{"id":5276,"date":"2022-12-26T18:58:36","date_gmt":"2022-12-26T14:58:36","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=5276"},"modified":"2023-11-26T16:55:01","modified_gmt":"2023-11-26T12:55:01","slug":"axiomatique-de-bachmann-prelude","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=5276","title":{"rendered":"Axiomatique de Bachmann – Pr\u00e9lude"},"content":{"rendered":"\n

Les pages des premiers menus de ce site (DP<\/strong>, ELL<\/strong>, puis PS<\/strong> et PSH<\/strong>) sont construites autour de l’approche historique des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, c’est-\u00e0-dire autour du questionnement sur l’axiome d’Euclide relatif aux droites parall\u00e8les. Les pages du menu NonArg<\/strong> traitent des propri\u00e9t\u00e9s des g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes, soit cette fois de g\u00e9om\u00e9tries qui, elles, v\u00e9rifient l’axiome d’Euclide. <\/p>\n\n\n\n

Par contre, dans l’approche de Daniel Perrin<\/a>, on a vu, au contraire, que la notion de droites parall\u00e8les est absente. Daniel Perrin pr\u00e9cise m\u00eame :<\/p>\n\n\n\n

\n

Mon opinion, en effet, est que cette notion de parall\u00e8le, contrairement \u00e0 ce que semblerait indiquer l\u2019histoire, n\u2019est pas fondamentale en g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne. Pour une fois, l\u2019histoire, \u00e0 mon avis, ne fait que masquer la v\u00e9ritable nature des choses. Nous verrons en revanche dans la Partie V, que m\u00eame avec l\u2019entr\u00e9e par la g\u00e9om\u00e9trie projective et les formes quadratiques que j\u2019ai choisie, la notion de parall\u00e9lisme est absolument fondamentale en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. C\u2019est sans doute cette importance des parall\u00e8les dans le cadre euclidien et la pr\u00e9gnance de ce cadre sur nos habitudes de pens\u00e9e qui expliquent qu\u2019aujourd\u2019hui encore, on mette en avant le probl\u00e8me des parall\u00e8les dans toute pr\u00e9sentation des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes. J\u2019annonce tout de suite que cela ne sera pas ma position, pr\u00e9f\u00e9rant une entr\u00e9e par la g\u00e9om\u00e9trie projective et les formes quadratiques dont j\u2019esp\u00e8re que le lecteur pourra appr\u00e9cier la pertinence.<\/p>\nDaniel Perrin – Partie 4 consacr\u00e9e aux GNE (page 3) de ce livre<\/a><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

La remarquable efficacit\u00e9 de cette d\u00e9marche, plusieurs fois mise en valeurs dans cette s\u00e9rie<\/a> d’articles, tient au fait qu’il caract\u00e9rise la diff\u00e9rence entre la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne et les g\u00e9om\u00e9tries hyperbolique et elliptique par cette propri\u00e9t\u00e9 que la premi\u00e8re est associ\u00e9e \u00e0 une forme quadratique d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e<\/em> alors que les deux autres le sont \u00e0 des formes non d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9es<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

Dans ce menu, on s’int\u00e9resse \u00e0 une troisi\u00e8me approche, qui est aussi la continuit\u00e9 d’une tradition historique, et dans laquelle on ne parlera pas non plus de droites parall\u00e8les. C’est une approche axiomatique alg\u00e9brique. Axiomatique au sens – entre autres – o\u00f9 le corps de nombres obtenu est issu des axiomes de la g\u00e9om\u00e9trie, et alg\u00e9brique au sens o\u00f9 elle s’inscrit dans la continuit\u00e9 de Klein avec l’\u00e9tude des invariants par un groupe de transformations (programme d’Erlangen – 1872). Pour pr\u00e9senter bri\u00e8vement cette approche, on peut dire qu’avec Klein, il y avait un groupe qui op\u00e9rait \u00e0 la fois sur un ensemble de points, et sur des ensembles particuliers de points que sont les droites. La tradition dont on parle plus haut est celle de cette d\u00e9marche alg\u00e9brique qui a recherch\u00e9, pour des raisons de logique axiomatique, une plus grande auto-r\u00e9f\u00e9rence. Dans son axiomatique, Bachmann supprime l’ensemble … des points … et celui des droites : il ne reste qu’un groupe op\u00e9rant par conjugaison sur une de ses parties.<\/p>\n\n\n\n

\n

Le calcul sur les r\u00e9flexions dans le cadre de la th\u00e9orie des groupes ouvre un domaine dans lequel on a la possibilit\u00e9 de calculer avec des objets g\u00e9om\u00e9triques et de b\u00e9n\u00e9ficier ainsi d’un nouvel outil pour la preuve des th\u00e9or\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans ce calcul avec les objets g\u00e9om\u00e9triques, ind\u00e9pendant de tout syst\u00e8me de nombres et de toute notion de rep\u00e8re, on peut voir un pas vers la r\u00e9alisation du<\/em> programme que Leibniz a \u00e9labor\u00e9 \u00e0 partir de la g\u00e9om\u00e9trie analytique de Descartes.<\/em><\/p>\nFriedrich Bachmann \u2013 <\/em>Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff– 1959<\/em><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

