On consid\u00e8re un groupe \\(\\Gamma\\), not\u00e9 multiplicativement, d\u2019unit\u00e9 1, engendr\u00e9 par un ensemble \\(\\Delta\\) de g\u00e9n\u00e9rateurs, tous d\u2019ordre 2, \\(\\Delta\\) \u00e9tant stable par conjugaison.<\/p>\n\n\n\n
Les \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Gamma\\) sont g\u00e9n\u00e9ralement d\u00e9sign\u00e9s par des lettres grecques, ceux de \\(\\Delta\\) par des lettres minuscules latines. Une lettre majuscule latine d\u00e9signera toujours le produit de deux g\u00e9n\u00e9rateurs quand ce produit est d\u2019ordre 2 : on \u00e9crira \\(P=ab \\; (=ba)\\) si \\(a \\mid b\\) (et donc \\(a \\neq b\\)). \\(P\\) est donc lui aussi un \u00e9l\u00e9ment d\u2019ordre 2 de \\(\\Gamma\\).<\/p>\n\n\n\n
Les axiomes et le vocabulaire associ\u00e9<\/strong><\/h2>\n\n\n\nAxiomes d’incidence<\/em><\/p>\n\n\n\nA1. <\/strong>Pour tout \\(P\\) et \\(Q\\), il existe \\(g\\) tel que \\(P, Q \\mid g\\).
A2. <\/strong>Si \\(P, Q \\mid g,h\\), alors, soit \\(P=Q\\), soit \\(g=h\\).<\/p>\n\n\n\nAxiomes de tri-r\u00e9flexions<\/em><\/p>\n\n\n\nA3. <\/strong>Si \\(a, b, c \\mid P\\) alors il existe \\(d\\) tel que \\(abc=d\\).
A4.<\/strong> Si \\(a, b, c \\mid g\\) alors il existe \\(d\\) tel que \\(abc=d\\).<\/p>\n\n\n\nAxiome d’existence<\/em><\/p>\n\n\n\nA5.<\/strong> Il existe \\(g, h, j\\) tel que \\(g \\mid h\\) mais tel que l’on n’ait ni \\(j \\mid g\\) ni \\(j \\mid h\\) ni \\(gh \\mid j\\).<\/p>\n\n\n\nCompte tenu de ce que l’on a vu \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente, il est facile d\u2019interpr\u00e9ter <\/em>ces axiomes dans la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane : ils n\u2019en sont qu\u2019une formalisation, qu\u2019une \u00ab seconde axiomatisation \u00bb au sens de Gonseth. On notera toutefois que le groupe \\(\\Gamma\\), m\u00eame si on peut par exemple d\u00e9cider d\u2019appeler ses \u00e9l\u00e9ments des isom\u00e9tries, n\u2019est pas un groupe d\u2019isom\u00e9tries d\u2019un ensemble de points ext\u00e9rieurs. Nous sommes sur un groupe abstrait.<\/p>\n\n\n\nCertains auteurs(*)<\/sup> appellent \u00ab g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann \u00bb la donn\u00e9e du couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) muni des 4 premiers axiomes, et r\u00e9servent le nom de \u00ab g\u00e9om\u00e9trie absolue \u00bb la donn\u00e9e du couple muni des 5 axiomes. Le cinqui\u00e8me axiome assure l\u2019existence d\u2019un vrai triangle rectangle (en \\(gh\\)). Cet axiome permettra de montrer qu\u2019une droite a n\u00e9cessairement au moins trois points distincts et en particulier on peut construire des \u00ab g\u00e9om\u00e9tries de Bachmann \u00bb trop pauvres (droites \u00e0 deux points) pour pouvoir \u00eatre des \u00ab plans m\u00e9triques \u00bb.<\/p>\n\n\n\n(*) Par exemple Michael Henle dans \u00ab Modern Geometry – the analytic approach \u00bb Prentice Hall 1997 (p. 327)<\/em><\/p>\n\n\n\nExemple d’une g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann qui n’est pas un plan m\u00e9trique de Bachmann<\/strong><\/p>\n\n\n\n\\(\\Gamma\\) est le groupe de Klein (table ci-contre). On a \\(a^2=b^2=c^2=1\\) et \\(ab=ba=c\\)<\/p>\n\n\n
\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Groupe_de_Klein.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\nIl est engendr\u00e9 par \\(\\Delta=\\{a,b,c\\}\\) et est stable par conjugaison. Bien entendu le groupe en engendr\u00e9 seulement par \\(a\\) et \\(b\\), mais si on veut que \\(c\\) soit une droite, il faut l’ajouter \u00e0 \\(\\Delta\\), ce qui montre que, dans la th\u00e9orie, \\(\\Delta\\) n’est pas n\u00e9cessairement un syst\u00e8me de g\u00e9n\u00e9rateurs minimal au sens de l’inclusion. Le couple \\((\\Gamma, \\Delta)\\) remplit bien les premi\u00e8res conditions pour \u00eatre un groupe de Bachmann. On a tout de suite \\(ab=c=C, \\; bc=a=A\\) et \\(ac=b=B\\). Au sens de Bachmann il y a donc 3 droites et trois points, qui sont tripolaires (chaque droite est un point).<\/p>\n\n\n\n
Le premier axiome d\u2019incidence est v\u00e9rifi\u00e9 : si on prend deux points \\(M\\) et \\(N\\), il existe une droite \\(g\\) telle que \\(M, N \\mid g\\) en effet \\(M\\) et \\(N\\) sont aussi deux droites et la troisi\u00e8me v\u00e9rifie bien la relation \\(\\mid\\) avec les deux autres. Le second axiome d\u2019incidence est v\u00e9rifi\u00e9 car sa pr\u00e9misse \\(P, Q \\mid a, b\\) ne peut pas \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9e : il n\u2019y a pas assez de droites et de points (puisque | signifie que les objets ne sont pas de produit \u00e9gal \u00e0 1).<\/p>\n\n\n\n
Pour la m\u00eame raison, les pr\u00e9misses des axiomes de tri-r\u00e9flexions ne sont jamais v\u00e9rifi\u00e9es donc les axiomes sont, eux, v\u00e9rifi\u00e9s : le groupe de Klein avec son ensemble de g\u00e9n\u00e9rateur v\u00e9rifie bien les 4 premiers axiomes de Bachmann. Mais il ne v\u00e9rifie pas le cinqui\u00e8me, car il y a bien un triangle rectangle, mais, il est tri-rectangle et donc ne v\u00e9rifie pas l\u2019axiome A5<\/strong> du \u00ab vrai \u00bb triangle rectangle.<\/p>\n\n\n\nCette g\u00e9om\u00e9trie minimale \u2013 non consid\u00e9r\u00e9e comme plan m\u00e9trique par Bachmann \u2013 correspond \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie elliptique minimale: il n\u2019existe qu\u2019une figure, le triangle tripolaire.<\/p>\n\n\n\n
Bachmann appelle, lui, \u00ab groupes de transformations \u00bb (\u00ab\u00a0groups of motions\u00a0\u00bb dans ses \u00e9crits anglo-saxons) les mod\u00e8les<\/em> de son syst\u00e8me d\u2019axiome et insiste bien sur le fait que ce syst\u00e8me d\u2019axiome n\u2019a pas de signification pour un groupe \\(\\Gamma\\) seul mais devient signifiant \u2013 ie n\u2019est susceptible d\u2019interpr\u00e9tations et de mod\u00e8les \u2013 que si nous consid\u00e9rons le couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\). Comme on l’a vu ci-dessus, m\u00eame si c’est un cas tr\u00e8s particulier, l\u2019ensemble des g\u00e9n\u00e9rateurs \\(\\Delta\\) n\u2019a pas \u00e0 \u00eatre minimal pour les propri\u00e9t\u00e9s voulues. Mais les g\u00e9om\u00e9tries obtenues peuvent \u00eatre diff\u00e9rentes. Bachmann en donne des exemples.