{"id":4070,"date":"2022-05-27T22:05:38","date_gmt":"2022-05-27T18:05:38","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=4070"},"modified":"2025-12-16T21:17:06","modified_gmt":"2025-12-16T17:17:06","slug":"pse-triangles-trilateres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=4070","title":{"rendered":"PSE &#8211; 2 &#8211; Triangles &#8211; Trilat\u00e8res"},"content":{"rendered":"\n<p>Apr\u00e8s la pr\u00e9sentation de la surface et <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=4011\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=4011\" target=\"_blank\">des premi\u00e8res droites<\/a>, nous continuons l&rsquo;illustration de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique sur cette surface si particuli\u00e8re, car elle recouvre une partie born\u00e9e du plan hyperbolique, sans acc\u00e8s \u00e0 l&rsquo;infini.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Triangles &#8211; Cercles<\/h2>\n\n\n\n<p>Dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, on a vu les m\u00e9dianes, les hauteurs et les m\u00e9diatrices d&rsquo;un triangle. On poursuit par le cercle inscrit d&rsquo;un triangle.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1eym3PDl0Da5Bl9xokCNPX5cNc4hhb5Na\/view?usp=drive_link\" style=\"width:900px;height:580px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>On peut agir sur les sommets \\(A, B, C\\) ou leurs latitudes \\(u_A, u_B, u_C\\), mais aussi le param\u00e8tre \\(p\\) et l&rsquo;orientation de la pseudosph\u00e8re elliptique (\u00e0 un doigt ou au clic-d\u00e9placer de la souris).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1qy5Cr3jd_yUNRX5sDIkhazdn7UAgPBcV\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Cinscrit_Lieu.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir la figure<\/a> dans un nouvel onglet (\u00eatre en mode consultation &#8211; fl\u00e8che gauche d\u00e9sactiv\u00e9e &#8211; pour tourner la surface).<\/p>\n\n\n\n<p>Et bien entendu la construction \u00ab\u00a0fil rouge\u00a0\u00bb de ce site<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1tFosO6njsNDOqmgWCFsT0fRRTiYzC3Wu\/view?usp=drive_link\" style=\"width:880px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>On notera que les cercles peuvent ne pas para\u00eetre tangents dans certaines configurations. En fait, cela d\u00e9pend de la fa\u00e7on dont sont finalis\u00e9es &#8211; par le logiciel &#8211; les ellipses \u00ab\u00a0KB-cercle\u00a0\u00bb : malgr\u00e9 une grande pr\u00e9cision, parfois ce n&rsquo;est pas \u00ab\u00a0fameux\u00a0\u00bb. Une version \u00ab\u00a0lieu de points\u00a0\u00bb a \u00e9t\u00e9 tent\u00e9e, mais trop longue \u00e0 l&rsquo;ouverture<\/em> <em>pour \u00eatre plac\u00e9e ici.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1OGioUzuD4St-3BAAHiHz5SDkcODz9tvl\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Malfati_TR.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir la figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Orthocentres de trilat\u00e8res<\/h2>\n\n\n\n<p>Un trilat\u00e8re est d\u00e9fini par six poign\u00e9es (2 par droites) et donc aussi six latitudes, soit 12 points. On commence simplement par un trilat\u00e8re de points appartenant tous \u00e0 la feuille principale. Voici par exemple ce que cela donne pour les hauteurs<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"616\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE-Hauteurs-Triltere-FP-1024x616.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4085\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE-Hauteurs-Triltere-FP-1024x616.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE-Hauteurs-Triltere-FP-300x180.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE-Hauteurs-Triltere-FP-768x462.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE-Hauteurs-Triltere-FP.jpg 1098w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>On peut <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1C4WXd4NnNwVe2AaX_iBOU67pg_9tOyB7\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Trilatere_FP_Hauteurs.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">lancer cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais pour que la figure soit plus int\u00e9ressante, on choisit de placer chacune des trois droites dans trois feuilles diff\u00e9rentes., de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"989\" height=\"682\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_p025.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4086\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_p025.jpg 989w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_p025-300x207.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_p025-768x530.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 989px) 100vw, 989px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus avec \\(p=0,5\\). Ci-dessous, avec modification manuelle de \\(p=1\/3\\).<br>Alors, le cercle image de la <strong>PSE<\/strong> est recouvert exactement par ces trois feuilles.<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1012\" height=\"530\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel1tiers.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4087\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel1tiers.jpg 1012w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel1tiers-300x157.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel1tiers-768x402.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1012px) 100vw, 1012px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>ou encore, toujours avec une modification manuelle, le cas de  \\(p=0,2\\).<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"993\" height=\"583\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel020.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4088\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel020.jpg 993w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel020-300x176.