... qui a recherch\u00e9 …<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En effet, en math\u00e9matiques, comme projet de soci\u00e9t\u00e9 affranchi des limites temporelles de l\u2019exp\u00e9rience humaine, on peut dire, d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, que toutes les branches ont une fin programm\u00e9e : si elles y parviennent \u2013 ce qui n\u2019est pas toujours le cas \u2013 leur aboutissement ultime est en m\u00eame temps leur mort au niveau de la recherche : c\u2019est au moment o\u00f9 tout est parfaitement d\u00e9crit que la motivation des chercheurs s\u2019estompe et que ceux-ci se tournent vers d\u2019autres probl\u00e9matiques, laissant le soin de poursuivre et de reprendre \u00e0 ceux que les historiens appellent les \u00ab commentateurs \u00bb.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019axiomatique de Bachmann en est un parfait exemple : arriv\u00e9e \u00e0 maturit\u00e9 en 1959, elle est l\u2019aboutissement ultime de l\u2019approche alg\u00e9brique que Klein avait mise en place en 1872. Mais, apr\u00e8s une p\u00e9riode de foisonnement autour des fondements de la g\u00e9om\u00e9trie \u2013 l\u2019\u00e9cole de Hilbert (1899) \u2013 apr\u00e8s les lettres de noblesse donn\u00e9es aux g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes par Poincar\u00e9 (1901), elle arrive trop tard dans la structuration des savoirs pour avoir un v\u00e9ritable impact, au point qu\u2019elle passe pour ainsi dire inaper\u00e7ue en dehors de l\u2019Allemagne, en particulier en France o\u00f9 elle est \u00e0 peu pr\u00e8s inconnue.<\/p>\n\n\n\n

Sur l’axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie<\/h2>\n\n\n\n

La question de l’axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie interroge chacun, aussi bien sur la d\u00e9marche axiomatique, que sur le sens que nous donnons \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie, et dans leurs rapports crois\u00e9s (quelle relation \u00e0 l’exp\u00e9rience de l’espace) jusque sur nos propre repr\u00e9sentation de la construction des nombres.<\/p>\n\n\n\n

Tous les points de vue possibles, du formalisme le plus strict, \u00e0 l\u2019intuitionniste le plus militant, se sont exprim\u00e9s sur ces sujets, avec les arguments les plus vari\u00e9s d\u2019essence math\u00e9matique ou de nature philosophique. Dans cette section, nous nous proposons de rappeler \u2013 bien entendu \u00e0 grands traits – quelques-uns des regards essentiels propos\u00e9s soit par des math\u00e9maticiens, soit par des philosophes.<\/p>\n\n\n\n

Avec Hilbert arrive la premi\u00e8re tentative d\u2019axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Pour Hilbert il s\u2019agissait de mettre en pratique, sur l\u2019exemple de la g\u00e9om\u00e9trie, son projet formaliste. Si le travail axiomatique (ind\u00e9pendance des groupes d\u2019axiomes, causalit\u00e9, cat\u00e9goricit\u00e9 de la th\u00e9orie construite) et le foisonnement des recherches (g\u00e9om\u00e9trie non legendrienne, g\u00e9om\u00e9trie semi-euclidienne) sont consid\u00e9rables \u00e0 l\u2019\u00e9poque autour des fondements de la g\u00e9om\u00e9trie, il reste, avec le recul historique, que la d\u00e9marche ne sortait pas malgr\u00e9 tout cela, d\u2019un certain empirisme, en particulier parce que l\u2019incidence et la congruence sont donn\u00e9es a priori, et, en derni\u00e8re analyse, encore fond\u00e9es sur l\u2019intuition de l\u2019espace.<\/p>\n\n\n\n

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\u00ab Pour Hilbert, et pour tous les math\u00e9maticiens semble-t-il, l’\u00e9nonc\u00e9 des axiomes de la g\u00e9om\u00e9trie se fonde sur les propri\u00e9t\u00e9s intuitives des points, droites etc.. On pourrait dire que c’est la position d’Euclide et interpr\u00e9ter en partie, l’histoire des d\u00e9bats sur les fondements de la g\u00e9om\u00e9trie comme l’histoire d’une d\u00e9fiance de plus en plus grande vis-\u00e0- vis des v\u00e9rit\u00e9s appuy\u00e9es sur l’intuition de l’espace, mais qui aboutit \u00e0 la constatation qu’on ne peut pas s’en passer totalement. \u00bb<\/em><\/p>\nGilbert Arsac – \u00ab Axiomatique de Hilbert \u00bb – \u00c9dition Al\u00e9as.(IREM de Lyon)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

