{"id":330,"date":"2021-10-18T11:38:09","date_gmt":"2021-10-18T07:38:09","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=330"},"modified":"2025-12-13T19:22:51","modified_gmt":"2025-12-13T15:22:51","slug":"modele-euclidien-borne-3d","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=330","title":{"rendered":"Mod\u00e8le euclidien born\u00e9 3D"},"content":{"rendered":"\n

Un autre mod\u00e8le euclidien born\u00e9 m\u00e9rite d\u2019\u00eatre cit\u00e9 pour – r\u00e9trospectivement – l\u2019importance historique qu\u2019il a eu lors de la d\u00e9couverte de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique par Bolya\u00ef et Lobachevsky. il s\u2019agit de la sph\u00e8re priv\u00e9e d\u2019un point \\(I\\) pour lequel les points du plan euclidien sont les points de la sph\u00e8re autre que le point \\(I\\), et la droite passant par deux points \\(A\\) et \\(B\\) est le cercle circonscrit aux points \\(A, B, I\\). \u00c9tudiant ce qui allait devenir la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, Bolya\u00ef et Lobachevsky ont tous les deux \u00e9t\u00e9 amen\u00e9s \u00e0 introduire une structure que l\u2019on appelle horisph\u00e8re (nom donn\u00e9 par Lobatchevsky), une variante de sph\u00e8re hyperbolique dont le centre est le point id\u00e9al \\(I\\). Alors la g\u00e9om\u00e9trie de ces horisph\u00e8res est intrins\u00e8quement euclidienne : un pont \u00e9tait trac\u00e9 entre la consistance de la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique et celle de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Et dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, l\u2019horisph\u00e8re de Bolya\u00ef correspond \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie que nous pr\u00e9sentons ici. <\/p>\n\n\n\n

De mani\u00e8re plus rapide, on pr\u00e9sente maintenant ce mod\u00e8le avec la projection st\u00e9r\u00e9ographique : ci-contre une sph\u00e8re de rayon 1 pos\u00e9e sur le plan, \u00e0 l\u2019origine du rep\u00e8re, on projette un point \\(A\\) de la sph\u00e8re sur le plan par son intersection avec la droite \\((NA)\\) o\u00f9 \\(N\\) est le p\u00f4le nord de la sph\u00e8re (le point \\(I\\) de Bolya\u00ef).<\/p>\n\n\n\n

Par la proc\u00e9dure inverse, on envoie ainsi tout le plan euclidien sur la sph\u00e8re priv\u00e9e du p\u00f4le nord. Pour deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la sph\u00e8re, la droite \\((AB)\\) sur la sph\u00e8re est le cercle passant par \\(A, B\\) et le point \\(N\\), p\u00f4le nord de la sph\u00e8re, priv\u00e9 de \\(N\\). Ind\u00e9pendamment des rappels historiques, c\u2019est un autre mod\u00e8le born\u00e9, dans l\u2019espace, de la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane.<\/p>\n\n\n\n

Les constructions associ\u00e9es \u00e0 un triangle se font par conjugaison : on peut manipuler trois points sur la sph\u00e8re, par leurs c\u00f4tes uX<\/strong> et leurs positions sur le parall\u00e8le associ\u00e9 \u00e0 uX<\/strong>. On projette ces trois points sur le plan (XSY)<\/strong>. Puis on construit la figure affine voulue, et on renvoie le r\u00e9sultat.sur la sph\u00e8re. Voici quelques illustrations :<\/p>\n\n\n\n

a – La parall\u00e8le \u00e0 une droite passant par un point<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"
\u00e0 gauche, la parall\u00e8le \u00e0 \\((BC)\\) passant par \\(A\\). \u00e0 droite la parall\u00e8le \u00e0 \\((AC)\\) passant par \\(B\\).<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

b – le th\u00e9or\u00e8me des milieux<\/em><\/p>\n\n\n

\n
\"\"
La droite des milieux \\((IJ)\\) est parall\u00e8le au c\u00f4t\u00e9 \\((BC)\\)
(cela se voit mieux sur la figure ci-dessous, en faisant pivoter la sph\u00e8re)<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

c – le cercle circonscrit d’un triangle<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pour les figures euclidiennes, on renvoie le plan du sol \\((XOY)\\) sur le plan de l’\u00e9cran \\((YON)\\). On effectue une double conjugaison. En pratique on utilise des macros qui vont directement de la sph\u00e8re \u00e0 l’\u00e9cran et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"
En vert les droites du triangle, en bleu les m\u00e9diatrices passant par les milieux
\\(I, J\\) et \\(K\\) des c\u00f4t\u00e9s et en rouge le cercle circonscrit de centre \\(O\\).<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

d – le cercle inscrit d’un triangle<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n