<\/p>\n\n\n\nPlan du groupe, p\u00f4le et polaire<\/strong><\/p>\n\n\n\nIl s\u2019agit ensuite de fixer un vocabulaire g\u00e9om\u00e9trique pour d\u00e9crire les concepts alg\u00e9briques mis en jeu dans ce syst\u00e8me d\u2019axiome. Pour ce faire, Bachmann donne au couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) une dimension g\u00e9om\u00e9trique qu\u2019il appelle le plan du grou<\/em>pe<\/strong>, en pr\u00e9cisant d\u00e9sormais :<\/p>\n\n\n\nLes \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Delta\\) sont appel\u00e9s les droites<\/em> <\/strong>du plan. Les involutions de \\(\\Gamma\\) qui peuvent s\u2019exprimer comme produit de deux \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Gamma\\) sont les points<\/em> <\/strong>du plan du groupe.<\/p>\n\n\n\nDeux droites \\(a\\) et \\(b\\) sont dites orthogonales<\/em><\/strong>, et on note \\(a \\perp b\\) ssi \\(a \\mid b\\). Ainsi, les points sont les \u00e9l\u00e9ments du groupe qui s\u2019expriment comme le produit de deux droites orthogonales.<\/p>\n\n\n\nOn dira \u00e9galement qu\u2019un point \\(P\\) est incident <\/strong>\u00e0 une droite \\(g\\) quand \\(P \\mid g\\). L\u2019incidence se note aussi \\(P \\, \\mathfrak{I} \\, g\\) ou \\(g \\, \\mathfrak{I} \\, P\\). On utilisera aussi le vocabulaire traditionnel d\u2019incidence.<\/p>\n\n\n\nOn remarquera que selon la r\u00e8gle retenue pour la relation \\(\\mid\\), on ne parle pas d\u2019incidence si \\(P = g\\) (car alors on aurait \\(Pg=1\\)). <\/p>\n\n\n\n
Cette situation est \u00e0 prendre en compte car elle n\u2019est pas exclue par le syst\u00e8me d\u2019axiome. Si par exemple trois droites \\(a, b, c\\) v\u00e9rifient \\(abc=1\\), alors on a \\(ab=c\\). Donc \\(ab\\) est d\u2019ordre 2, c\u2019est un point \\(C\\) qui v\u00e9rifie \\(C=c\\). On est dans la situation o\u00f9, dans le plan du groupe de Bachmann, un point est aussi une droite. Comme cette situation est possible dans son syst\u00e8me d\u2019axiome(*)<\/sup>, et qu\u2019il va falloir en tenir compte dans les d\u00e9monstrations, il convient de pr\u00e9ciser le vocabulaire suivant : si \\(C=c\\) le point et la droite sont dits en polarit\u00e9, le point est appel\u00e9 le p\u00f4le <\/strong>de la droite et celle-ci la polaire <\/strong>du point.<\/p>\n\n\n\n(*) C\u2019est l\u2019int\u00e9r\u00eat de cette axiomatique de ne pas exclure ce cas, c\u2019est-\u00e0-dire d\u2019inclure la possibilit\u00e9 elliptique. Bien entendu, cette possibilit\u00e9 a un co\u00fbt : celui de devoir traiter r\u00e9guli\u00e8rement, dans les preuves, ce cas de polarit\u00e9, avec l\u2019avantage de montrer des th\u00e9or\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie \u00ab absolus \u00bb en un sens bien plus large que celui de Bolyai<\/a>.<\/em><\/p>\n\n\n\nNous voyons ici, \u00e0 nouveau, un effet fort puissant. Clairement pour Bachmann, les \u00e9l\u00e9ments de sa g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tant ceux d\u2019un groupe, droites et points sont d\u2019abord des transformations, et c\u2019est comme telles que l\u2019on peut \u00e9crire \\(C=c\\) : la sym\u00e9trie orthogonale d\u2019axe \\(c\\) est \u00e9gale \u00e0 la sym\u00e9trie centrale de centre \\(C\\). Mais, si on se r\u00e9f\u00e8re au chapitre ELL<\/strong>, avec le mod\u00e8le euclidien de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, il est clair que dans aucune repr\u00e9sentation plane g\u00e9om\u00e9triquement manipulable, on aura, concr\u00e8tement, que le p\u00f4le d\u2019une droite est \u00ab \u00e9gal \u00bb \u00e0 la droite, l\u2019\u00e9galit\u00e9, prise implicitement dans le champ des configurations, est celle d\u2019ensembles, et non celle de l\u2019action d\u2019un \u00e9l\u00e9ment d\u2019un groupe sur ce groupe.<\/p>\n\n\n\nRetour temporaire \u00e0 la premi\u00e8re axiomatisation<\/strong><\/p>\n\n\n\nCette diff\u00e9rence entre une axiomatisation aussi conceptuellement approfondie et la manipulation concr\u00e8te des objets peut poser question, en particulier sur des repr\u00e9sentations dans lesquelles l\u2019incidence usuelle est respect\u00e9e, c\u2019est-\u00e0-dire o\u00f9 une droite est un ensemble de points, ce qui n\u2019est pas le cas ici.<\/p>\n\n\n\n
On peut y revenir \u2013 d\u2019une certaine fa\u00e7on revenir au premier niveau d\u2019axiomatisation \u2013 en proposant de d\u00e9finir le plan associ\u00e9 au couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) de mani\u00e8re plus g\u00e9om\u00e9trique que Bachmann lui-m\u00eame. Le plan est un sous-ensemble \\(\\mathscr{P}\\) de \\(\\Gamma\\) dont les \u00e9l\u00e9ments sont des points : ce sont toujours les produits latex]P[\/latex] d\u2019\u00e9l\u00e9ments de \\(\\Delta\\) quand ce produit est d\u2019ordre 2.<\/p>\n\n\n\n
On d\u00e9finit alors les droites comme des parties de \\(\\mathscr{P}\\) (ce qui n\u2019est pas le cas dans Bachmann) qui vont \u00eatre canoniquement en bijection avec \\(\\Delta\\) : la droite \\(\\hat{a}\\) associ\u00e9e \u00e0 l\u2019\u00e9l\u00e9ment \\(a\\) de \\(\\Delta\\) est l\u2019ensemble: \\(\\hat{a}=\\{ P \\in \\mathscr{P} \\; \/ \\; Pa\\) est d’ordre 2 dans \\(\\Gamma \\}\\).<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
On a bien \\(M \\in \\hat{a} \\Longleftrightarrow M \\mid a\\), soit \\(M\\) incident \u00e0 \\(a\\) au sens de Bachmann. De ce point de vue l\u2019orthogonalit\u00e9 des droites se d\u00e9finit par \\(\\hat{a} \\perp \\hat{b} \\Longleftrightarrow ab\\) est d\u2019ordre 2. La seule diff\u00e9rence avec le plan du groupe de Bachmann est qu\u2019une droite est une partie de \\(\\mathscr{P}\\) (en bijection avec \\(\\Delta\\)) au lieu d\u2019en \u00eatre un \u00e9l\u00e9ment, et l\u2019incidence est (re)devenue l\u2019appartenance au sens usuel des ensembles. En ce sens, une droite n\u2019est jamais \u00e9gale \u00e0 un point, ce qui correspond bien aux repr\u00e9sentations que l\u2019on se fait en manipulant le mod\u00e8le elliptique du menu ELL<\/strong> : dans le champ des configurations, une droite elliptique ne peut pas s\u2019identifier \u00e0 son p\u00f4le, et si on a bien la possibilit\u00e9 d\u2019avoir \\(C=c\\), on n\u2019a pas \\(C=\\hat{c}\\) et alors le p\u00f4le et sa polaire sont deux objets diff\u00e9rents. Dans ce contexte, les notions de p\u00f4le et polaire peuvent se d\u00e9finir ainsi :<\/p>\n\n\n\nSoient \\(P\\) un point de \\(\\mathscr{P}\\) et \\(\\delta\\) une droite de \\(\\mathscr{P}\\). On dit que \\(\\delta\\) est la polaire de \\(P\\) (ou que \\(P\\) est le p\u00f4le de \\(\\delta\\)) si l\u2019une des deux conditions \u00e9quivalentes suivantes est v\u00e9rifi\u00e9e :<\/p>\n\n\n\n
\\(\\quad i) \\; P \\in \\Delta\\) et \\(\\delta = \\hat{P}\\).