C\u2019est aussi la position de Poincar\u00e9 qui, \u00e0 l\u2019oppos\u00e9 de Hilbert, est l\u2019un des premiers math\u00e9maticiens \u00e0 s\u2019inscrire r\u00e9solument dans une voie intuitionniste:<\/p>\n\n\n\n

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\u00ab C\u2019est par la logique qu\u2019on d\u00e9montre, c\u2019est par l\u2019intuition qu\u2019on invente.[…] La facult\u00e9 qui nous apprend \u00e0 voir c\u2019est l\u2019intuition ;[…] sans elle, le g\u00e9om\u00e8tre serait comme un \u00e9crivain ferr\u00e9 sur la grammaire, mais qui n\u2019aurait pas d\u2019id\u00e9e. \u00bb<\/em><\/p>\nHenri Poincar\u00e9 – Science et M\u00e9thode (1908) – Edition Flamarion – p. 137<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Pour lui, seule la perception du mouvement fonde l\u2019exp\u00e9rience que l\u2019on a de l\u2019espace et des objets dans l\u2019espace. Il pr\u00e9cise qu\u2019une axiomatique fond\u00e9e sur la congruence doit incorporer d\u2019une fa\u00e7on ou d\u2019une autre le mouvement :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab …deux figures sont \u00e9gales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut d\u00e9placer l\u2019une d\u2019elle jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019elle co\u00efncide avec l\u2019autre, mais comment faut-il la d\u00e9placer ? Si nous le demandions, on nous r\u00e9pondrait sans doute qu\u2019on doit le faire sans la d\u00e9former \u00e0 la fa\u00e7on d\u2019un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors \u00e9vident. […]<\/em><\/p>\n\n\n\n

Cependant toute imparfaite qu\u2019elle soit, cette d\u00e9finition implique un axiome. La possibilit\u00e9 du mouvement d\u2019une figure invariable n\u2019est pas une v\u00e9rit\u00e9 \u00e9vidente par elle- m\u00eame, ou du moins elle ne l\u2019est qu\u2019\u00e0 la fa\u00e7on du postulatum d\u2019Euclide et non comme le serait un jugement analytique a priori. D\u2019ailleurs en \u00e9tudiant les d\u00e9finitions et les d\u00e9monstrations de la g\u00e9om\u00e9trie, on voit qu\u2019on est oblig\u00e9 d\u2019admettre, sans les d\u00e9montrer, non seulement la possibilit\u00e9 de ce mouvement, mais encore quelques-unes de ses propri\u00e9t\u00e9s. \u00bb<\/em><\/p>\nHenri Poincar\u00e9 – La Science de l\u2019hypoth\u00e8se (1906) \u2013 Ed. Champ Flamarion (1968) p 71.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

D\u2019autres math\u00e9maticiens, impliqu\u00e9s, comme Hilbert, dans une d\u00e9marche axiomatique font une critique diff\u00e9rente et proposent, d\u00e8s 1905, des pr\u00e9misses axiomatiques bas\u00e9es sur les sym\u00e9tries orthogonales. C\u2019est en particulier le cas de Hjelmslev qui est le premier \u00e0 d\u00e9velopper, en 1907, \u00e0 partir des pinceaux de droites (et l\u2019\u00e9tude de la composition de trois sym\u00e9tries), une th\u00e9orie qui contient le cas hyperbolique, dans laquelle, gr\u00e2ce \u00e0 la notion de demi-rotation, il reconstruit le plongement projectif du plan hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

Toute une somme de travaux passionnants est entreprise autour des fondements de la g\u00e9om\u00e9trie, tout au long des premi\u00e8res \u00e9ditions de l\u2019ouvrage de Hilbert. On a d\u00e9j\u00e0 r\u00e9alis\u00e9 de nombreuses figures dans des mod\u00e8les de g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes<\/a>, dont le plan de Moulton. Bachmann lui-m\u00eame participa au texte de la VII\u00b0 \u00e9dition (la derni\u00e8re du vivant de Hilbert) en 1930 en approfondissant la question des axiomes de continuit\u00e9. Il est ainsi parvenu \u00e0 l\u2019\u00e9nonc\u00e9 d\u2019un axiome dit d\u2019int\u00e9grit\u00e9 lin\u00e9aire <\/em>pour que l\u2019axiome d\u2019int\u00e9grit\u00e9 des \u00e9ditions pr\u00e9c\u00e9dente puisse devenir un th\u00e9or\u00e8me dans cette \u00e9dition(*)<\/sup>. Dans la version d\u00e9finitive de sa propre axiomatique, la continuit\u00e9 n\u2019est pas un axiome chez Bachmann, mais son propos n\u2019est pas, comme Hilbert, de retrouver la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne et le corps des r\u00e9els. La question de la continuit\u00e9, et son lien \u00e0 l\u2019archim\u00e9die a \u00e9t\u00e9 tr\u00e8s pr\u00e9sente chez Hilbert. Il a lui m\u00eame \u00e9labor\u00e9 une g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique sans les axiomes de continuit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

