{"id":4011,"date":"2022-05-21T21:57:32","date_gmt":"2022-05-21T17:57:32","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=4011"},"modified":"2025-12-16T19:29:32","modified_gmt":"2025-12-16T15:29:32","slug":"pse-pseudosphere-elliptique-nappe-conjugaison-et-droites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=4011","title":{"rendered":"PSE – Pseudosph\u00e8re elliptique – Nappe conjugaison et droites"},"content":{"rendered":"\n

Apr\u00e8s la pseudosph\u00e8re usuelle, qui permet d’atteindre un seul point \u00e0 l’infini du plan hyperbolique – on peut alors dire qu’elle est \u00ab\u00a0parabolique\u00a0\u00bb – puis la version hyperbolique, qui, elle, permet d’atteindre deux point \u00e0 l’infini, on aborde la troisi\u00e8me surface pseudosph\u00e9rique de r\u00e9volution, celle de type elliptique qui n’a aucun point \u00e0 l’infini. Il en r\u00e9sulte que l’on va rencontrer une situation diff\u00e9rente des deux autres surface, vis \u00e0 vis de l’enroulement de la surface sur elle-m\u00eame et de la bijection cr\u00e9e entre la surface et son image dans KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

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Approximation de la surface<\/h2>\n\n\n\n

On reprend la m\u00eame d\u00e9marche que pour la PSH<\/strong>. En pratique, l\u00e0 encore, le seul travail qui demande un peu d’attention est dans l’approximation de la nappe par une double interpolation de Lagrange. M\u00eame si on obtient un peu plus rapidement la m\u00eame pr\u00e9cision de l’approximation que dans le cas de la PSH<\/strong>, compte tenu de la forme de la nappe, on a conserv\u00e9 le m\u00eame type de polyn\u00f4me pour l’approximation : polyn\u00f4me de degr\u00e9 4 en le param\u00e8tre \\(p\\) et de degr\u00e9 5 en fonction de \\(u\\). <\/p>\n\n\n\n

La description de la nappe de la surface <\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9 le param\u00e8tre \\(p\\), r\u00e9el positif, la courbe de la surface elliptique dans le plan frontal – la g\u00e9n\u00e9ratrice – est r\u00e9gie par la relation :<\/p>\n\n\n\n

\\(\\left\\lbrace \\begin{array}{1} x(u) = p \\, sh(u)\\\\ z(u) = \\displaystyle \\int_0^u \\sqrt{1-p^2ch^2(t)} \\,dt\\end{array} \\right.\\) avec \\(-sh^{-1}\\displaystyle \\left( \\frac{\\sqrt{1-p^2}}{p} \\right) \\le u \\le sh^{-1}\\displaystyle \\left( \\frac{\\sqrt{1-p^2}}{p} \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Le polygone obtenu pour la g\u00e9n\u00e9ratrice<\/strong><\/p>\n\n\n\n

g(u)=(-3.77301 p4<\/sup>+4.36908 p3<\/sup>-1.89728x p2<\/sup>+0.276375 p-0.015376) u5<\/sup>
+ (-0.515445 p4<\/sup>+0.622785 p3<\/sup>-0.457166 p2<\/sup>+0.120633 p+0.00842376) u3<\/sup>
+ (-0.658574 p4<\/sup>+0.<\/em>722747 p3<\/sup>-0.897874 p2<\/sup>+0.13101 p+0.961048) u<\/p>\n\n\n\n

ce que l’on \u00e9crira, comme pour la PSH<\/strong>, sous la forme \\(g(u)= \\left(Coef_{p5}u^4+Coef_{p3}u^2+Coef_{p1} \\right)u\\) o\u00f9 les coefficients ne d\u00e9pendent que de \\(p\\) et ne sont recalcul\u00e9s – une seule fois pour toute la figure – que si on modifi\u00e9 le param\u00e8tre.<\/p>\n\n\n\n

La surface a une forme de c\u00f4ne, en particulier elle est non r\u00e9guli\u00e8re \u00e0 l\u2019origine. Comme pour la pseudosph\u00e8re, pour ces questions de singularit\u00e9, on s\u2019int\u00e9resse \u00e0 un seul demi-c\u00f4ne. Traditionnellement, on retient celui du bas.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche, la surface enti\u00e8re, \u00e0 droite la partie retenue pour la repr\u00e9sentation des figures sur la PSE<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