\\(\\quad ii) \\;\\) Toute droite passant par \\(P\\) est orthogonale \u00e0 \\(\\delta\\).<\/p>\n\n\n\n
Cette \u00e9quivalence sera un corollaire du Th\u00e9or\u00e8me 2 montr\u00e9 plus loin.<\/em><\/p>\n\n\n\nCe passage \u00e9tant r\u00e9alis\u00e9 entre les deux niveaux d\u2019axiomatisation, dans la suite, nous avons fait le choix de continuer de pr\u00e9senter l\u2019axiomatique de Bachmann dans sa forme originelle, c\u2019est-\u00e0-dire du c\u00f4t\u00e9 de la seconde axiomatisation, aussi bien par respect pour le travail de son auteur, que pour le bonheur de pr\u00e9senter son \u00e9l\u00e9gance alg\u00e9brique. <\/p>\n\n\n\n
Droites en pinceaux et pinceaux de droites<\/h2>\n\n\n\n
Les axiomes structurant de ce syst\u00e8me \u00e9tant ceux dits de tri-r\u00e9flexions, il est clair que les notions qui leur sont associ\u00e9es vont \u00eatre au c\u0153ur de l\u2019argumentation. Bachmann introduit \u00e0 ce sujet une relation <\/em>et un objet <\/em>:<\/p>\n\n\n\nTrois droites \\(a, b, c\\) seront dites en pinceau <\/strong>si le produit \\(abc\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\nCette relation <\/em>\u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb est sym\u00e9trique : elle est ind\u00e9pendante de l\u2019ordre dans lequel sont compos\u00e9es les droites. En effet, si \\(abc\\) est une droite, alors : \\(cba=(abc)^{-1}\\) est une droite. \\(bca = a(abc)a = a(abc)a^{-1}\\) aussi par stabilit\u00e9 par conjugaison. De m\u00eame pour les trois autres relations : \\(bac = c(cba)c\\), \\(acb = b(bac)b\\) et \\(cab = b(bca)b\\).<\/p>\n\n\n\nComme l\u2019ind\u00e9pendance de l\u2019ordre est fortement li\u00e9e \u00e0 la conjugaison, on pourrait penser que peut-\u00eatre il y a l\u00e0 une version alg\u00e9brique d\u2019une utilisation cach\u00e9e de l\u2019ordre. Il n\u2019en est rien : l\u2019axiomatique de Bachmann est v\u00e9rifi\u00e9e sur de nombreux corps non ordonnables : sur les corps finis (et Bachmann montre qu\u2019alors son axiomatique ne produit que des plans euclidiens finis, mais aussi sur des g\u00e9om\u00e9tries plus cons\u00e9quentes comme des plans sur \\(\\mathbb{Q(i)}\\). Nous y reviendrons dans les pages traitant de la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries et des corps associ\u00e9s, pour discuter du vocabulaire de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n
La possibilit\u00e9 d\u2019arriver \u00e0 une axiomatique qui n\u2019utilise pas l\u2019ordre est un point particuli\u00e8rement travaill\u00e9 par Bachmann. La relation est aussi, trivialement, r\u00e9flexive, c\u2019est-\u00e0-dire v\u00e9rifi\u00e9e d\u00e8s que deux (au moins) des trois droites sont confondues. La question de la transitivit\u00e9 est essentielle ; elle est abord\u00e9e \u00e0 la page suivante.<\/p>\n\n\n\n
\u00c0 c\u00f4t\u00e9 de cette relation, on introduit en m\u00eame temps la notion de pinceau, comme objet <\/em>: pour deux droites distinctes \\(a \\neq b\\), l\u2019ensemble des droites qui sont en pinceau avec \\(a\\) et \\(b\\) est appel\u00e9 le pinceau de droites \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) <\/strong>ainsi not\u00e9 car il ne d\u00e9pend en fait que du produit \\(ab\\).<\/p>\n\n\n\nLes axiomes de tri-r\u00e9flexions permettent de d\u00e9finir et d\u2019\u00e9tudier des pinceaux \u00e0 centre (axiome 3) et \u00e0 axe (axiome 4), mais la relation est assez souple pour s\u2019appliquer \u00e0 d\u2019autres objets, et, d\u00e8s son introduction, Bachmann mentionne \u2013 pour nous donner des repr\u00e9sentations \u2013 la possibilit\u00e9 pour des pinceaux d\u2019\u00eatre d\u2019un autre type, en particulier le pinceau des droites orthogonales \u00e0 un horicycle dans le cas hyperbolique : le support sera le point id\u00e9al centre de l\u2019horicycle. L\u2019\u00e9l\u00e9gance de l\u2019axiomatique de Bachmann se trouve \u00e0 de nombreux endroits, et en particulier ici : la possibilit\u00e9 d\u2019\u00e9tudier, gr\u00e2ce \u00e0 la relation \u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb, d\u2019autres types de pinceaux que ceux implicitement mentionn\u00e9s dans les axiomes. Bachmann les appelle pinceaux \u00ab sans support \u00bb.<\/p>\n\n\n\n
Avec un peu de pratique \u2013 en seconde lecture \u2013 une question vient n\u00e9cessairement sur ce troisi\u00e8me type de pinceau : est-ce vraiment un type de pinceau (comme dans le cas hyperbolique), ou bien cette expression englobe-t-elle tout ce qui n\u2019est pas connectable (intersection des droites sur la conique associ\u00e9e, nous sommes en seconde lecture), et dans ce cas, peut-il y avoir plusieurs types diff\u00e9rents de pinceaux \u00ab sans support \u00bb ? Nous reviendrons sur cette question quand nous aborderons la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries.<\/p>\n\n\n\n
Collin\u00e9ations<\/strong><\/p>\n\n\n\nAvant d\u2019aborder les premi\u00e8res cons\u00e9quences \u00e9l\u00e9mentaires des axiomes, voyons maintenant la d\u00e9finition de deux collin\u00e9ations du plan du groupe <\/em>de Bachmann. Une collin\u00e9ation est une application qui conserve les ensembles de droites, de point, et l\u2019incidence. Elle est dite orthogonale si de plus elle conserve aussi l\u2019orthogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\nSoit \\(\\alpha \\in \\Gamma\\), consid\u00e9rons la transformation \\(T_{\\alpha}\\) d\u00e9finie sur \\(\\Gamma\\) par \\(T_{\\alpha}(\\gamma) = \\gamma^\\alpha\\). Comme \\(\\Delta\\) est stable par conjugaison, l\u2019image d\u2019une droite est bien une droite. De plus, si on note \\(P=gh\\) avec \\(g \\mid h\\), on a, par les propri\u00e9t\u00e9s propres \u00e0 la conjugaison, \\(P^{\\alpha}=g^{\\alpha}h^{\\alpha}\\) avec \\(g^{\\alpha} \\mid h^{\\alpha}\\), ainsi l\u2019image d\u2019un point par \\(T_{\\alpha}\\) est un point, et cette transformation conserve aussi bien l\u2019incidence que l\u2019orthogonalit\u00e9 : c\u2019est donc une collin\u00e9ation orthogonale.<\/p>\n\n\n\n
On peut appeler cette transformation \\(T_{\\alpha}\\) une isom\u00e9trie du plan <\/strong>et en particulier pour \\(\\alpha = a\\) on parlera de r\u00e9flexion <\/strong>(sym\u00e9trie orthogonale) d\u2019axe \\(a\\) <\/strong>et pour \\(\\alpha = A\\) de r\u00e9flexion <\/strong>(sym\u00e9trie centrale) de centre \\(A\\) <\/strong>du plan (du groupe).<\/p>\n\n\n\nLe terme axe<\/strong> est repris pour droite<\/strong> par tradition g\u00e9om\u00e9trique ; il n\u2019y a aucune connotation d\u2019orientation dans le mot axe . Bachmann utilise droite. Il n\u2019emploie jamais d\u2019expression qui pourrait \u00e9voquer, m\u00eame de loin, une r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 un ordre.<\/em><\/p>\n\n\n\nRegardons les droites invariantes par une r\u00e9flexion orthogonale d\u2019axe \\(u\\), on cherche les droites \\(a\\) telles que \\(a^u=a\\). C\u2019est bien s\u00fbr vrai pour \\(a=u\\), sinon il faut \\(uau=a\\) soit \\(u \\mid a\\).<\/p>\n\n\n\n
