(U\\)sont sur \\(c_1\\) et donc les 4 points \\(A, B, C, U\\) sont align\u00e9s \\((c_1=u_1=b_1)\\) sur la perpendiculaire commune \u00e0 \\(b,c\\) et \\(u\\) (passant par \\(A\\)). Nous avons \\(bca\\) est une droite, avec \\(b_1 \\mid b, c\\) et donc, par le th\u00e9or\u00e8me 9 r\u00e9ciproque de l\u2019axiome <strong>A4<\/strong>,  \\(b_1 \\mid a\\). Soit, par l\u2019axiome 4,  \\(acu\\) est bien une droite, ce que l\u2019on voulait montrer.<\/p>\n\n\n\n<p>Revenons au cas g\u00e9n\u00e9ral  : si \\(B, C, U\\) ne sont pas align\u00e9s, ils forment trois droites distinctes sur lesquelles on peut construire les pieds \\(U_1, C_1, B_1\\) des perpendiculaires \\(u_2,c_2,b_2\\) issues de A orthogonales, respectivement \u00e0 \\((BC),(BU)\\) et \\((CU)\\). Par le lemme pr\u00e9liminaire ces points sont encore distincts. <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"442\" height=\"425\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/th14_CasGeneFinal_drt.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5515\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/th14_CasGeneFinal_drt.jpg 442w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/th14_CasGeneFinal_drt-300x288.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 442px) 100vw, 442px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans l&rsquo;illustration ci-contre on n&rsquo;a pas nomm\u00e9 ces perpendiculaires (en pratique repr\u00e9sent\u00e9es par les segments : \\(x_2 = [AX_1]\\) pour \\(x=u, c, b\\)). Nous avons \u00e0 nouveau trois configurations du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev avec des pinceaux \u00e0 centres, d\u2019une part issus de \\(A\\) d\u2019autre part issus respectivement de \\(B, C\\) et \\(U\\). On a donc les orthogonalit\u00e9s suivantes :<\/p>\n\n\n\n<p>(*2) \\(\\quad c_2u_1b_2 \\perp (C_1B_1) \\quad u_2c_1b_2 \\perp (U_1B_1) \\quad u_2b_1c_2 \\perp (U_1C_1)\\)   <\/p>\n\n\n\n<p>Mais \\(b_1ac_1=u_2\\)  et \\(b_1au_1=c_2\\) &#8211; par (*1) car les droites sont incidentes \u00e0 \\(A\\) &#8211; et donc \\(u_2c_1=c_2u_1\\), soit \\(u_2c_1b_2=c_2u_1b_2\\)  ce qui, inject\u00e9 dans (*2) permet d\u2019\u00e9crire que les trois points \\(U_1, C_1, B_1\\) sont align\u00e9s. Les trois perpendiculaires ci-dessus sont donc identiques et comme les produits sont tous incidents \u00e0 \\(A\\) on peut \u00e9crire la troisi\u00e8me \u00e9galit\u00e9 \\(u_2b_1c_2=u_2c_1b_2\\) soit \\(b_1c_2=c_1b_2\\). En r\u00e9injectant cette \u00e9galit\u00e9 dans \\(b_1au_1=c_2\\), cela donne \\(c_1au_1=b_2\\) , et donc que \\(c_1au_1 \\perp (C_1U_1)\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Cette derni\u00e8re orthogonalit\u00e9 s\u2019interpr\u00e8te alors, par une sixi\u00e8me utilisation du th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev, cette fois-ci dans le sens r\u00e9ciproque, par le fait que \\(cau\\) est une droite, ce que nous voulions montrer (\u00e0 l&rsquo;ordre pr\u00e9s mais on sait que la nature du produit est ind\u00e9pendant de l&rsquo;ordre des trois droites).<\/p>\n\n\n\n<p>Cette transitivit\u00e9 de la relation \u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb, obtenue d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale par six applications du th\u00e9or\u00e8me fondamental des plans m\u00e9triques a comme principal int\u00e9r\u00eat de s\u2019appliquer aux pinceaux qui ne sont ni \u00ab \u00e0 centre \u00bb ni \u00ab \u00e0 axe \u00bb comme illustr\u00e9 ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Ts8sSzvJR7W5Pq1cYhyLJ3GX-YzSIYOI\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th14.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure associ\u00e9e \u00e0 cette preuve<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p>Par ailleurs l\u2019application r\u00e9p\u00e9t\u00e9e de cette transitivit\u00e9 donne des expressions importantes plus simples \u2013 et plus op\u00e9rationnelles &#8211; sur la notion de pinceau :<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 15 <\/strong>:<strong> th\u00e9or\u00e8me g\u00e9n\u00e9ral des tri-r\u00e9flexions<\/strong><br>Si \\(a, b, c \\in \\mathscr{P}_{uv}\\) alors \\(abc\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">Le produit de trois droites appartenant \u00e0 un pinceau est une droite.