On ne revient pas les constructions interm\u00e9diaires, ce sont les m\u00eames, aux adaptations pr\u00e8s, que pour la PSH<\/strong>. On retrouve six m\u00e9ridiens, dont deux \u00ab\u00a0fixes\u00a0\u00bb (en gris clair, les lieux des deux points rouges) qui correspondent au sommet de l’ellipse repr\u00e9sentant le cercle en 3D. La limite de la feuille principale a \u00e9t\u00e9 fix\u00e9e en longitude nulle pour la partie sup\u00e9rieure de la surface (m\u00e9ridien vert, sur l’axe des abscisse) qui devient finalement de longitude \\(-\\pi\\) pour la partie inf\u00e9rieure. Donc la feuille principale de la PSE<\/strong> sera sur l’amplitude longitudinale de \\(]-\\pi,\\, \\pi]\\).<\/p>\n\n\n\n

Dans l’illustration de droite, on a laiss\u00e9 appara\u00eetre les points \u00ab\u00a0quart\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0moiti\u00e9\u00a0\u00bb. Le point \\(p\\) est en effet tr\u00e8s l\u00e9g\u00e8rement aimant\u00e9 (2 pixels) par ces deux points pour que le param\u00e8tre prenne les valeurs exactes de 0,25 et 0,50 pour une raison que l’on voit tout de suite \u00e0 la prochaine section.<\/p>\n\n\n\n

Conjugaison avec KB – Premi\u00e8res droites<\/h2>\n\n\n\n

En dehors des m\u00e9ridiens, toujours d’\u00e9quation \\(\\theta=Cst\\), les autres g\u00e9od\u00e9siques de la PSE<\/strong> sont d\u00e9termin\u00e9es (avec \\(k\\) et \\(c\\) deux constantes) par la relation : \\(\\theta =\\displaystyle \\frac{1}{p}tan^{-1}\\left(\\displaystyle \\frac{c \\, ch(u)}{\\sqrt{p^2sh^2(u)-c^2}}\\right)+k\\).<\/p>\n\n\n\n

Comme pour la PSH<\/strong>, une construction intrins\u00e8que \u00e0 partir de deux points \\(A(u_A, \\theta_A)\\) et \\(B(u_B, \\theta_B)\\) n’est pas possible, mais la correspondance entre la PSE<\/strong> et le \u00ab\u00a0disque limite\u00a0\u00bb de Beltrami (le mod\u00e8le KB<\/strong>) est tr\u00e8s simple \u00e0 mettre en oeuvre… et c’est pour cela que l’on peut faire ces figures.
Ainsi, le passage de la PSE<\/strong> \\((u, \\theta)\\) vers KB<\/strong> \\((x, y)\\) est donn\u00e9 par \\(\\left\\lbrace \\begin{array}{1} x= th(u) \\, cos(p \\theta)\\\\ y=th(u) \\, sin(p \\theta)\\end{array} \\right.\\).<\/p>\n\n\n\n

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Ces informations proviennent toujours de : Modern Differential Geometry of curves and surfaces with Mathematica \u2013 Alfred Gray \u2013 1997 (2\u00b0 Ed.). <\/p>\nChapitre 19 : Surfaces of constant gaussian curvature.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

On peut d\u00e9j\u00e0 repr\u00e9senter la feuille principale de la PSE<\/strong> par cette projection centr\u00e9e \u00e0 l’origine du cercle limite de Beltrami. Comme \\(|th \\, u|<1 \\) on voit que l’image de la PSE<\/strong> est born\u00e9e : aucun point \u00e0 l’infini. L’image de la PSE<\/strong> est un cercle hyperbolique centr\u00e9 en l’origine, et donc un cercle euclidien, de rayon \\(th(u_{max})\\). Et comme le centre du cercle du mod\u00e8le de Klein-Beltrami est un point (le seul) en lequel les angles sont conformes, les diff\u00e9rentes feuilles de la PSE<\/strong> vont \u00eatre de la m\u00eame taille que la feuille principale dans le mod\u00e8le KB<\/strong>, chacune recouvrant \\(2p\\pi\\). Il en r\u00e9sulte une cons\u00e9quence qui diff\u00e9rencie significativement ce mod\u00e8le pseudosph\u00e9rique des des deux autres : contrairement \u00e0 la PS<\/strong> ou la PSH<\/strong>, l’enroulement infini sur la PSE<\/strong> n’est plus bijectif dans KB<\/strong> : quelques feuilles suffisent \u00e0 recouvrir la partie du plan hyperbolique image de la surface. Et m\u00eame, rapidement, les feuilles de la PSE<\/strong> se chevauchent dans la projection sur KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