Autrement dit les seules droites (globalement) invariantes par une sym\u00e9trie orthogonale sont la droite de la sym\u00e9trie et ses perpendiculaires.<\/p>\n\n\n\n
Qu\u2019en est-il des points ? \\(A^u=A\\) est \u00e9quivalent \u00e0 \\(Au=uA\\) soit \\(A \\mid u\\) si \\(A \\neq u\\) soit \\(A=u\\) : les seuls points invariants par une sym\u00e9trie orthogonale sont les points incidents \u00e0 la droite qui d\u00e9finit la sym\u00e9trie ou le p\u00f4le de la droite … si ce p\u00f4le existe.<\/p>\n\n\n\n
Tant que nous n\u2019aurons pas s\u00e9par\u00e9 les g\u00e9om\u00e9tries, nous serons amen\u00e9s \u00e0 traiter syst\u00e9matiquement cette question du p\u00f4le. Ce sera toujours sous r\u00e9serve d\u2019\u00eatre dans une structure o\u00f9 il existe. En fait, quand nous aborderons la question, nous montrerons que toute droite a un p\u00f4le d\u00e8s qu\u2019une droite en a un : ce sera la g\u00e9om\u00e9trie elliptique.<\/em><\/p>\n\n\n\nDe m\u00eame les seules droites globalement invariantes par une sym\u00e9trie centrale sont les droites passant par le centre ou la polaire du centre. Pour les poins invariants, il faut un minimum de propri\u00e9t\u00e9s sur l’orthogonalit\u00e9 : le r\u00e9sultat que chacun imagine sera montr\u00e9 apr\u00e8s les premiers th\u00e9or\u00e8mes.<\/p>\n\n\n\n
Enfin, les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s de la conjugaison assurent que l\u2019image de \u00ab\u00a0trois droites en pinceau\u00a0\u00bb par une isom\u00e9trie \\(T_{\\alpha}\\) est \u00ab\u00a0trois droites en pinceau\u00a0\u00bb, c\u2019est donc en particulier vrai pour les r\u00e9flexions.<\/p>\n\n\n\n
Cons\u00e9quences des axiomes sur l’incidence et l’orthogonalit\u00e9
(les 5 premiers th\u00e9or\u00e8mes de l’expos\u00e9 de Bachmann)<\/h2>\n\n\n\n
La r\u00e9daction d\u2019un syst\u00e8me d\u2019axiomes est traditionnellement minimaliste. Nous voulons dire par l\u00e0 qu\u2019ils contiennent en eux m\u00eame plus que leur propre expression, sous forme de cons\u00e9quences imm\u00e9diates ou de r\u00e9ciproques que l\u2019on peut tout de suite pr\u00e9ciser. C\u2019est l’objet de cette section et de la suivante. Dans cette section, on utilise essentiellement la relation \\(\\mid\\) qui traite aussi bien de l\u2019incidence d\u2019un point et d\u2019une droite que de l\u2019orthogonalit\u00e9 de deux droites. Rappelons que, d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, pour tout \u00e9l\u00e9ment de \\(\\Gamma\\), quand nous \u00e9crivons la relation \\(\\alpha \\mid \\beta\\), cela contient toujours que \\(\\alpha \\neq \\beta\\).<\/p>\n\n\n\n
Avant d\u2019aborder ces premiers d\u00e9veloppements, dans son expos\u00e9 Bachmann commence par rendre compte des mod\u00e8les usuels r\u00e9els <\/em>(elliptiques, euclidiens, et hyperboliques) au regard de son axiomatique. Seules les propri\u00e9t\u00e9s relatives \u00e0 la stabilit\u00e9 des g\u00e9n\u00e9rateurs par conjugaison et celles d\u00e9crites par les axiomes de tri-r\u00e9flexions sont \u00e0 v\u00e9rifier. Elles rel\u00e8vent dans les mod\u00e8les de Poincar\u00e9 et le mod\u00e8le plan elliptique, des propri\u00e9t\u00e9s de l\u2019inversion et dans le mod\u00e8le projectif de Klein-Beltrami, de propri\u00e9t\u00e9s de l\u2019homologie harmonique.<\/p>\n\n\n\nTh 1 : ind\u00e9pendance d’un point des droites qui le d\u00e9finissent<\/strong><\/p>\n\n\n\n\\((a, b) \\mid P \\; et \\; (a \\perp b) \\Longleftrightarrow (P=ab)\\)\n\n\n\nSoient deux droites distinctes \\(a\\) et \\(b\\), telles que \\(P \\mid a,b\\) et \\(a \\mid b\\) alors \\(P=ab\\) et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n\n\n\n
Sens direct<\/em>
\\(ab\\) est un point \\(Q\\) tel que \\(Q \\mid a, b\\) car \\(aQ=b\\) est d’ordre 2 et \\(Qb=a\\) aussi d’ordre 2. On a donc \\(P, Q \\mid a, b\\) avec \\(a \\neq b\\). Donc par l’axiome A2<\/strong>, il en r\u00e9sulte que \\(P=Q\\).<\/p>\n\n\n\nSens r\u00e9ciproque<\/em>
Si \\(P=ab\\), alors \\(a \\mid b\\) et \\(aP=b\\) est d’ordre 2, donc \\(P \\mid a\\). De m\u00eame \\(Pb=a\\) est d’ordre 2, donc \\(P \\mid b\\).<\/p>\n\n\n\nTh 2 : triangle trirectangle et produit de droites unitaire<\/strong><\/p>\n\n\n\n\\(abc=1 \\Longleftrightarrow (a \\mid b \\; \\mathrm{et} \\; b \\mid c \\; \\mathrm{et} \\; c \\mid a)\\)\n\n\n\nIl y a \u00e9quivalence entre l’orthogonalit\u00e9 de trois droites prises deux \u00e0 deux et le produit des trois \u00e9gal \u00e0 1. <\/em><\/p>\n\n\n\nLe sens direct (imm\u00e9diat) a \u00e9t\u00e9 abord\u00e9 dans une page pr\u00e9c\u00e9dente, avec la pr\u00e9sentation des notations.
R\u00e9ciproquement, si les droites sont deux \u00e0 deux orthogonales, on a \\( (ab)^2=1, \\; (bc)^2=1, \\; (ca)^2=1,\\). Il en r\u00e9sulte que \\( (abc)^2=1\\). Et donc, soit \\(abc=1\\), soit \\(abc \\neq 1\\). On se place dans la seconde alternative pour montrer une contradiction. Notons \\(C=ab\\). \\(C\\) est un point car \\(a \\mid b\\)., et de plus \\(C\\) n’est pas \u00e9gal \u00e0 \\(c\\) – ou encore n’est pas le p\u00f4le de \\(c\\), car, justement, nous somme dans l’hypoth\u00e8se o\u00f9 \\(abc\\) est diff\u00e9rent de 1. Mais de \\( (abc)^2=1\\) (involutive) en en d\u00e9duit que \\( ab \\mid c\\). Et donc \\(C \\, \\mathfrak{I} \\, c\\) (car \\(C\\) n’est pas \u00e9gal \u00e0 \\(c\\)). Par ailleurs \\(C=ab \\mid b\\) donc \\(C\\) est aussi incident \u00e0 \\(b\\).<\/p>\n\n\n\n
Nous sommes donc dans la situation o\u00f9 \\(C\\) est incident \u00e0 la fois \u00e0 \\(b\\) et \u00e0 \\(c\\), avec \\(b \\mid c\\) (les droites sont orthogonales). D\u2019apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me 1, alors \\(C=bc\\). Autrement dit \\(ab=bc\\), soit \\(a=c\\), ce qui est contradictoire avec le fait que les droites \\(a\\) et \\(c\\) soient orthogonales : \\(a \\mid c\\).<\/p>\n\n\n\n
Figure associ\u00e9e \u00e0 ce Th 2 <\/strong>(d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9e ici<\/a>)<\/p>\n\n\n\nAvec la notation standard, on a \\(N=s_{(AB)}(M)=s_c(M)\\), \\(P=s_{(AC)}(N)=s_b(N)=s_b o s_c(M)\\) et \\(Q=s_{(BC)}(P)=s_a(P)=s_a o s_b o s_c(M)\\).