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_hauteurs_3F_pmanuel020-768x451.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 993px) 100vw, 993px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Lancer cett<a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1gcJk9WXIXSY4sLw4lXoQPkd2TZWkrq01\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Trilatere_3F_Hauteurs.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">e figure des trilat\u00e8res sur 3 feuilles<\/a> dans un nouvel onglet.<br>Comme cette figure est en ligne, on peut modifier \\(xp\\) manuellement, sans vraiment perturber la figure car il suffit de la recharger pour remettre \\(xp\\) \u00e0 son expression initiale \\(x(absP)\\).<br>Pour mettre \\(xp\\) \u00e0 0.2 ou 1\/3 par exemple ,il faut se placer en mode standard (fl\u00e8che de gauche active) et s\u00e9lectionner \u00ab\u00a0calculatrice\u00a0\u00bb en cliquant sur l&rsquo;expression \\(xp\\).<\/p>\n\n\n\n<p>On notera que des droites peuvent para\u00eetre se couper sur la surface alors que ce point d&rsquo;intersection n&rsquo;existe pas car les droites ne sont pas sur la m\u00eame feuille.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Une figure sp\u00e9cifique de la surface PSE<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>En manipulant la figure pr\u00e9c\u00e9dente, on voit bien que l&rsquo;on peut placer l&rsquo;orthocentre dans <strong>KB<\/strong> quasiment sur le centre du cercle, ce qui signifie que l&rsquo;orthocentre du trilat\u00e8re, sur la surface, est son point de singularit\u00e9, soit le point \\(Or\\). On se propose de r\u00e9aliser cette configuration. Si l&rsquo;orthocentre est le point de singularit\u00e9, cela signifie que les trois hauteurs sont des m\u00e9ridiens. Il y a de (tr\u00e8s) nombreuses fa\u00e7ons de construire une telle figure. On se propose de se donner trois points de base dans <strong>KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Voici les choix effectu\u00e9s<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"989\" height=\"668\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4104\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier.jpg 989w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier-300x203.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier-768x519.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 989px) 100vw, 989px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus, d\u00e9tail des choix et vue de face &#8211; Ci-dessous deux vues de dessus, tr\u00e8s limpides<\/em><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"874\" height=\"436\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_dessus.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4106\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_dessus.jpg 874w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_dessus-300x150.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_dessus-768x383.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 874px) 100vw, 874px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Comme la figure est un peu grande (\u00e0 cause du point \\(A_{kb}\\) \u00e0 droite) on propose de <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1MygNTaOyJUaBOCdgHZgD2pJe3VaNWmIA\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Trilatere3F_OrthoSingulier.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">l&rsquo;ouvrir dans un autre onglet.<\/a> On peut agir sur les trois points \\(A_{kb}, hC_{kb}\\) et \\(hA_{kb}\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Commentaires techniques et conseils d&rsquo;utilisation<\/em><br>\u2022 La figure est facile \u00e0 r\u00e9aliser car les <strong>KB<\/strong>-perpendiculaires \u00e0 un diam\u00e8tre sont les perpendiculaires euclidiennes et une <strong>KB<\/strong>-perpendiculaire issue du centre \\(O_{dl}\\) est une perpendiculaire euclidienne.<br>\u2022 Sans entrer dans les d\u00e9tails, le point de base \\(A_{kb}\\) est n\u00e9cessairement un \u00ab\u00a0point flottant\u00a0\u00bb, c&rsquo;est-\u00e0-dire ind\u00e9pendant de la rotation 3D de la <strong>PSE<\/strong>, et il est donc totalement ind\u00e9pendant du centre \\(O_{dl}\\). Si on d\u00e9place \\(O_{dl}\\), il peut \u00eatre n\u00e9cessaire de le d\u00e9placer aussi, sinon \\(hB_{kb}\\) peut ne pas exister.<br>\u2022 De pr\u00e9f\u00e9rence &#8211; quand on modifie \\(xp\\) par exemple &#8211; laisser \\(hC_{kb}\\) dans la feuille verte. \\(hC_{kb}\\) est sur le cercle euclidien de diam\u00e8tre \\([O_{dl} \\, A_{kb}]\\).<br>\u2022 Rappel : on tourne la pseudosph\u00e8re en mode consultation, fl\u00e8che \u00e0 gauche inactive.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut aussi, comme \u00e0 la figure pr\u00e9c\u00e9dente, modifier le param\u00e8tre \\(xp\\) de mani\u00e8re manuelle. En voici deux illustrations<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1002\" height=\"944\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_p_manuel.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4107\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_p_manuel.jpg 1002w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_p_manuel-300x283.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Trilatere_OrthoSingulier_p_manuel-768x724.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1002px) 100vw, 1002px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Pour simplifier la manipulation, voici <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1rYk1qlsfHeGDokijXedp2eLeWJA4OMjE\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">une figure avec xp<\/a><a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Trilatere3F_OrthoSingulier_p_manuel.