(*) Cit\u00e9 par Paul Rossier dans son \u00e9dition critique des \u00ab fondements de la g\u00e9om\u00e9trie \u00bb de Hilbert \u2013 p 41. Dans les pr\u00e9sentations actuelles de l\u2019axiomatique de Hilbert, cet axiome est souvent remplac\u00e9 par la propri\u00e9t\u00e9 des intervalles embo\u00eet\u00e9s de Dedeking, ce qui permet d\u2019arriver plus rapidement aux r\u00e9sultats voulus
<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si, d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale ces travaux des deux premi\u00e8res d\u00e9cennies du XX\u00b0 si\u00e8cle, approfondissent de plus en plus finement les liens, les causalit\u00e9s et d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale les d\u00e9pendances entre les axiomes ou l\u2019expression de diverses notions, ils participent \u00e9galement, par la recherche d\u2019une expression formelle \u2013 en particulier sous l\u2019impulsion de Hilbert avec ses deux premiers probl\u00e8mes de la conf\u00e9rence de 1900 (hypoth\u00e8se du continu et non contradiction de l’arithm\u00e9tique) \u2013 \u00e0 l\u2019\u00e9laboration d\u2019une axiomatique au sens o\u00f9 nous l\u2019entendons maintenant, avec des axiomes totalement ind\u00e9pendants des exp\u00e9riences sensibles, les notions d\u2019interpr\u00e9tation des axiomes et de mod\u00e8le. <\/p>\n\n\n\n

Il a fallu attendre 1924 pour que le formalisme naissant propose une premi\u00e8re axiomatique de la g\u00e9om\u00e9trie (euclidienne). La nouveaut\u00e9 logique introduite alors par Geiger est de travailler sur deux ensembles d\u2019objets ind\u00e9pendants, et de d\u00e9finir une relation entre ces objets : concr\u00e8tement on consid\u00e8re un ensemble \\(\\Gamma\\) de points, un ensemble \\(\\Delta\\)de droites et une relation \\(\\mathfrak{I}\\) qui exprime la correspondance que peuvent avoir un point et une droite. La relation \\(\\mathfrak{I}\\) est d\u00e9finie sur le produit cart\u00e9sien \\(\\Gamma \\times \\Delta\\) ; elle correspond \u00e0 l\u2019incidence usuelle.<\/p>\n\n\n\n

La relation d\u2019incidence d\u00e9finie sur un produit cart\u00e9sien d\u2019ensemble donne une sym\u00e9trie naturelle \u00e0 l\u2019incidence, sym\u00e9trie bien entendu pr\u00e9sente \u00e0 l\u2019esprit de chacun dans tout syst\u00e8me d\u2019axiomes, mais g\u00e9n\u00e9ralement exprim\u00e9e de mani\u00e8re dissym\u00e9trique puisque l\u2019incidence est d\u00e9crite par des termes diff\u00e9rents selon qu\u2019on lise \\( A \\; \\mathfrak{I} \\; d\\) : un point \u00ab appartient \u00bb \u00e0 une droite, ou \u00ab est sur \u00bb une droite, alors qu’une droite \u00ab\u00a0passe par\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0contient\u00a0\u00bb un point quand on exprime oralement \\( d \\; \\mathfrak{I} \\; A\\). Dans ce contexte, une g\u00e9om\u00e9trie est dit \u00ab\u00a0m\u00e9trique\u00a0\u00bb si, en plus de la relation d\u2019incidence sur \\(\\Gamma \\times \\Delta\\), on dispose aussi d\u2019une relation d\u2019orthogonalit\u00e9 sur \\(\\Delta \\times \\Delta\\).<\/p>\n\n\n\n

Au-del\u00e0 de la seule d\u00e9marche axiomatique, l\u2019activit\u00e9 autour du formalisme en g\u00e9n\u00e9ral est tr\u00e8s riche, en particulier avec les travaux de Russel<\/a> et de Whitehead<\/a> et leur propre \u00e9cole de logicisme. La rencontre entre les deux d\u00e9marches ne pouvait que se faire rapidement, et a atteint tr\u00e8s rapidement les sommets que l\u2019on sait : avec Ackermann, en 1928, Hilbert soul\u00e8ve cette question :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab \u00c9tant donn\u00e9 un syst\u00e8me formel, avec un langage, des axiomes, des r\u00e8gles de d\u00e9duction et une notion d\u2019interpr\u00e9tation dans des structures math\u00e9matiques, toute assertion v\u00e9rifi\u00e9e dans toute interpr\u00e9tation est-elle formellement d\u00e9ductible des axiomes ? \u00bb<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