Alors \\(Q=M\\), soit \\(s_a o s_b o s_c = Id\\).<\/p>\n\n\n
A1. <\/strong>Pour tout \\(P\\) et \\(Q\\), il existe \\(g\\) tel que \\(P, Q \\mid g\\). Axiomes de tri-r\u00e9flexions<\/em><\/p>\n\n\n\n A3. <\/strong>Si \\(a, b, c \\mid P\\) alors il existe \\(d\\) tel que \\(abc=d\\). Axiome d’existence<\/em><\/p>\n\n\n\n A5.<\/strong> Il existe \\(g, h, j\\) tel que \\(g \\mid h\\) mais tel que l’on n’ait ni \\(j \\mid g\\) ni \\(j \\mid h\\) ni \\(gh \\mid j\\).<\/p>\n\n\n\n Compte tenu de ce que l’on a vu \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente, il est facile d\u2019interpr\u00e9ter <\/em>ces axiomes dans la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane : ils n\u2019en sont qu\u2019une formalisation, qu\u2019une \u00ab seconde axiomatisation \u00bb au sens de Gonseth. On notera toutefois que le groupe \\(\\Gamma\\), m\u00eame si on peut par exemple d\u00e9cider d\u2019appeler ses \u00e9l\u00e9ments des isom\u00e9tries, n\u2019est pas un groupe d\u2019isom\u00e9tries d\u2019un ensemble de points ext\u00e9rieurs. Nous sommes sur un groupe abstrait.<\/p>\n\n\n\n Certains auteurs(*)<\/sup> appellent \u00ab g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann \u00bb la donn\u00e9e du couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) muni des 4 premiers axiomes, et r\u00e9servent le nom de \u00ab g\u00e9om\u00e9trie absolue \u00bb la donn\u00e9e du couple muni des 5 axiomes. Le cinqui\u00e8me axiome assure l\u2019existence d\u2019un vrai triangle rectangle (en \\(gh\\)). Cet axiome permettra de montrer qu\u2019une droite a n\u00e9cessairement au moins trois points distincts et en particulier on peut construire des \u00ab g\u00e9om\u00e9tries de Bachmann \u00bb trop pauvres (droites \u00e0 deux points) pour pouvoir \u00eatre des \u00ab plans m\u00e9triques \u00bb.<\/p>\n\n\n\n (*) Par exemple Michael Henle dans \u00ab Modern Geometry – the analytic approach \u00bb Prentice Hall 1997 (p. 327)<\/em><\/p>\n\n\n\n Exemple d’une g\u00e9om\u00e9trie de Bachmann qui n’est pas un plan m\u00e9trique de Bachmann<\/strong><\/p>\n\n\n\n \\(\\Gamma\\) est le groupe de Klein (table ci-contre). On a \\(a^2=b^2=c^2=1\\) et \\(ab=ba=c\\)<\/p>\n\n\n Il est engendr\u00e9 par \\(\\Delta=\\{a,b,c\\}\\) et est stable par conjugaison. Bien entendu le groupe en engendr\u00e9 seulement par \\(a\\) et \\(b\\), mais si on veut que \\(c\\) soit une droite, il faut l’ajouter \u00e0 \\(\\Delta\\), ce qui montre que, dans la th\u00e9orie, \\(\\Delta\\) n’est pas n\u00e9cessairement un syst\u00e8me de g\u00e9n\u00e9rateurs minimal au sens de l’inclusion. Le couple \\((\\Gamma, \\Delta)\\) remplit bien les premi\u00e8res conditions pour \u00eatre un groupe de Bachmann. On a tout de suite \\(ab=c=C, \\; bc=a=A\\) et \\(ac=b=B\\). Au sens de Bachmann il y a donc 3 droites et trois points, qui sont tripolaires (chaque droite est un point).<\/p>\n\n\n\n Le premier axiome d\u2019incidence est v\u00e9rifi\u00e9 : si on prend deux points \\(M\\) et \\(N\\), il existe une droite \\(g\\) telle que \\(M, N \\mid g\\) en effet \\(M\\) et \\(N\\) sont aussi deux droites et la troisi\u00e8me v\u00e9rifie bien la relation \\(\\mid\\) avec les deux autres. Le second axiome d\u2019incidence est v\u00e9rifi\u00e9 car sa pr\u00e9misse \\(P, Q \\mid a, b\\) ne peut pas \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9e : il n\u2019y a pas assez de droites et de points (puisque | signifie que les objets ne sont pas de produit \u00e9gal \u00e0 1).<\/p>\n\n\n\n Pour la m\u00eame raison, les pr\u00e9misses des axiomes de tri-r\u00e9flexions ne sont jamais v\u00e9rifi\u00e9es donc les axiomes sont, eux, v\u00e9rifi\u00e9s : le groupe de Klein avec son ensemble de g\u00e9n\u00e9rateur v\u00e9rifie bien les 4 premiers axiomes de Bachmann. Mais il ne v\u00e9rifie pas le cinqui\u00e8me, car il y a bien un triangle rectangle, mais, il est tri-rectangle et donc ne v\u00e9rifie pas l\u2019axiome A5<\/strong> du \u00ab vrai \u00bb triangle rectangle.<\/p>\n\n\n\n Cette g\u00e9om\u00e9trie minimale \u2013 non consid\u00e9r\u00e9e comme plan m\u00e9trique par Bachmann \u2013 correspond \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie elliptique minimale: il n\u2019existe qu\u2019une figure, le triangle tripolaire.<\/p>\n\n\n\n Bachmann appelle, lui, \u00ab groupes de transformations \u00bb (\u00ab\u00a0groups of motions\u00a0\u00bb dans ses \u00e9crits anglo-saxons) les mod\u00e8les<\/em> de son syst\u00e8me d\u2019axiome et insiste bien sur le fait que ce syst\u00e8me d\u2019axiome n\u2019a pas de signification pour un groupe \\(\\Gamma\\) seul mais devient signifiant \u2013 ie n\u2019est susceptible d\u2019interpr\u00e9tations et de mod\u00e8les \u2013 que si nous consid\u00e9rons le couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\). Comme on l’a vu ci-dessus, m\u00eame si c’est un cas tr\u00e8s particulier, l\u2019ensemble des g\u00e9n\u00e9rateurs \\(\\Delta\\) n\u2019a pas \u00e0 \u00eatre minimal pour les propri\u00e9t\u00e9s voulues. Mais les g\u00e9om\u00e9tries obtenues peuvent \u00eatre diff\u00e9rentes. Bachmann en donne des exemples.<\/p>\n\n\n\n Plan du groupe, p\u00f4le et polaire<\/strong><\/p>\n\n\n\n Il s\u2019agit ensuite de fixer un vocabulaire g\u00e9om\u00e9trique pour d\u00e9crire les concepts alg\u00e9briques mis en jeu dans ce syst\u00e8me d\u2019axiome. Pour ce faire, Bachmann donne au couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) une dimension g\u00e9om\u00e9trique qu\u2019il appelle le plan du grou<\/em>pe<\/strong>, en pr\u00e9cisant d\u00e9sormais :<\/p>\n\n\n\n Les \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Delta\\) sont appel\u00e9s les droites<\/em> <\/strong>du plan. Les involutions de \\(\\Gamma\\) qui peuvent s\u2019exprimer comme produit de deux \u00e9l\u00e9ments de \\(\\Gamma\\) sont les points<\/em> <\/strong>du plan du groupe.<\/p>\n\n\n\n Deux droites \\(a\\) et \\(b\\) sont dites orthogonales<\/em><\/strong>, et on note \\(a \\perp b\\) ssi \\(a \\mid b\\). Ainsi, les points sont les \u00e9l\u00e9ments du groupe qui s\u2019expriment comme le produit de deux droites orthogonales.