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 16 : r\u00e9ciproque du th\u00e9or\u00e8me g\u00e9n\u00e9ral des tri-r\u00e9flexions<\/strong><br>Pour \\(a \\neq b\\) si \\(a, b \\in \\mathscr{P}_{uv}\\) et si \\(abc\\) est une droite, alors \\(c \\in \\mathscr{P}_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">Si le produit de trois droites dont deux (distinctes) sont dans un pinceau est une droite, la troisi\u00e8me appartient aussi \u00e0 ce pinceau.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 17 : synth\u00e8se des deux pr\u00e9c\u00e9dents<\/strong><br>Pour \\(a \\neq b\\) si \\(a, b \\in \\mathscr{P}_{uv}\\) alors \\(\\mathscr{P}_{ab} = \\mathscr{P}_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">Deux droites distinctes d\u00e9terminent enti\u00e8rement le pinceau auxquelles elles appartiennent.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 18<\/strong> <strong>: intersection de deux pinceaux<\/strong> <em>(en appliquant 2 fois Th 17) <\/em><br>Pour \\(a \\neq b\\) si \\(a, b \\in \\mathscr{P}_{uv}\\) et \\(a, b \\in \\mathscr{P}_{pq}\\) alors \\(\\mathscr{P}_{uv} = \\mathscr{P}_{pq}\\). <\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">Deux pinceaux distincts ont au plus une droite en commun.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"828\" height=\"837\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/InterPinceaux_Petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-5521\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/InterPinceaux_Petit.jpg 828w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/InterPinceaux_Petit-297x300.jpg 297w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/InterPinceaux_Petit-768x776.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 828px) 100vw, 828px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Intersection de deux pinceaux<\/em><br><em>\u00c0 gauche : existence de l&rsquo;intersection de deux pinceaux \u00e0 axes<br>\u00c0 droite : en haut existence avec deux types diff\u00e9rents de pinceaux, en bas pas d&rsquo;intersection<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1sKOwZEAtQZUX0gG7MsCt5IGlQb5iZlQ1\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Bachmann\/Bachmann_Th18_InterPinceaux.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure d&rsquo;intersection de deux pinceaux<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p>D&rsquo;une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale dans le cas hyperbolique, seuls deux pinceaux \u00e0 axe, comme en bas \u00e0 droite, peuvent ne pas avoir d&rsquo;intersection. Dans tous les autres cas (8 autres possibilit\u00e9s en comptant les cas sans support) il y a toujours intersection. Par exemple dans le cas de deux pinceaux sans support, la droite joignant les points id\u00e9aux de chaque pinceau est la droite d&rsquo;intersection.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th 19 : suppl\u00e9ment au Th 15<br><\/strong>Si \\(a, b, c \\in \\mathscr{P}_{uv}\\) alors \\(abc \\in \\mathscr{P}_{uv}\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\">Le produit de trois droites appartenant \u00e0 un pinceau est une droite <em>du pinceau<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p>Preuve : si \\(a = b\\), il n\u2019y a rien \u00e0 montrer. Sinon, par le th\u00e9or\u00e8me 17, on a \\(\\mathscr{P}_{ab} = \\mathscr{P}_{uv}\\) donc \\(c \\in \\mathscr{P}_{ab}\\). Comme \\(abc\\) est une droite (th. 15) on peut \u00e9crire \\(ab.abc=ab.cba=c^{ba}\\). Ce produit est donc une droite, c\u2019est-\u00e0-dire que \\(abc \\in \\mathscr{P}_{uv}=\\mathscr{P}_{ab}\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Les axiomes 3 et 4 portaient sur la compos\u00e9e de trois droites dans le cas des pinceaux \u00e0 centre ou \u00e0 axe. Avant d\u2019aborder les th\u00e9or\u00e8mes fondamentaux sur les pinceaux, dans une premi\u00e8re section, on explore le \u00ab m\u00e9lange \u00bb de points et de droites. 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