{"id":398,"date":"2021-10-18T19:14:01","date_gmt":"2021-10-18T15:14:01","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=398"},"modified":"2025-12-13T14:59:22","modified_gmt":"2025-12-13T10:59:22","slug":"de-voir-linfini-de-pres","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=398","title":{"rendered":"DE &#8211; Voir l&rsquo;infini de pr\u00e8s"},"content":{"rendered":"<div class=\"wp-block-image is-resized\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"913\" height=\"905\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TroisPerpDE.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-400\" style=\"width:347px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TroisPerpDE.png 913w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TroisPerpDE-300x297.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TroisPerpDE-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/TroisPerpDE-768x761.png 768w\" sizes=\"(max-width: 913px) 100vw, 913px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Depuis que l\u2019on n\u2019enseigne plus la g\u00e9om\u00e9trie projective, ce n\u2019est pas courant de voir l\u2019infini de pr\u00e8s. Travailler dans un mod\u00e8le born\u00e9 &#8211; ici de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne &#8211; est l\u2019occasion de r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 ce que peut apporter de travailler dans ces mod\u00e8les. C\u2019est aussi l\u2019occasion d\u2019apprendre \u00e0 ne pas d\u00e9duire des propri\u00e9t\u00e9s du mod\u00e8le des g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie \u00e9tudi\u00e9e. Voyons cela sur un exemple.<\/p>\n\n\n\n<p>Tout d\u2019abord remarquons que, dans le mod\u00e8le euclidien born\u00e9, toutes les perpendiculaires \u00e0 une droite ont les  deux m\u00eames points \u00e0 l\u2019infini : les points de la direction \u00e0 l\u2019infini des perpendiculaires \u00e0 la droite.<\/p>\n\n\n\n<p>Une cons\u00e9quence int\u00e9ressante est dans la construction des paraboles dans ce mod\u00e8le, qui donne un \u00e9claircissement int\u00e9ressant \u00e0 cette propri\u00e9t\u00e9 projective bien connue : <strong>la parabole est une conique tangente \u00e0 la droite de l\u2019infini<\/strong>. C&rsquo;est ce que l&rsquo;on se propose de faire dans cette page.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Droite de Steiner et parabole tritangente \u00e0 un triangle<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Faisons la construction dans une situation dynamique : soit un triangle \\(ABC\\). Alors les sym\u00e9triques d\u2019un point \\(M\\) par rapport aux trois c\u00f4t\u00e9s du triangle sont align\u00e9s si et seulement si \\(M\\) appartient au cercle circonscrit \u00e0 \\(ABC\\).<br>Par construction, la parabole de foyer ce point \\(M\\) du cercle et de directrice cette droite dite <strong>droite de Steiner associ\u00e9e \u00e0 M <\/strong>est<strong> tritangente <\/strong>au triangle.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1wGvM4sH3RUZyB8hWxq0TewBhjuqveHOt\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"903\" height=\"895\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/IllustrParabDE1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-408\" style=\"width:407px;height:402px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/IllustrParabDE1.png 903w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/IllustrParabDE1-300x297.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/IllustrParabDE1-150x150.png 150w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/IllustrParabDE1-768x761.png 768w\" sizes=\"(max-width: 903px) 100vw, 903px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Voyons cette construction dans le cas du mod\u00e8le born\u00e9. Pour construire la parabole, on se donne un point \\(H\\) sur la directrice, la droite de Steiner associ\u00e9e \u00e0 \\(F\\) (droite verte ci-contre). Le point \\(P\\) de la parabole est l\u2019intersection de la perpendiculaire en \\(H\\) (rose) \u00e0 la directrice et la m\u00e9diatrice (marron) de \\(H\\) et \\(F\\), le foyer de la parabole sur le cercle circonscrit \u00e0 \\(ABC\\).<br><\/p>\n\n\n\n<p>Alors le lieu de \\(P\\) est la parabole pr\u00e9c\u00e9dente, mais ici elle est tangente au cercle horizon ce qui exprime le r\u00e9sultat de la classification projective des coniques : les hyperboles coupent la droite de l\u2019infini en deux points, la parabole n\u2019a qu\u2019un point de contact avec la droite de l\u2019infini, et lui est donc tangente.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Dans la figure suivante<\/strong> vous pouvez d\u2019abord manipuler la figure illustr\u00e9e ci-contre, d\u00e9placer \\(H\\), pour voir \\(P\\) aller vers l\u2019infini sur la parabole tangente \u00e0 l\u2019horizon, d\u00e9placer \\(F\\) aussi.