G\u00f6del s\u2019empare de la question et y r\u00e9pond par l\u2019affirmative (th\u00e9or\u00e8me de compl\u00e9tude des pr\u00e9dicats) en 1929 puis il montra deux ans plus tard ses deux fameux th\u00e9or\u00e8mes d\u2019incompl\u00e9tude qui r\u00e9pondent, eux, par la n\u00e9gative, au probl\u00e8me n\u00b0 2 de Hilbert : il n\u2019est pas possible \u00e0 une th\u00e9orie qui contient l\u2019arithm\u00e9tique de prouver en elle-m\u00eame sa propre non-contradiction.<\/p>\n\n\n\n

Si ces r\u00e9sultats fondamentaux, tout en ouvrant de nouvelles recherches en logique, signent la fin du projet de Hilbert de concevoir le formalisme comme mode de pens\u00e9e auto-r\u00e9f\u00e9rent des math\u00e9matiques, elles n\u2019affectent en rien les probl\u00e9matiques de l\u2019axiomatique pour elle-m\u00eame. Tout au plus celles-ci sont elles plus recentr\u00e9es sur leurs objets propres et ne cherchent-elles plus une consistance interne ou des \u00e9quivalents. Si, depuis Poincar\u00e9, puis ensuite avec Brouwer, le d\u00e9bat est largement ouvert et parfois \u00e2prement discut\u00e9, en particulier entre \u00ab\u00e9coles d\u00e9di\u00e9es\u00bb, d\u2019une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, l\u2019activit\u00e9 math\u00e9matique d\u00e9passe sans difficult\u00e9 cette dualit\u00e9 entre \u00ab formalisme \u00bb et \u00ab intuitionnisme \u00bb, et s\u2019installe de fait dans une attitude plus distanci\u00e9e par rapport aux \u00e9coles, attitude que l\u2019on pourrait r\u00e9sumer par cette position de Cassier qui \u00e9crivait en 1916 :<\/p>\n\n\n\n

\n

\u00ab Le formalisme est l\u2019instrument indispensable pour la logique du d\u00e9j\u00e0 connu, mais par contre il se r\u00e9v\u00e8le par le principe de la d\u00e9couverte scientifique. […] Le formalisme est un moyen incomparable pour \u00ab discipliner \u00bb la raison math\u00e9matique, mais il ne peut, pour son propre compte, en expliquer l\u2019existence et la l\u00e9gitimer en un sens transcendantal \u00bb<\/em><\/p>\nCassier \u00ab La philosophie des Formes symboliques \u00bb Tome III. Trad. C. Fronty \u2013 Paris, Minuit 1972 p 427. L\u2019\u00e9dition originale date de 1929.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

C\u2019est dans cet esprit que nous allons aborder l\u2019axiomatique de Bachmann, comme une mise en relation formelle du \u00ab d\u00e9j\u00e0 connu \u00bb. Avant de pr\u00e9senter ses axiomes, Bachmann nous propose sa lecture alg\u00e9brique des pr\u00e9misses de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne : quels sont les ressorts alg\u00e9briques de l\u2019orthogonalit\u00e9, de l\u2019incidence ? Cette lecture pr\u00e9liminaire participe du processus d\u2019axiomatisation, mais, dirions-nous, \u00e0 un second degr\u00e9. Quand on examine les ouvrages d\u2019enseignement sup\u00e9rieur (premier cycle) qui nous pr\u00e9sentent l\u2019axiomatique de Hilbert (o\u00f9 une variante) on voit souvent en pr\u00e9ambule, une pr\u00e9sentation au premier degr\u00e9, \u00e0 savoir une lecture de l\u2019espace euclidien tel que nous le percevons. L\u2019une de ces introductions les plus caract\u00e9ristiques est peut-\u00eatre la pr\u00e9sentation des origines empiriques de la congruence par Bela Kerekjarto, dans laquelle l\u2019ordre y est reli\u00e9 au temps, comme chez Kant, alors que d\u2019autres pr\u00e9sentations se r\u00e9f\u00e8rent aussi explicitement au mouvement sans notion de temps.<\/p>\n\n\n\n

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\u00ab\u00a0Les bases empiriques de la g\u00e9om\u00e9trie sont fournies par l’examen des mouvements des corps rigides. Apr\u00e8s \u00eatre arriv\u00e9 par abstraction \u00e0 la notion de \u00ab\u00a0point\u00a0\u00bb, on voit que lorsqu’un corps rigide est fix\u00e9 en deux points, il y a certains points qui restent \u00e0 leur place lors de tous les mouvements encore possibles du corps ; l’ensemble de ces deux points forme une \u00ab\u00a0droite\u00a0\u00bb. Si le corps est fix\u00e9 par deux points d’une droite, les points de la droite en question, et eux seuls, restent \u00e0 leur place ; ce qui peut s’exprimer de la fa\u00e7on suivante : deux points quelconques d\u00e9terminent une droite et cette droite est d\u00e9termin\u00e9e par n’importe lequel de deux de ses points.<\/em><\/p>\n\n\n\n