<\/p>\n\n\n\n On dira \u00e9galement qu\u2019un point \\(P\\) est incident <\/strong>\u00e0 une droite \\(g\\) quand \\(P \\mid g\\). L\u2019incidence se note aussi \\(P \\, \\mathfrak{I} \\, g\\) ou \\(g \\, \\mathfrak{I} \\, P\\). On utilisera aussi le vocabulaire traditionnel d\u2019incidence.<\/p>\n\n\n\n On remarquera que selon la r\u00e8gle retenue pour la relation \\(\\mid\\), on ne parle pas d\u2019incidence si \\(P = g\\) (car alors on aurait \\(Pg=1\\)). <\/p>\n\n\n\n Cette situation est \u00e0 prendre en compte car elle n\u2019est pas exclue par le syst\u00e8me d\u2019axiome. Si par exemple trois droites \\(a, b, c\\) v\u00e9rifient \\(abc=1\\), alors on a \\(ab=c\\). Donc \\(ab\\) est d\u2019ordre 2, c\u2019est un point \\(C\\) qui v\u00e9rifie \\(C=c\\). On est dans la situation o\u00f9, dans le plan du groupe de Bachmann, un point est aussi une droite. Comme cette situation est possible dans son syst\u00e8me d\u2019axiome(*)<\/sup>, et qu\u2019il va falloir en tenir compte dans les d\u00e9monstrations, il convient de pr\u00e9ciser le vocabulaire suivant : si \\(C=c\\) le point et la droite sont dits en polarit\u00e9, le point est appel\u00e9 le p\u00f4le <\/strong>de la droite et celle-ci la polaire <\/strong>du point.<\/p>\n\n\n\n (*) C\u2019est l\u2019int\u00e9r\u00eat de cette axiomatique de ne pas exclure ce cas, c\u2019est-\u00e0-dire d\u2019inclure la possibilit\u00e9 elliptique. Bien entendu, cette possibilit\u00e9 a un co\u00fbt : celui de devoir traiter r\u00e9guli\u00e8rement, dans les preuves, ce cas de polarit\u00e9, avec l\u2019avantage de montrer des th\u00e9or\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie \u00ab absolus \u00bb en un sens bien plus large que celui de Bolyai<\/a>.<\/em><\/p>\n\n\n\n Nous voyons ici, \u00e0 nouveau, un effet fort puissant. Clairement pour Bachmann, les \u00e9l\u00e9ments de sa g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tant ceux d\u2019un groupe, droites et points sont d\u2019abord des transformations, et c\u2019est comme telles que l\u2019on peut \u00e9crire \\(C=c\\) : la sym\u00e9trie orthogonale d\u2019axe \\(c\\) est \u00e9gale \u00e0 la sym\u00e9trie centrale de centre \\(C\\). Mais, si on se r\u00e9f\u00e8re au chapitre ELL<\/strong>, avec le mod\u00e8le euclidien de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique, il est clair que dans aucune repr\u00e9sentation plane g\u00e9om\u00e9triquement manipulable, on aura, concr\u00e8tement, que le p\u00f4le d\u2019une droite est \u00ab \u00e9gal \u00bb \u00e0 la droite, l\u2019\u00e9galit\u00e9, prise implicitement dans le champ des configurations, est celle d\u2019ensembles, et non celle de l\u2019action d\u2019un \u00e9l\u00e9ment d\u2019un groupe sur ce groupe.<\/p>\n\n\n\n Retour temporaire \u00e0 la premi\u00e8re axiomatisation<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cette diff\u00e9rence entre une axiomatisation aussi conceptuellement approfondie et la manipulation concr\u00e8te des objets peut poser question, en particulier sur des repr\u00e9sentations dans lesquelles l\u2019incidence usuelle est respect\u00e9e, c\u2019est-\u00e0-dire o\u00f9 une droite est un ensemble de points, ce qui n\u2019est pas le cas ici.<\/p>\n\n\n\n On peut y revenir \u2013 d\u2019une certaine fa\u00e7on revenir au premier niveau d\u2019axiomatisation \u2013 en proposant de d\u00e9finir le plan associ\u00e9 au couple \\( (\\Gamma, \\Delta)\\) de mani\u00e8re plus g\u00e9om\u00e9trique que Bachmann lui-m\u00eame. Le plan est un sous-ensemble \\(\\mathscr{P}\\) de \\(\\Gamma\\) dont les \u00e9l\u00e9ments sont des points : ce sont toujours les produits latex]P[\/latex] d\u2019\u00e9l\u00e9ments de \\(\\Delta\\) quand ce produit est d\u2019ordre 2.<\/p>\n\n\n\n On d\u00e9finit alors les droites comme des parties de \\(\\mathscr{P}\\) (ce qui n\u2019est pas le cas dans Bachmann) qui vont \u00eatre canoniquement en bijection avec \\(\\Delta\\) : la droite \\(\\hat{a}\\) associ\u00e9e \u00e0 l\u2019\u00e9l\u00e9ment \\(a\\) de \\(\\Delta\\) est l\u2019ensemble: \\(\\hat{a}=\\{ P \\in \\mathscr{P} \\; \/ \\; Pa\\) est d’ordre 2 dans \\(\\Gamma \\}\\).<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n On a bien \\(M \\in \\hat{a} \\Longleftrightarrow M \\mid a\\), soit \\(M\\) incident \u00e0 \\(a\\) au sens de Bachmann. De ce point de vue l\u2019orthogonalit\u00e9 des droites se d\u00e9finit par \\(\\hat{a} \\perp \\hat{b} \\Longleftrightarrow ab\\) est d\u2019ordre 2. La seule diff\u00e9rence avec le plan du groupe de Bachmann est qu\u2019une droite est une partie de \\(\\mathscr{P}\\) (en bijection avec \\(\\Delta\\)) au lieu d\u2019en \u00eatre un \u00e9l\u00e9ment, et l\u2019incidence est (re)devenue l\u2019appartenance au sens usuel des ensembles. En ce sens, une droite n\u2019est jamais \u00e9gale \u00e0 un point, ce qui correspond bien aux repr\u00e9sentations que l\u2019on se fait en manipulant le mod\u00e8le elliptique du menu ELL<\/strong> : dans le champ des configurations, une droite elliptique ne peut pas s\u2019identifier \u00e0 son p\u00f4le, et si on a bien la possibilit\u00e9 d\u2019avoir \\(C=c\\), on n\u2019a pas \\(C=\\hat{c}\\) et alors le p\u00f4le et sa polaire sont deux objets diff\u00e9rents. Dans ce contexte, les notions de p\u00f4le et polaire peuvent se d\u00e9finir ainsi :<\/p>\n\n\n\n Soient \\(P\\) un point de \\(\\mathscr{P}\\) et \\(\\delta\\) une droite de \\(\\mathscr{P}\\). On dit que \\(\\delta\\) est la polaire de \\(P\\) (ou que \\(P\\) est le p\u00f4le de \\(\\delta\\)) si l\u2019une des deux conditions \u00e9quivalentes suivantes est v\u00e9rifi\u00e9e :<\/p>\n\n\n\n \\(\\quad i) \\; P \\in \\Delta\\) et \\(\\delta = \\hat{P}\\). Cette \u00e9quivalence sera un corollaire du Th\u00e9or\u00e8me 2 montr\u00e9 plus loin.<\/em><\/p>\n\n\n\n Ce passage \u00e9tant r\u00e9alis\u00e9 entre les deux niveaux d\u2019axiomatisation, dans la suite, nous avons fait le choix de continuer de pr\u00e9senter l\u2019axiomatique de Bachmann dans sa forme originelle, c\u2019est-\u00e0-dire du c\u00f4t\u00e9 de la seconde axiomatisation, aussi bien par respect pour le travail de son auteur, que pour le bonheur de pr\u00e9senter son \u00e9l\u00e9gance alg\u00e9brique. <\/p>\n\n\n\n Les axiomes structurant de ce syst\u00e8me \u00e9tant ceux dits de tri-r\u00e9flexions, il est clair que les notions qui leur sont associ\u00e9es vont \u00eatre au c\u0153ur de l\u2019argumentation. Bachmann introduit \u00e0 ce sujet une relation <\/em>et un objet <\/em>:<\/p>\n\n\n\n Trois droites \\(a, b, c\\) seront dites en pinceau <\/strong>si le produit \\(abc\\) est une droite.