<br>Puis vous pouvez cocher la case \u00ab\u00a0Pr\u00e9parer l&rsquo;animation\u00a0\u00bb qui cache les \u00e9l\u00e9ments non essentiels, pour, ensuite, animer le point \\(F\\). Pour cela, activer le mode standard (s\u00e9lectionner la fl\u00e8che gauche du tableau de bord), puis, faire un clic droit (souris) ou touch\u00e9 prolong\u00e9 (tablette) sur le point \\(F\\), et choisir le ressort (icone de droite ci-dessous). Y mettre une vitesse de 3% seulement cela suffit. Appr\u00e9cier le r\u00e9sultat.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"434\" height=\"248\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/RessortSurFoyer.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-409\" style=\"width:165px;height:94px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/RessortSurFoyer.png 434w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/RessortSurFoyer-300x171.png 300w\" sizes=\"(max-width: 434px) 100vw, 434px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1pNO-D7xlWuFMn4nwSKgeeOYBsvUG_4qM\/view?usp=drive_linkp\" style=\"width:800px;height:650px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut d\u00e9placer tout d&rsquo;abord le point \\(H\\). <\/em><br><em>Ensuite, agir sur le point \\(F\\) ou r\u00e9aliser l&rsquo;animation propos\u00e9e ci-dessus.<\/em><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Point de Miquel d\u2019un quadrilat\u00e8re complet et<\/strong><br><strong>parabole quadritangente associ\u00e9e<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Quand on applique le th\u00e9or\u00e8me du Pivot \u00e0 un triangle form\u00e9 de trois droites, un cas particulier int\u00e9ressant est celui o\u00f9 les point \\(M, N\\) et \\(P\\) sont align\u00e9s. L\u2019ensemble des trois droites d\u2019un triangle et une droite qui le coupe comme la droite \\((MN)\\) s\u2019appelle un <strong>quadrilat\u00e8re complet<\/strong>.<br>Alors le point d\u2019intersection (pivot) des trois cercles est un point du cercle circonscrit. Il s\u2019appelle <strong>le point de Miquel<\/strong>. Et la parabole de foyer ce point et de directrice sa droite de Steiner est non seulement tritangente au triangle mais aussi \u00e0 la droite \\((MN)\\), elle est donc <strong>quadritangente au quadrilat\u00e8re complet<\/strong>.<br>Dans ces illustrations, le cercle circonscrit est bleu, les cercles du pivot sont violets. On voit que la parabole est bien tangente \u00e0 la droite \\((MN)\\). Elle est bien entendu toujours tangente \u00e0 la droite de l\u2019infini.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"502\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2-1024x502.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-414\" style=\"width:649px;height:317px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2-1024x502.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2-300x147.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2-768x377.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2-1536x753.jpg 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/MiquelDEcolor1et2.jpg 1664w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>A<\/em> <em>gauche on a plac\u00e9 le point \\(N\\) en dehors du segment. On agit sur \\(M\\) et \\(N\\), le point \\(P\\) est construit.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em><br><strong>Remarque sur la figure suivante<\/strong> : Quand on d\u00e9place l\u2019un des points \\(A, B\\) ou \\(C\\) les d\u00e9placements de \\(M\\) et \\(N\\) ne sont pas \u00abbarycentrique dans le mod\u00e8le born\u00e9\u00bb. Il faut donc ajuster \\(M\\) et \\(N\\) qui vont \u00e0 l\u2019infini, ce qui perturbe la figure.<\/em> <em>En pratique, la figure n\u2019est pas tr\u00e8s stable quand une des droites change d\u2019orientation en particulier. Il faut remettre \\(M\\) et \\(N\\) \u00e0 distance born\u00e9e. Penser \u00e0 \u00e9viter l\u2019artefact de la directrice (non trac\u00e9e ici) proche d\u2019un diam\u00e8tre.<\/em><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1nFhELwuF-j_XH7gBz91oEoLmGbVYuRlX\/view?usp=drive_link\" style=\"width:740px;height:650px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Depuis que l\u2019on n\u2019enseigne plus la g\u00e9om\u00e9trie projective, ce n\u2019est pas courant de voir l\u2019infini de pr\u00e8s. Travailler dans un mod\u00e8le born\u00e9 &#8211; ici de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne &#8211; est l\u2019occasion de r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 ce que peut apporter de travailler dans ces mod\u00e8les. 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