{"id":420,"date":"2021-10-18T22:20:00","date_gmt":"2021-10-18T18:20:00","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=420"},"modified":"2025-12-12T23:34:08","modified_gmt":"2025-12-12T19:34:08","slug":"de-construction-de-malfatti","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=420","title":{"rendered":"DE – Construction de Malfatti"},"content":{"rendered":"\n
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Exemple d\u2019une lecture absolue de construction <\/strong>
g\u00e9om\u00e9trique :<\/strong> la construction de Malfatti<\/strong><\/h2>\n\n\n

Certaines constructions g\u00e9om\u00e9triques faisant appel \u00e0 des propri\u00e9t\u00e9s issus de la cocyclicit\u00e9 peuvent avoir une lecture absolue, et d\u2019autres non. Nous reviendrons en d\u00e9tail sur ce point dans une partie traitant de l\u2019axiomatique de Bachmann. Dans plusieurs menu de ce site, nous allons utiliser une construction g\u00e9om\u00e9trique non triviale, comme fil rouge, pour la construire dans les trois g\u00e9om\u00e9tries, et donc par conjugaison, ici, dans le mod\u00e8le born\u00e9 euclidien. Nous avons retenu le probl\u00e8me de Malfatti.<\/p>\n\n\n

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Il s\u2019agit de construire trois cercles, inscrits chacun dans un angles d\u2019un triangle, et tels qu\u2019ils soient tous<\/strong> les trois deux \u00e0 deux tangents.<\/strong><\/p>\n\n\n


Il existe de nombreuses preuves de constructions analytiques, qui ne nous int\u00e9ressent pas ici. C\u2019\u00e9tait le cas de celle de Malfatti. La premi\u00e8re construction g\u00e9om\u00e9trique est due \u00e0 Steiner, bas\u00e9e sur l\u2019inversion. Nous allons ici faire une lecture \u00ab absolue \u00bb de la construction propos\u00e9e par Jean Claude Carrega dans son ouvrage \u00ab Th\u00e9orie des corps : la r\u00e8gle et le compas \u00bb (Ed. Hermann – 1981). Pour cela, il faut regarder la m\u00e9thode de construction de mani\u00e8re non euclidienne, en tout cas sans cocyclicit\u00e9.<\/p>\n\n<\/div>\n\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Etape 1<\/strong> : On commence par construire le centre \\(I\\) du cercle inscrit du triangle \\(ABC\\), puis les cercles inscrits des trois triangles \\(AIC, BIA\\) et \\(CIB\\). Ci-dessous \u00e0 gauche on a nomm\u00e9 \\(c_A, c_B\\)et \\(c_C\\) leurs centres (\\(c_X\\) pour le cercle oppos\u00e9 au sommet \\(x\\))<\/p>\n\n\n

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Etape 2<\/strong> : les bissectrices du triangle \\(ABC\\) sont donc, par construction, des tangentes communes \u00e0 ces cercles pris deux \u00e0 deux. On s\u2019int\u00e9resse ensuite \u00e0 l\u2019autre tangente commune int\u00e9rieure de ces trois couples de cercles. Ce sont les trois droites roses ci-dessus \u00e0 droite.
Une lecture absolue de leurs constructions consiste \u00e0 remarquer qu\u2019on les obtient par sym\u00e9trie par rapport aux droites des centres (en cyan ci-contre) des bissectrices de \\(ABC\\) : il n\u2019y a pas besoin de construire les cercles, ils n\u2019ont \u00e9t\u00e9 ici qu\u2019un argument euclidien d\u2019illustration dont on peut se passer.
Alors ces trois tangentes communes (des cercles pris 2 \u00e0 deux) sont concourantes en un point \\(Q\\). Ce r\u00e9sultat est absolu, se d\u00e9montrerait par des propri\u00e9t\u00e9s sur les faisceaux (notion d\u00e9finie dans les menus suivants).<\/p>\n\n\n\n

Etape 3 <\/strong>: Chacune de ces droites coupe respectivement les c\u00f4t\u00e9s du triangle en \\(R, S\\) et \\(T\\) : l\u2019autre tangente commune aux cercles de centre \\(c_A\\) et \\(c_B\\) coupe \\((AB)\\) en \\(R\\), etc. (illustration de gauche)<\/p>\n\n\n

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Etape 4<\/strong> : alors les quadrilat\u00e8res \\(ARQT, BSQR\\) et \\(CTQS\\) sont circonscriptibles et les cercles inscrits \u00e0 ces quadrilat\u00e8res sont les cercles de Malfatti.
Autrement dit les \u00ab autres tangentes communes int\u00e9rieures \u00bb (roses) des cercles inscrits initiaux sont des tangentes communes (et axes radicaux dans le cas euclidien) des cercles solutions.
Deux autres r\u00e9sultats sur la construction de Malfatti sont propos\u00e9es dans la figure euclidienne suivante.<\/p>\n\n\n