{"id":332,"date":"2021-10-18T11:39:05","date_gmt":"2021-10-18T07:39:05","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=332"},"modified":"2025-12-14T09:17:43","modified_gmt":"2025-12-14T05:17:43","slug":"modele-hyperbolique-fini","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=332","title":{"rendered":"STS(13) – Mod\u00e8le hyperbolique fini"},"content":{"rendered":"\n

Les syst\u00e8mes de Steiner<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

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M\u00eame si nous n\u2019allons regarder qu\u2019un cas tr\u00e8s particulier des syst\u00e8mes de Steiner<\/a>, pla\u00e7ons notre cas particulier dans son contexte g\u00e9n\u00e9ral. On appelle syst\u00e8me de Steiner <\/strong>\\(S(p, k,n)\\) <\/strong>un ensemble de \\(n\\) <\/strong>\u00e9l\u00e9ments et un ensemble \\(T\\), de sous ensembles de \\(S\\), \u00e0 \\(k\\) <\/strong>\u00e9l\u00e9ments appel\u00e9s blocs <\/strong>tels que tout sous-ensemble de \\(S\\) de \\(p\\) <\/strong>\u00e9l\u00e9ments est contenu dans un et un seul bloc<\/strong>. Les syst\u00e8mes de Steiner sont li\u00e9s, entre autres, aux premiers groupes sporadiques, les groupes de Mathieu.<\/p>\n\n\n\n

Pour ce qui nous concerne ici, on ne s\u2019int\u00e9resse qu\u2019au cas p=2<\/strong>. En effet, dans ce cas, cette d\u00e9finition correspond \u00e0 l\u2019axiome d\u2019incidence de la g\u00e9om\u00e9trie pour une g\u00e9om\u00e9trie finie o\u00f9 les blocs sont les droites. Par exemple, dans un plan projectif fini d\u2019ordre \\(k\\), chaque droite contient \\(k+1\\) <\/em>points et par chaque point il passe aussi \\(k+1\\) droites. On montre alors que c\u2019est un \\(S(2,k+1,k^2+k+1)\\). <\/p>\n\n\n\n

En enlevant un bloc et tous les points de ce bloc \u00e0 \\(S\\), on enl\u00e8ve en fait la \u00abdroite de l\u2019infini\u00bb. Il reste alors un plan affine d\u2019ordre \\(k\\). Ce plan comprend \\(k^2\\) points, \\(k^2+k\\) <\/em>droites, chaque droite comporte k <\/em>points. C\u2019est un \\(S(2,k,k^2)\\).<\/p>\n\n\n\n

Ainsi le plus petit plan projectif est \\(S(2,3,7)\\) associ\u00e9 au corps \\(\\displaystyle \\frac{\\mathbb{Z}}{2\\mathbb{Z}}\\) <\/em>et \\(S(2,3,9)\\) est le plan affine associ\u00e9 \u00e0 \\(\\displaystyle \\frac{\\mathbb{Z}}{3\\mathbb{Z}}\\). En effet on montre qu\u2019il n\u2019existe qu\u2019un seul \\(S(2,3,7)\\) et un seul \\(S(2,3,9)\\).<\/p>\n\n\n\n

Les syst\u00e8mes de triplets de Steiner<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans cette page, on s\u2019int\u00e9resse aux syst\u00e8mes de triplets de Steiner, c\u2019est-\u00e0-dire les \\(S(2,3,n)\\) que l\u2019on note STS(n). On sait alors (Kirkman – 1847) qu\u2019un syst\u00e8me \\(S(2,3,n)\\) existe si et seulement n est congru \u00e0 1 ou \u00e0 3 modulo 6. Il existe donc ainsi, outre les \\(S(2,3,7)\\), \\(S(2,3,9)\\), des syst\u00e8mes de triplets de Steiner \\(S(2,3,13)\\) et S(2,3,15)<\/a> pour les plus petites valeurs de \\(n\\). <\/p>\n\n\n\n

Le nombre de blocs de \\(S(2,3,n)\\) est \\(\\displaystyle \\frac{n(n-1)}{6}\\). On a, pour les deux premiers syst\u00e8mes non triviaux (car S(2,3,3) = {123})<\/p>\n\n\n\n

\\(S(2,3,7)\\) = {123, 137, 156, 235, 267, 346, 457}. C\u2019est une configuration 73<\/sup>, donc le plan projectif \u00e0 7 points et 7 droites .
\\(S(2,3,9)\\) = {123, 147, 159, 168, 249, 258, 267, 348, 357, 369, 456, 789} : plan affine de 9 points et 12 droites.<\/p>\n\n\n\n

Le plan affine d\u2019ordre 3 dans un mod\u00e8le octogonal de STS(9)<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Les deux mod\u00e8les propos\u00e9s dans la suite de cette page, pour STS(9) et STS(13) proviennent
de l’ouvrage de Burkard Poster <\/strong>\u00ab A geometrical picture book \u00bb – Springer – 1998<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