En bleu la feuille principale \\((]-\\pi,\\, \\pi])\\), en vert la feuille suivante \\((]\\pi,\\, 3\\pi])\\), \u00a3en orange, la feuille pr\u00e9c\u00e9dente \\((]-3\\pi,\\, -\\pi])\\). Pour \\(p=0,25\\), l’image de la PSE est recouverte par 4 feuilles.<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Pour p=0,50, le cercle image de la PSE<\/strong> est recouvert avec seulement deux feuilles.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Construction<\/strong> d’une droite sur la PSE<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Tout d’abord on reprend les premi\u00e8res macros de placement d’un point sur la PSE<\/strong> elle-m\u00eame : le cercle 3D parall\u00e8le \u00e0 l’\u00e9quateur de latitude \\(u_A\\) \u00e9tait un horicycle pour la PS<\/strong>, une \u00e9quidistante pour la PSH<\/strong>, est un simple cercle – hyperbolique mais aussi euclidien – pour la PSE<\/strong>. Ensuite la construction d’un point projet\u00e9 sur KB<\/strong> se traite en une seule ligne, comme dans le cas de la surface hyperbolique. Pour le retour sur la PSE<\/strong>, on reprend la m\u00eame d\u00e9marche que pour la PSH<\/strong> : depuis deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la surface, et leurs images \\(A_{kb}\\) et \\(B_{kb}\\) dans KB<\/strong>, on prend un point \\(M_{kb}\\) de la droite \\((A_{kb}B_{kb})\\). On calcule ses coordonn\u00e9es beltramiennes \\((u, \\theta)\\) – c’est l’expression \\(CdM\\) – qui permet de placer le point \\(M\\). Et, comme avec la PSH<\/a>, on en d\u00e9duit deux macros, une qui renvoie simplement le point, car on peut avoir besoin d’un seul point – milieux, pieds des hauteurs, point de concours, etc – ou, si on veut la droite, on fait le lieu du point \\(M\\), et la macro qui va avec.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Construction d’une droite multifeuille sur la pseudosph\u00e8re elliptiqu<\/em>e<\/p>\n\n\n\n

Quelques d\u00e9tails sur la construction<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 Pour avoir une droite multifeuille qui fonctionne pour tout \\(p\\), il suffit de construire l’intersection de la droite KB<\/strong> avec l’image de la PSE, soit le cercle (ici cach\u00e9) de centre \\(Odl\\) passant par \\(S_1^+\\).
\u2022 Pour plus de lisibilit\u00e9 des figures, nous allons faire, au prochain paragraphe, une macro \u00ab\u00a0droite de la feuille principale\u00a0\u00bb.
\u2022 Les m\u00e9ridiens ne sont pas trait\u00e9s par la macro associ\u00e9e.
\u2022 Le seul point sur lequel il faut prendre quelques pr\u00e9cautions est dans le calcul de la longitude de \\(M\\) (longM<\/strong> dans la figure) pour qu’elle puisse \u00eatre multifeuille, justement. A priori, longM<\/strong> a pour expression \\(\\displaystyle \\frac{1}{xp} \\; tan^{-1} \\left( \\frac{y(Mkb)-y(Odl)}{x(Mkb)-x(Odl)} \\right)\\), mais \\(tan^{-1}\\) ne renvoie un angle que sur \\(\\displaystyle ]-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}[\\). En pratique, le r\u00e9sultat n’est correct que si \\(x(M_{kb})<x(O_{dl})\\). Pour avoir un r\u00e9sultat multifeuille, il faut ajouter ou retrancher \\(\\pi\\) selon la position de la droite \\((A_{kb}B_{kb})\\) par rapport au centre du cercle. Cette modification \u00ab\u00a0bi-bool\u00e9enne\u00a0\u00bb convient pour toutes les situations (\u00e9viter les m\u00e9ridiens bien entendu):<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Exemple d’une vue de dessus, avec une droite sur 4 feuilles (longitude de \\(M\\) sup\u00e9rieure \u00e0 4\u03c0)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Manipulation de la figure<\/strong> associ\u00e9e<\/p>\n\n\n