En faisant continuellement tourner le corps rigide autour d’une de ses droites, tous les points du corps reviennent apr\u00e8s une certaine rotation \u00e0 leur place initiale ; cette rotation est nomm\u00e9e rotation compl\u00e8te autour de la dite droite. Une rotation dont la r\u00e9p\u00e9tition donne une rotation compl\u00e8te est appel\u00e9e demi-rotation. Certaines droites se transforment elles-m\u00eames apr\u00e8s avoir effectu\u00e9 une demi-rotation autour d’une droite : ce sont des droites perpendiculaires \u00e0 notre droite. Par une rotation compl\u00e8te autour d’une droite, toute droite perpendiculaire \u00e0 la droite fix\u00e9e d\u00e9crit un \u00ab\u00a0plan\u00a0\u00bb. L’arrangement des points sur la droite est conforme \u00e0 l’ordre de succession dans le temps selon lequel un point, en d\u00e9crivant la droite, les parcourt.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Nous passons de la notion de corps rigide \u00e0 celle de figure g\u00e9om\u00e9trique en faisant abstraction de la mati\u00e8re du corps et en ne consid\u00e9rant que la place occup\u00e9e par elle dans l’espace. Deux figures seront nomm\u00e9es congruentes si l’une peut \u00eatre superpos\u00e9e \u00e0 l’autre par un certain mouvement (d\u00e9placement). Deux mouvements successifs peuvent \u00eatre remplac\u00e9s par un seul mouvement : il s’en suit que lorsqu’une figure est congruente \u00e0 une autre et celle-ci \u00e0 une troisi\u00e8me, la premi\u00e8re figure est aussi congruente \u00e0 la troisi\u00e8me\u00a0\u00bb<\/em><\/p>\nBela Kerekjarto \u2013 \u00ab Les fondements de la g\u00e9om\u00e9trie \u00bb – Gauthier-Villars \u2013 1969. (\u00c9dition originale en 1937).<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Nous voyons bien, dans les d\u00e9marches aussi oppos\u00e9es que celles de Kerekjarto et de Bachmann, les diff\u00e9rents degr\u00e9s du processus d\u2019axiomatisation comme il est par exemple d\u00e9crit par Gonseth.<\/p>\n\n\n\n

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\u00ab S\u2019il [Le g\u00e9om\u00e9trique] na\u00eet de l\u2019intuitif par un acte de sch\u00e9matisation qui est d\u00e9j\u00e0 une axiomatisation, il est ensuite axiomatis\u00e9 par ce nouvel acte de sch\u00e9matisation qui en d\u00e9gage la structure logique profonde. Autant dans le premier acte que dans le deuxi\u00e8me, l\u2019abstraction comporte une perte de d\u00e9termination et de capacit\u00e9 repr\u00e9sentative de la totalit\u00e9, qui est en m\u00eame temps un gain de capacit\u00e9 repr\u00e9sentative d\u2019un ou plusieurs aspects du concret. Le deuxi\u00e8me acte est en particulier marqu\u00e9 par une perte de substance des notions math\u00e9matiques d\u00e9gag\u00e9es lors du premier acte, une perte de \u00ab tout ce qui rappelle leur signification dans le monde des ph\u00e9nom\u00e8nes directement per\u00e7us par nos sens \u00bb. Dans la double axiomatisation dont surgit la g\u00e9om\u00e9trie axiomatique, la premi\u00e8re conserve ainsi les formes particuli\u00e8res des ph\u00e9nom\u00e8nes, tandis que la deuxi\u00e8me ne conserve que la structure logique des rapports entre ces formes. Pourtant ce qui reste de particulier apr\u00e8s la premi\u00e8re axiomatisation \u00ab consiste avant tout dans le souvenir des r\u00e9alisations o\u00f9 les notions ont \u00e9t\u00e9 primitivement aper\u00e7ues \u00bb de sorte que, si \u00ab l\u2019id\u00e9e du g\u00e9om\u00e9trique a sa source dans l\u2019intuitif, […] sa sph\u00e8re d\u2019existence sp\u00e9cifique est comprise entre la premi\u00e8re axiomatisation qui lui faisait un visage abstrait face au c\u00f4t\u00e9 intuitif de notre connaissance et la seconde qui en fait un concret face au c\u00f4t\u00e9 purement logique \u00bb.<\/em><\/p>\n\u00ab Les philosophes et les math\u00e9matiques \u00bbouvrage collectif coordonn\u00e9 par E. Barbin et M. Caveing \u2013 Ellipse & IREM \u2013 1996. Monographie consacr\u00e9e \u00e0 Gonseth, par Marco Panza p 270. Les citation de Gonseth sont celles de son ouvrage \u00ab Les math\u00e9matiques et la r\u00e9alit\u00e9. Essai sur l\u2019axiomatique \u00bb. Paris \u2013 Alcan \u2013 1936.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Un enseignant, un praticien de la g\u00e9om\u00e9trie est n\u00e9cessairement sensible \u00e0 cette description o\u00f9 l\u2019existence sp\u00e9cifique du g\u00e9om\u00e9trique est quelque part entre les deux axiomatisations, et c\u2019est m\u00eame l\u2019ambigu\u00eft\u00e9 des programmes de g\u00e9om\u00e9trie dans le secondaire qui est d\u00e9crite ici.<\/p>\n\n\n\n

