On rappelle que dans tous les menus de ce site, il est conseill\u00e9 d’avoir lu en pr\u00e9alable la page associ\u00e9e au titre du menu lui-m\u00eame, qui contient une pr\u00e9sentation plus g\u00e9n\u00e9rale de ce menu..<\/p>\n\n\n\n
Dans la lecture qu\u2019il fait des travaux de ses pr\u00e9d\u00e9cesseurs, Bachmann situe \u00e0 1933 la premi\u00e8re pr\u00e9sentation alg\u00e9brique <\/em>d\u2019une axiomatique de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, par Thomson, et \u00e0 1943 l\u2019extension du travail pr\u00e9c\u00e9dent aux cas non euclidiens. Il ne manque pas de signaler les \u00e9tapes initiales de ce travail de seconde axiomatisation – pour reprendre l\u2019expression de Gonseth – que sont tout d\u2019abord la d\u00e9marche de Hessenberg qui, d\u00e8s 1905, travaille sur les compositions de sym\u00e9trie pour construire la g\u00e9om\u00e9trie, reprise plus syst\u00e9matiquement par Hjelmslev qui, \u00e0 partir de 1907, montre ce que Bachmann appelle le th\u00e9or\u00e8me fondamental des plans m\u00e9triques, et surtout, introduit la notion de demi-rotation pour plonger ces g\u00e9om\u00e9triques dans un plan projectif.<\/p>\n\n\n\n Dans sa d\u00e9marche, Bachmann cherche un syst\u00e8me d\u2019axiome minimal, ce qui, bien entendu, engendre un nombre important de g\u00e9om\u00e9tries (en particulier toutes les g\u00e9om\u00e9tries finies qui ne peuvent pas \u00eatre isomorphes). Bachmann va donc \u00eatre amen\u00e9 \u00e0 les classer et \u00e0 mettre en \u00e9vidence des axiomes sp\u00e9cifiques pour s\u00e9parer ces g\u00e9om\u00e9tries. Cette s\u00e9paration donnera alors tout son sens \u00ab\u00a0m\u00e9trique\u00a0\u00bb \u00e0 la notion de droites parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n Signalons, avant de poursuivre, le sens du mot m\u00e9trique dans le vocabulaire de Bachmann<\/strong>. Il ne s\u2019agit pas d\u2019une notion attach\u00e9e \u00e0 une distance, c\u2019est simplement un qualificatif pour un ensemble (en pratique un groupe) qui dispose d\u2019axiomes minimaux qui feront de cet ensemble un plan muni d\u2019une g\u00e9om\u00e9trie d\u2019incidence et d\u2019orthogonalit\u00e9<\/em>. Le choix de ce terme n\u2019est pas particuli\u00e8rement heureux, et il a d\u2019ailleurs \u00e9t\u00e9 souvent reproch\u00e9 \u00e0 Bachmann, en r\u00e9f\u00e9rences aux g\u00e9om\u00e9tries d\u00e9j\u00e0 d\u00e9sign\u00e9es de m\u00e9triques par Cayley (puis Klein) en travaillant essentiellement, cette fois, sur une distance.<\/p>\n\n\n\n Cette \u00e9tape est une pr\u00e9paration \u00e0 l\u2019entr\u00e9e dans la seconde axiomatisation de Gonseth. Bachmann, en nous invitant \u00e0 observer <\/em>des figures euclidiennes \u00e9l\u00e9mentaires avec un regard alg\u00e9brique <\/em>nous place de fait \u00e0 ce second niveau : son domaine d\u2019observation n\u2019est pas le champ de l\u2019exp\u00e9rience du monde sensible (des configurations), mais celui des transformations euclidiennes planes ; il nous invite donc \u00e0 une perception structurelle<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Dans son regard alg\u00e9brique, les objets de la g\u00e9om\u00e9trie, qui seront pour nous des droites et des points, vont \u00eatre des transformations : des sym\u00e9tries orthogonales pour les premiers et des sym\u00e9tries centrales pour les seconds. La premi\u00e8re figure d\u00e9crit ce que sera un point, la seconde ce que va \u00eatre l\u2019incidence. <\/p>\n\n\n\n Composition de deux sym\u00e9tries orthogonales d’axes s\u00e9cants<\/strong> Dans la figure suivante, \\(d\\) et \\(d’\\) sont deux droites s\u00e9cantes et \\(M_1\\) est l’image du point \\(M\\) par la compos\u00e9e \\(s_{d’} o s_d\\). Puis, par it\u00e9ration, on note \\(M_{k+1}\\) l’image de \\(M_k\\) par \\(s_{d’} o s_d\\). On sait que toutes ces images sont sur le cercle de centre l’intersection des deux droites et passant par \\(M\\). On se propose de visualiser quand cette composition est d’ordre 2 … m\u00eame si tout le monde connait le r\u00e9sultat bien entendu.<\/p>\n\n\nLecture alg\u00e9brique de l\u2019orthogonalit\u00e9 et de l\u2019incidence<\/h2>\n\n\n\n
D\u00e9finition alg\u00e9brique de l’orthogonalit\u00e9 et du point<\/strong><\/p>\n\n\n\n