<\/p>\n\n\n\n Cette relation <\/em>\u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb est sym\u00e9trique : elle est ind\u00e9pendante de l\u2019ordre dans lequel sont compos\u00e9es les droites. En effet, si \\(abc\\) est une droite, alors : \\(cba=(abc)^{-1}\\) est une droite. \\(bca = a(abc)a = a(abc)a^{-1}\\) aussi par stabilit\u00e9 par conjugaison. De m\u00eame pour les trois autres relations : \\(bac = c(cba)c\\), \\(acb = b(bac)b\\) et \\(cab = b(bca)b\\).<\/p>\n\n\n\n Comme l\u2019ind\u00e9pendance de l\u2019ordre est fortement li\u00e9e \u00e0 la conjugaison, on pourrait penser que peut-\u00eatre il y a l\u00e0 une version alg\u00e9brique d\u2019une utilisation cach\u00e9e de l\u2019ordre. Il n\u2019en est rien : l\u2019axiomatique de Bachmann est v\u00e9rifi\u00e9e sur de nombreux corps non ordonnables : sur les corps finis (et Bachmann montre qu\u2019alors son axiomatique ne produit que des plans euclidiens finis, mais aussi sur des g\u00e9om\u00e9tries plus cons\u00e9quentes comme des plans sur \\(\\mathbb{Q(i)}\\). Nous y reviendrons dans les pages traitant de la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries et des corps associ\u00e9s, pour discuter du vocabulaire de Bachmann.<\/p>\n\n\n\n La possibilit\u00e9 d\u2019arriver \u00e0 une axiomatique qui n\u2019utilise pas l\u2019ordre est un point particuli\u00e8rement travaill\u00e9 par Bachmann. La relation est aussi, trivialement, r\u00e9flexive, c\u2019est-\u00e0-dire v\u00e9rifi\u00e9e d\u00e8s que deux (au moins) des trois droites sont confondues. La question de la transitivit\u00e9 est essentielle ; elle est abord\u00e9e \u00e0 la page suivante.<\/p>\n\n\n\n \u00c0 c\u00f4t\u00e9 de cette relation, on introduit en m\u00eame temps la notion de pinceau, comme objet <\/em>: pour deux droites distinctes \\(a \\neq b\\), l\u2019ensemble des droites qui sont en pinceau avec \\(a\\) et \\(b\\) est appel\u00e9 le pinceau de droites \\(\\mathscr{P}_{ab}\\) <\/strong>ainsi not\u00e9 car il ne d\u00e9pend en fait que du produit \\(ab\\).<\/p>\n\n\n\n Les axiomes de tri-r\u00e9flexions permettent de d\u00e9finir et d\u2019\u00e9tudier des pinceaux \u00e0 centre (axiome 3) et \u00e0 axe (axiome 4), mais la relation est assez souple pour s\u2019appliquer \u00e0 d\u2019autres objets, et, d\u00e8s son introduction, Bachmann mentionne \u2013 pour nous donner des repr\u00e9sentations \u2013 la possibilit\u00e9 pour des pinceaux d\u2019\u00eatre d\u2019un autre type, en particulier le pinceau des droites orthogonales \u00e0 un horicycle dans le cas hyperbolique : le support sera le point id\u00e9al centre de l\u2019horicycle. L\u2019\u00e9l\u00e9gance de l\u2019axiomatique de Bachmann se trouve \u00e0 de nombreux endroits, et en particulier ici : la possibilit\u00e9 d\u2019\u00e9tudier, gr\u00e2ce \u00e0 la relation \u00ab \u00eatre en pinceau \u00bb, d\u2019autres types de pinceaux que ceux implicitement mentionn\u00e9s dans les axiomes. Bachmann les appelle pinceaux \u00ab sans support \u00bb.<\/p>\n\n\n\n Avec un peu de pratique \u2013 en seconde lecture \u2013 une question vient n\u00e9cessairement sur ce troisi\u00e8me type de pinceau : est-ce vraiment un type de pinceau (comme dans le cas hyperbolique), ou bien cette expression englobe-t-elle tout ce qui n\u2019est pas connectable (intersection des droites sur la conique associ\u00e9e, nous sommes en seconde lecture), et dans ce cas, peut-il y avoir plusieurs types diff\u00e9rents de pinceaux \u00ab sans support \u00bb ? Nous reviendrons sur cette question quand nous aborderons la s\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries.<\/p>\n\n\n\n Collin\u00e9ations<\/strong><\/p>\n\n\n\n Avant d\u2019aborder les premi\u00e8res cons\u00e9quences \u00e9l\u00e9mentaires des axiomes, voyons maintenant la d\u00e9finition de deux collin\u00e9ations du plan du groupe <\/em>de Bachmann. Une collin\u00e9ation est une application qui conserve les ensembles de droites, de point, et l\u2019incidence. Elle est dite orthogonale si de plus elle conserve aussi l\u2019orthogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Soit \\(\\alpha \\in \\Gamma\\), consid\u00e9rons la transformation \\(T_{\\alpha}\\) d\u00e9finie sur \\(\\Gamma\\) par \\(T_{\\alpha}(\\gamma) = \\gamma^\\alpha\\). Comme \\(\\Delta\\) est stable par conjugaison, l\u2019image d\u2019une droite est bien une droite. De plus, si on note \\(P=gh\\) avec \\(g \\mid h\\), on a, par les propri\u00e9t\u00e9s propres \u00e0 la conjugaison, \\(P^{\\alpha}=g^{\\alpha}h^{\\alpha}\\) avec \\(g^{\\alpha} \\mid h^{\\alpha}\\), ainsi l\u2019image d\u2019un point par \\(T_{\\alpha}\\) est un point, et cette transformation conserve aussi bien l\u2019incidence que l\u2019orthogonalit\u00e9 : c\u2019est donc une collin\u00e9ation orthogonale.<\/p>\n\n\n\n On peut appeler cette transformation \\(T_{\\alpha}\\) une isom\u00e9trie du plan <\/strong>et en particulier pour \\(\\alpha = a\\) on parlera de r\u00e9flexion <\/strong>(sym\u00e9trie orthogonale) d\u2019axe \\(a\\) <\/strong>et pour \\(\\alpha = A\\) de r\u00e9flexion <\/strong>(sym\u00e9trie centrale) de centre \\(A\\) <\/strong>du plan (du groupe).<\/p>\n\n\n\n Le terme axe<\/strong> est repris pour droite<\/strong> par tradition g\u00e9om\u00e9trique ; il n\u2019y a aucune connotation d\u2019orientation dans le mot axe . Bachmann utilise droite. Il n\u2019emploie jamais d\u2019expression qui pourrait \u00e9voquer, m\u00eame de loin, une r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 un ordre.<\/em><\/p>\n\n\n\n Regardons les droites invariantes par une r\u00e9flexion orthogonale d\u2019axe \\(u\\), on cherche les droites \\(a\\) telles que \\(a^u=a\\). C\u2019est bien s\u00fbr vrai pour \\(a=u\\), sinon il faut \\(uau=a\\) soit \\(u \\mid a\\).<\/p>\n\n\n\n Autrement dit les seules droites (globalement) invariantes par une sym\u00e9trie orthogonale sont la droite de la sym\u00e9trie et ses perpendiculaires.