Si la pr\u00e9sentation de Kerekjarto s\u2019inscrit dans la premi\u00e8re axiomatisation, nous allons, dans ce menu, en voir une autre qui s\u2019inscrit dans la seconde. Et surtout, nous allons exp\u00e9rimenter en quoi les manipulations dynamiques que nous faisions alors dans les mod\u00e8les vus dans les menus pr\u00e9c\u00e9dents vont passer de la premi\u00e8re axiomatisation, (\u00ab le visage abstrait \u00bb comme mod\u00e8le de ces g\u00e9om\u00e9tries), en soi, mais aussi par les propres orientations de cet site, par exemple en privil\u00e9giant une approche perceptive des lecteurs sur ces mod\u00e8les, \u00e0 la seconde ou tout ceci bascule <\/em>dans une repr\u00e9sentation concr\u00e8te de l\u2019alg\u00e9brisation de ces concepts comme la pratique Bachmann.<\/p>\n\n\n\n

Les pages de ce menu<\/h2>\n\n\n\n

Ce menu est organis\u00e9 en deux parties de d\u00e9marche assez diff\u00e9rente. Dans la premi\u00e8re partie, on pr\u00e9sente les d\u00e9monstrations de Bachmann sur les d\u00e9but de son axiomatique. Dans la seconde partie, on a une approche simplement culturelle des th\u00e8mes abord\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Introduction<\/strong> : lecture alg\u00e9brique de l’orthogonalit\u00e9, de l’incidence, des propri\u00e9t\u00e9s des sym\u00e9tries orthogonales. Remarques sur l’incidence. Notations utilis\u00e9es dans les pages suivantes<\/p>\n\n\n\n

Axiomes<\/strong> : les 5 axiomes de l’axiomatique. Droites en pinceau et pinceau de droites. Les cons\u00e9quences imm\u00e9diates sous forme de 9 th\u00e9or\u00e8mes.<\/p>\n\n\n\n

Th\u00e9or\u00e8me de Hjelmslev<\/strong> : premiers th\u00e9or\u00e8mes sur les pinceaux et application \u00e0 la transitivit\u00e9 des pinceaux.<\/p>\n\n\n\n

Pinceaux remarquables du triangle ou des trilat\u00e8res<\/strong> : m\u00e9diatrices, bissectrices, hauteurs, isogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

S\u00e9paration des g\u00e9om\u00e9tries<\/strong> : on introduit de nouveaux axiomes pour d\u00e9gager les trois principales g\u00e9om\u00e9tries : elliptique, euclidienne, et hyperbolique. Le cas euclidien est int\u00e9ressant pour voir comment introduire la notion de droites parall\u00e8les dans un contexte si \u00e9loign\u00e9 de l’affine o\u00f9 l’on ne connait que l’orthogonalit\u00e9. On y pr\u00e9sente aussi une figure caract\u00e9ristique de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique. C’est une page passionnante pr\u00e9sent\u00e9e de mani\u00e8re non technique.<\/p>\n\n\n\n

Antiappariement et applications<\/strong> : le th\u00e9or\u00e8me d’antiappariement d’Hessenberg permet de traiter le pinceau des m\u00e9dianes. On aborde ensuite le th\u00e9or\u00e8me de Brianchon et son dual, celui de Pappus sur ces nouveaux objets que sont les pinceaux : on sait ce que Pappus apporte au corps des nombres associ\u00e9 \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie.<\/p>\n\n\n\n

__________________ <\/p>\n\n\n\n

La seconde partie de ce menu est plus conceptuelle que les premi\u00e8res pages. Dans une premi\u00e8re livraison, on propose trois pages sur le plongement projectif. Cet objectif de \u00ab\u00a0plongement projectif\u00a0\u00bb est, en g\u00e9n\u00e9ral, \u00e9loign\u00e9 de notre culture g\u00e9om\u00e9trique actuelle. On le consid\u00e8rera plut\u00f4t d’un point de vue historique. C’est la raison pour laquelle on a choisi une pr\u00e9sentation uniquement culturelle, accompagn\u00e9e de nombreuses illustrations et figures dynamiques \u00e0 manipuler. La d\u00e9marche est pourtant passionnante et largement abordable. <\/p>\n\n\n\n