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"> manuel<\/a> (s&rsquo;ouvre dans un nouvel onglet). Ayant la fl\u00e8che gauche du tableau de bord activ\u00e9e, il suffit s\u00e9lectionner \\(xp\\) et de choisir <strong><em>l&rsquo;outil <\/em><\/strong><em><strong>calculatrice<\/strong><\/em> pour en modifier la valeur num\u00e9rique (on peut m\u00eame mettre la valeur 1\/3). Dans cette figure on a cach\u00e9 le curseur du param\u00e8tre \\(p\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le triangle orthique de ce trilat\u00e8re d&rsquo;orthocentre le point de singularit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On peut poursuivre l&rsquo;illustration de cette situation propre \u00e0 la <strong>PSE<\/strong> en construisant le triangle orthique associ\u00e9. On sait que le centre inscrit du triangle orthique est l&rsquo;orthocentre du triangle. Ici,dans KB, comme le centre du cercle inscrit est le point \\(O_{dl}\\), le <strong>KB<\/strong>-cercle inscrit est un cercle euclidien, l\u00e0 encore, plus simple \u00e0 envoyer sur la <strong>PSE<\/strong>. On a adapt\u00e9 une figure \u00e0 cette situation, avec de nombreuse options. Le cercle inscrit sur la <strong>PSE<\/strong> est petit, il faut une valeur de \\(p\\) assez grande (comme 0,5 ci-dessous) pour que l&rsquo;on voit bien les contacts. Mais on peut les regarder un par un en cachant toutes les autres donn\u00e9es.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"977\" height=\"658\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TRorthique_Ortho_singulier.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4108\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TRorthique_Ortho_singulier.jpg 977w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TRorthique_Ortho_singulier-300x202.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TRorthique_Ortho_singulier-768x517.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 977px) 100vw, 977px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Ci-dessus les options de la nouvelle figure. On voit aussi que pour p=0,5 les c\u00f4t\u00e9s du triangle orthique sont monofeuille. <\/em><br><em>Ci-dessous, vue de dessus, pour p=0,25 les c\u00f4t\u00e9s sont tous multifeuilles<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"851\" height=\"425\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4109\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier.jpg 851w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier-300x150.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier-768x384.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 851px) 100vw, 851px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1002\" height=\"484\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier_Face_p025.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4110\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier_Face_p025.jpg 1002w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier_Face_p025-300x145.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/TR-orthique-Cas-Singulier_Face_p025-768x371.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1002px) 100vw, 1002px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>\u00c9tat de la figure suivante \u00e0 l&rsquo;ouverture<\/em>. <em>On agit toujours<\/em> <em>sur \\(A_{kb}, hC_{kb}\\)<\/em> <em>et \\(hA_{kb}\\)<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1vlFaMRImPGCcSsYJENLXSk6lb4Uk8Rbn\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Cercle inscrit d&rsquo;un trilat\u00e8re tri-feuille<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Par construction, le cercle inscrit est multifeuille, comme le cercle image de la PSE. Par exemple pour \\(p=0,25\\), le cercle est sur 4 feuilles, ce qui produit de jolies figures.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1018\" height=\"656\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Inscrit_Trilatere_Clieu.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4090\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Inscrit_Trilatere_Clieu.jpg 1018w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Inscrit_Trilatere_Clieu-300x193.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_Inscrit_Trilatere_Clieu-768x495.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1018px) 100vw, 1018px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans la vue de dessus, on voit bien le contact du cercle avec chaque droite, sur des feuilles diff\u00e9rentes<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1008\" height=\"513\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p025_dessus.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4091\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p025_dessus.jpg 1008w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p025_dessus-300x153.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p025_dessus-768x391.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1008px) 100vw, 1008px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Et, comme pour les hauteurs, on peut choisir de modifier manuellement les valeurs de \\(p\\) pour des cas particuliers. La modification manuelle n&rsquo;est disponible que dans la figure ouverte hors du site (en mode standard)<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"984\" height=\"1024\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p033et020-984x1024.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4093\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p033et020-984x1024.jpg 984w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p033et020-288x300.jpg 288w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p033et020-768x799.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/CercleInscrit_Trilatere_p033et020.jpg 1009w\" sizes=\"(max-width: 984px) 100vw, 984px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Manipuler la figure<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1i2JRkypomJ1F_ZKQVU2yijesojjLlDRo\/view?usp=drive_link\" style=\"width:880px;height:560px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/18jT7L4_ySED5uhLSSGygAm0bZEBMb8e1\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_Trilateres_3F_Cinscrit.