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Le mod\u00e8le ci-contre de triplets de Steiner est repr\u00e9sent\u00e9 par les huit sommets d\u2019un octogone r\u00e9gulier et de son centre<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

Les droites sont les quatre diam\u00e8tres et huit triangles, isom\u00e9triques, en rotation d\u2019un g\u00e9n\u00e9rateur (bleu ci-contre). <\/p>\n\n\n\n

L’illustration de gauche montre un faisceau de trois droites parall\u00e8les. Celle de droite, le faisceau des quatre droites issues d\u2019un point.<\/p>\n\n\n\n

Deux exemples des m\u00e9dianes d\u2019un triangle dans ce mod\u00e8le<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Soient \\(ABC\\) un triangle du plan affine. On note \\(I, J, K\\) les milieux des c\u00f4t\u00e9s, c\u2019est-\u00e0-dire le troisi\u00e8me point de chaque droite du triangle, soit respectivement, dans l’illustration de gauche, les triangles euclidiens \\(ABI, BCJ, CAK\\). <\/p>\n\n\n\n

Les m\u00e9dianes (toujours \u00e0 gauche) sont les droites repr\u00e9sent\u00e9es par le diam\u00e8tre \\(CWI\\), et les deux triangles \\(AUJ\\) et \\(BKV\\). Sur l’illustration de droite, le c\u00f4t\u00e9 \\([AB]\\) est un segment euclidien (diam\u00e8tre), la m\u00e9diane \\((CI)\\) est encore un segment. Les deux autres m\u00e9dianes sont les triangles \\(AJU\\) et \\(BVK\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans ces deux illustrations les m\u00e9dianes du triangle \\(ABC\\) sont trois droites parall\u00e8les comme <\/em>
on l’a montr\u00e9 (page pr\u00e9c\u00e9dente)<\/em> dans le cas g\u00e9n\u00e9ral des plans affines d’ordre 3.<\/p>\n\n\n\n

Aspect euclidien du plan affine d\u2019ordre 3 dans ce mod\u00e8le<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On l\u2019a dit, tous les triangles sont rectangles, et les cercles, ayant 4 points, sont aussi des carr\u00e9s. Reprenons, sur cette question des carr\u00e9s, l\u2019exemple d\u00e9j\u00e0 d\u00e9velopp\u00e9 dans la page pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n

Comme le mod\u00e8le euclidien born\u00e9, on voit, dans un premier temps, que ce mod\u00e8le est \u00abconforme au centre\u00bb. En effet ci-dessous, sur l’illustration de gauche, le carr\u00e9 ABCD de centre O <\/strong>est repr\u00e9sent\u00e9 par un carr\u00e9 avec les angles droits. On remarque que le carr\u00e9 des milieux IJKL est aussi de m\u00eame centre<\/strong>, et est aussi dans une repr\u00e9sentation conforme.<\/p>\n\n\n\n

Les trois droites (AB), (CD) et (LJ) sont parall\u00e8les et ont donc une perpendiculaire commune, \u00e0 savoir la droite (IK)<\/strong>. En effet, par exemple, \\((IO)\\) est une m\u00e9diatrice des deux triangles \\(ABC\\) et de \\(CDA\\).<\/p>\n\n\n\n

Par ailleurs, comme tout point d\u2019une droite est milieu des deux autres, on peut inverser les r\u00f4les de \\(I\\) et \\(A\\) dans l\u2019illustration de gauche : <\/p>\n\n\n

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\"\"
Illustration de l’orthogonalit\u00e9 dans le mod\u00e8le STS(9) du plan euclidien d’ordre 3<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

C\u2019est ce que l\u2019on a fait dans l’illustration de droite, o\u00f9 \\(ABCD\\) est encore toujours un carr\u00e9 de centre \\(O\\), ainsi que le quadrilat\u00e8re des milieux \\(IJKL\\). La repr\u00e9sentation est toujours conforme, tous les angles en chaque sommet sont droits dans le mod\u00e8le, tout comme leurs diagonales en \\(O\\), m\u00eame si ces carr\u00e9s sont d\u00e9sormais repr\u00e9sent\u00e9s par des rectangles.<\/p>\n\n\n\n

Par contre \\(AKCI\\) \u00e0 gauche n’est pas un carr\u00e9 , mais en est un \u00e0 droite. \\(ALJC\\) est un rectangle non carr\u00e9 dans les deux illustrations, tout comme \\(DKBI\\).<\/p>\n\n\n\n

La figure suivante propose une version dynamique du plan affine dans les trois mod\u00e8les, celui-ci, et les deux pr\u00e9sent\u00e9s dans dans la page pr\u00e9c\u00e9dente du menu, avec les faisceaux des droites parall\u00e8les et des droites concourantes.<\/em><\/p>\n\n\n