Plongement projectif (1\/3) – Les demi-rotations et leurs images d’un pinceau<\/strong> : cette premi\u00e8re page pr\u00e9sente les outils pr\u00e9liminaires, largement illustr\u00e9 dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Plongement projectif (2\/3) – les droites id\u00e9ales <\/strong> : on poursuit les concepts de Bachmann pour arriver au plan projectif d’incidence. Puisque nous ne reprenons pas le contenu math\u00e9matique lui-m\u00eame (les preuves), on prend au contraire le temps d’explorer dynamiquement ce que sont ces concepts dans le plongement du disque de Poincar\u00e9. M\u00eame si le contenu est toujours \u00e9loign\u00e9 de nos pr\u00e9occupations, cela reste passionnant de suivre ce cheminement en manipulant les figures. <\/p>\n\n\n\n

Plongement projectif (3\/3) – Polarit\u00e9<\/strong> et structure projective et m\u00e9trique<\/strong> : cette derni\u00e8re page ach\u00e8ve la pr\u00e9sentation de la d\u00e9marche de Bachmann par l’ajout de cette polarit\u00e9 \u00ab\u00a0absolue\u00a0\u00bb. Cette page commence par une construction plus g\u00e9n\u00e9rale sur les droites id\u00e9ales, pour \u00eatre plus efficace dans les illustrations suivantes. Puis, on pr\u00e9sente les d\u00e9finitions g\u00e9n\u00e9rales sur la polarit\u00e9 m\u00eame si les illustrations hyperboliques ne peuvent \u00eatre que \u00ab\u00a0tr\u00e8s classiques\u00a0\u00bb … L\u00e0 encore m\u00eame si cette probl\u00e9matique est loin de nos pr\u00e9occupations g\u00e9om\u00e9triques, cette page pr\u00e9sente des figures int\u00e9ressantes \u00e0 d\u00e9couvrir.<\/p>\n\n\n\n

Les sources utilis\u00e9es pour ce menu<\/h2>\n\n\n\n

Deux \u00e9ditions de l’ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence Bachmann : 1959 et 1973. Les r\u00e9f\u00e9rences des pages pr\u00e9sentes parfois dans les pages de ce menu sont celles de l’\u00e9dition initiale de 1959.<\/p>\n\n\n\n

BACHMANN Frederich \u2013 Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff \u2013 Springer<\/p>\n\n\n\n

Consulter le livre en ligne<\/a> (version 1973)<\/p>\n\n\n\n

Liste des \u00e9tudiants ayant produit une th\u00e8se<\/a> sous sa direction<\/p>\n\n\n\n

BEHNKE, BACHMANN, FLADT, KUNLE (1974) \u2013 Fundamentals of Mathematics \u2013 Volume 2 Geometry \u2013 MIT Press (en anglais, original allemand publi\u00e9 de 1967 \u00e0 1971). Ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence majeur, les chapitres 2 et 5 ont \u00e9t\u00e9 \u00e9crits par Bachmann, en particulier pp 123-173.<\/p>\n\n\n\n

MIRON Radu, BRANZEI Dan (1995) \u2013 Backgrounds of Arithmetic and Geometry \u2013 An Introduction \u2013 World Scientific (chapitre sur l\u2019axiomatique de Bachmann : th\u00e9or\u00e8me de Hjelmselv et cocyclicit\u00e9, bibliographie de 579 livres ou articles)<\/p>\n\n\n\n

HENLE Macha\u00ebl (1997) \u2013 Modern geometries \u2013 The analytic approach \u2013 Prentice Hall
(Quelques pages sur Bachmann)<\/p>\n\n\n\n

REINHARDT Fritz, SOEDER Heinrich (1997) \u2013 Atlas des Math\u00e9matiques \u2013 La Pochoth\u00e8que . Quelques pages d\u2019introduction \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie par l\u2019axiomatique de Bachmann \u2026 en fran\u00e7ais (pp 133-143).<\/p>\n\n\n\n

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Les pages des premiers menus de ce site (DP, ELL, puis PS et PSH) sont construites autour de l’approche historique des g\u00e9om\u00e9tries non euclidiennes, c’est-\u00e0-dire autour du questionnement sur l’axiome d’Euclide relatif aux droites parall\u00e8les. Les pages du menu NonArg traitent des propri\u00e9t\u00e9s des g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes, soit cette fois […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5276"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5276"}],"version-history":[{"count":29,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5276\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6672,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/5276\/revisions\/6672"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5276"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}