<\/p>\n\n\n\n Qu\u2019en est-il des points ? \\(A^u=A\\) est \u00e9quivalent \u00e0 \\(Au=uA\\) soit \\(A \\mid u\\) si \\(A \\neq u\\) soit \\(A=u\\) : les seuls points invariants par une sym\u00e9trie orthogonale sont les points incidents \u00e0 la droite qui d\u00e9finit la sym\u00e9trie ou le p\u00f4le de la droite … si ce p\u00f4le existe.<\/p>\n\n\n\n Tant que nous n\u2019aurons pas s\u00e9par\u00e9 les g\u00e9om\u00e9tries, nous serons amen\u00e9s \u00e0 traiter syst\u00e9matiquement cette question du p\u00f4le. Ce sera toujours sous r\u00e9serve d\u2019\u00eatre dans une structure o\u00f9 il existe. En fait, quand nous aborderons la question, nous montrerons que toute droite a un p\u00f4le d\u00e8s qu\u2019une droite en a un : ce sera la g\u00e9om\u00e9trie elliptique.<\/em><\/p>\n\n\n\n De m\u00eame les seules droites globalement invariantes par une sym\u00e9trie centrale sont les droites passant par le centre ou la polaire du centre. Pour les poins invariants, il faut un minimum de propri\u00e9t\u00e9s sur l’orthogonalit\u00e9 : le r\u00e9sultat que chacun imagine sera montr\u00e9 apr\u00e8s les premiers th\u00e9or\u00e8mes.<\/p>\n\n\n\n Enfin, les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s de la conjugaison assurent que l\u2019image de \u00ab\u00a0trois droites en pinceau\u00a0\u00bb par une isom\u00e9trie \\(T_{\\alpha}\\) est \u00ab\u00a0trois droites en pinceau\u00a0\u00bb, c\u2019est donc en particulier vrai pour les r\u00e9flexions.<\/p>\n\n\n\n La r\u00e9daction d\u2019un syst\u00e8me d\u2019axiomes est traditionnellement minimaliste. Nous voulons dire par l\u00e0 qu\u2019ils contiennent en eux m\u00eame plus que leur propre expression, sous forme de cons\u00e9quences imm\u00e9diates ou de r\u00e9ciproques que l\u2019on peut tout de suite pr\u00e9ciser. C\u2019est l’objet de cette section et de la suivante. Dans cette section, on utilise essentiellement la relation \\(\\mid\\) qui traite aussi bien de l\u2019incidence d\u2019un point et d\u2019une droite que de l\u2019orthogonalit\u00e9 de deux droites. Rappelons que, d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, pour tout \u00e9l\u00e9ment de \\(\\Gamma\\), quand nous \u00e9crivons la relation \\(\\alpha \\mid \\beta\\), cela contient toujours que \\(\\alpha \\neq \\beta\\).<\/p>\n\n\n\n Avant d\u2019aborder ces premiers d\u00e9veloppements, dans son expos\u00e9 Bachmann commence par rendre compte des mod\u00e8les usuels r\u00e9els <\/em>(elliptiques, euclidiens, et hyperboliques) au regard de son axiomatique. Seules les propri\u00e9t\u00e9s relatives \u00e0 la stabilit\u00e9 des g\u00e9n\u00e9rateurs par conjugaison et celles d\u00e9crites par les axiomes de tri-r\u00e9flexions sont \u00e0 v\u00e9rifier. Elles rel\u00e8vent dans les mod\u00e8les de Poincar\u00e9 et le mod\u00e8le plan elliptique, des propri\u00e9t\u00e9s de l\u2019inversion et dans le mod\u00e8le projectif de Klein-Beltrami, de propri\u00e9t\u00e9s de l\u2019homologie harmonique.<\/p>\n\n\n\n Th 1 : ind\u00e9pendance d’un point des droites qui le d\u00e9finissent<\/strong><\/p>\n\n\n\n\\((a, b) \\mid P \\; et \\; (a \\perp b) \\Longleftrightarrow (P=ab)\\)\n\n\n\n Soient deux droites distinctes \\(a\\) et \\(b\\), telles que \\(P \\mid a,b\\) et \\(a \\mid b\\) alors \\(P=ab\\) et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n\n\n\n Sens direct<\/em> Sens r\u00e9ciproque<\/em> Th 2 : triangle trirectangle et produit de droites unitaire<\/strong><\/p>\n\n\n\n\\(abc=1 \\Longleftrightarrow (a \\mid b \\; \\mathrm{et} \\; b \\mid c \\; \\mathrm{et} \\; c \\mid a)\\)\n\n\n\n Il y a \u00e9quivalence entre l’orthogonalit\u00e9 de trois droites prises deux \u00e0 deux et le produit des trois \u00e9gal \u00e0 1. <\/em><\/p>\n\n\n\n Le sens direct (imm\u00e9diat) a \u00e9t\u00e9 abord\u00e9 dans une page pr\u00e9c\u00e9dente, avec la pr\u00e9sentation des notations. Nous sommes donc dans la situation o\u00f9 \\(C\\) est incident \u00e0 la fois \u00e0 \\(b\\) et \u00e0 \\(c\\), avec \\(b \\mid c\\) (les droites sont orthogonales). D\u2019apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me 1, alors \\(C=bc\\). Autrement dit \\(ab=bc\\), soit \\(a=c\\), ce qui est contradictoire avec le fait que les droites \\(a\\) et \\(c\\) soient orthogonales : \\(a \\mid c\\).<\/p>\n\n\n\n Figure associ\u00e9e \u00e0 ce Th 2 <\/strong>(d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sent\u00e9e ici<\/a>)<\/p>\n\n\n\n Avec la notation standard, on a \\(N=s_{(AB)}(M)=s_c(M)\\), \\(P=s_{(AC)}(N)=s_b(N)=s_b o s_c(M)\\) et \\(Q=s_{(BC)}(P)=s_a(P)=s_a o s_b o s_c(M)\\).
A2. <\/strong>Si \\(P, Q \\mid g,h\\), alors, soit \\(P=Q\\), soit \\(g=h\\).<\/p>\n\n\n\n
A4.<\/strong> Si \\(a, b, c \\mid g\\) alors il existe \\(d\\) tel que \\(abc=d\\).<\/p>\n\n\n\n<\/figure><\/div>\n\n\n
\\(\\quad ii) \\;\\) Toute droite passant par \\(P\\) est orthogonale \u00e0 \\(\\delta\\).<\/p>\n\n\n\nDroites en pinceaux et pinceaux de droites<\/h2>\n\n\n\n
Cons\u00e9quences des axiomes sur l’incidence et l’orthogonalit\u00e9
(les 5 premiers th\u00e9or\u00e8mes de l’expos\u00e9 de Bachmann)<\/h2>\n\n\n\n
\\(ab\\) est un point \\(Q\\) tel que \\(Q \\mid a, b\\) car \\(aQ=b\\) est d’ordre 2 et \\(Qb=a\\) aussi d’ordre 2. On a donc \\(P, Q \\mid a, b\\) avec \\(a \\neq b\\). Donc par l’axiome A2<\/strong>, il en r\u00e9sulte que \\(P=Q\\).<\/p>\n\n\n\n
Si \\(P=ab\\), alors \\(a \\mid b\\) et \\(aP=b\\) est d’ordre 2, donc \\(P \\mid a\\). De m\u00eame \\(Pb=a\\) est d’ordre 2, donc \\(P \\mid b\\).<\/p>\n\n\n\n
R\u00e9ciproquement, si les droites sont deux \u00e0 deux orthogonales, on a \\( (ab)^2=1, \\; (bc)^2=1, \\; (ca)^2=1,\\). Il en r\u00e9sulte que \\( (abc)^2=1\\). Et donc, soit \\(abc=1\\), soit \\(abc \\neq 1\\). On se place dans la seconde alternative pour montrer une contradiction. Notons \\(C=ab\\). \\(C\\) est un point car \\(a \\mid b\\)., et de plus \\(C\\) n’est pas \u00e9gal \u00e0 \\(c\\) – ou encore n’est pas le p\u00f4le de \\(c\\), car, justement, nous somme dans l’hypoth\u00e8se o\u00f9 \\(abc\\) est diff\u00e9rent de 1. Mais de \\( (abc)^2=1\\) (involutive) en en d\u00e9duit que \\( ab \\mid c\\). Et donc \\(C \\, \\mathfrak{I} \\, c\\) (car \\(C\\) n’est pas \u00e9gal \u00e0 \\(c\\)). Par ailleurs \\(C=ab \\mid b\\) donc \\(C\\) est aussi incident \u00e0 \\(b\\).<\/p>\n\n\n\n
Alors \\(Q=M\\), soit \\(s_a o s_b o s_c = Id\\).<\/p>\n\n\n