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet (n\u00e9cessaire pour modifier le param\u00e8tre \\(p\\) manuellement)<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Le pentagone orthogonal<\/h2>\n\n\n\n<p>La construction est classique, elle a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9e sur les deux autres surfaces pseudosph\u00e8rique &#8211; d&rsquo;abord <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=2457\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?p=2457\" target=\"_blank\">en d\u00e9tail sur la pseudosph\u00e8re<\/a>, puis <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=2651\" data-type=\"URL\" data-id=\"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=2651\" target=\"_blank\">plus rapidement<\/a> sur la <strong>PSH<\/strong>. On rappelle qu&rsquo;il n&rsquo;y a qu&rsquo;un rayon de cercle, celui du pavage de <strong>P54<\/strong>, mais selon la position du centre, ce cercle circonscrit au pentagone peut \u00eatre sur une seule ou sur plusieurs feuilles de la <strong>PSE<\/strong>. Par exemple ci-dessous, deux illustration pour \\(p=0,25\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"1022\" height=\"521\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho1p025.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4075\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho1p025.jpg 1022w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho1p025-300x153.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho1p025-768x392.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1022px) 100vw, 1022px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Ci-dessus avec une latitude plus grande (en valeur absolue) pour que le cercle circonscrit s&rsquo;approche du bord de la PSE : ce cercle est monofeuille &#8211; car il n&rsquo;est pas crois\u00e9.<br>Ci-dessous, avec la m\u00eame PSE &#8211; m\u00eame valeur de \\(p\\)  &#8211; mais une latitude diff\u00e9rente. Le cercle est plus loin de la fronti\u00e8re de la surface, et le cercle est sur deux feuilles &#8211; crois\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"544\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho2p025-1024x544.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4076\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho2p025-1024x544.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho2p025-300x159.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho2p025-768x408.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho2p025.jpg 1037w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Par contre, pour \\(p=0,5\\), il n&rsquo;est pas possible d&rsquo;avoir un cercle de circonscrit sur une seule feuille.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"979\" height=\"510\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho3p05face.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4077\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho3p05face.jpg 979w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho3p05face-300x156.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho3p05face-768x400.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 979px) 100vw, 979px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Vue de face et de dessus &#8211; dans la m\u00eame configuration &#8211; pour \\(p=0,5\\)<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"970\" height=\"524\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho4p05dessus.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4078\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho4p05dessus.jpg 970w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho4p05dessus-300x162.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PSE_PentaOrtho4p05dessus-768x415.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 970px) 100vw, 970px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1WmufSNIKwxVQ2IvYDfCi5guExkEdhYl6\/view?usp=drive_link\" style=\"width:950px;height:530px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut agir \u00e0 la souris sur les points  \\(A, u_A\\) sur la <strong>PSE<\/strong> ainsi que sur  \\(K\\) dans <strong>KB<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1sr0X8NDAi3lKy323gEKJP723CKU-dXPa\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_PentaOrto_Clieu.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Pentagone orthogonal centr\u00e9 au  point de singularit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Puisque la projection privil\u00e9gie le centre du disque de Beltrami, on peut s&rsquo;amuser \u00e0 construire le pentagone orthogonal associ\u00e9.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"364\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PentaOrthoCentrePetit-1024x364.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4081\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PentaOrthoCentrePetit-1024x364.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PentaOrthoCentrePetit-300x107.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PentaOrthoCentrePetit-768x273.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/PentaOrthoCentrePetit.jpg 1391w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1LGDpghuk5N-bCTFgh9rpoQoDkduEdDsO\/view?usp=drive_link\n\" style=\"width:880px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1iTACo78STYCkbXzfndUtt7oEH7wpFfgC\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/PSE\/PSE_PentaOrtho_Centre.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Apr\u00e8s la pr\u00e9sentation de la surface et des premi\u00e8res droites, nous continuons l&rsquo;illustration de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique sur cette surface si particuli\u00e8re, car elle recouvre une partie born\u00e9e du plan hyperbolique, sans acc\u00e8s \u00e0 l&rsquo;infini. 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