Pour une construction intrins\u00e8que, il faudrait trouver \\(k\\) et \\(c\\) \u00e0 partir de deux points \\(A(u_A, \\theta_A)\\) et \\(B(u_B, \\theta_B)\\), ce qui n’est pas possible. On travaille donc par conjugaison, et c’est alors tr\u00e8s simple \u00e0 r\u00e9aliser.<\/p>\n\n\n\n
Principe de la construction<\/strong><\/p>\n\n\n\n On prend un point \\(M_{ab}\\) sur la KB<\/strong>-droite passant par les points image \\(A_{kb}\\) et \\(B_{kb}\\) et plus pr\u00e9cis\u00e9ment, sur la partie \u00e0 l’int\u00e9rieur de la KB<\/strong>-\u00e9quidistante fronti\u00e8re de l’image de la PSH<\/strong>. On renvoie alors ce point sur la pseudosph\u00e8re hyperbolique en renversant le syst\u00e8me de projection de Beltrami : l’abscisse \\(x_{M_{ab}}\\)d\u00e9termine la longitude du point sur la PSH<\/strong> par \\(\\theta_{M_{PSH}} = \\displaystyle \\frac{1}{p}th^{-1}(x_{M_{ab}})\\) et son ordonn\u00e9e \\(y_{M_{ab}}\\) permet d’\u00e9crire \\(u_{M_{PSH}} =th^{-1} \\left(y_{M_{ab}}ch(p \\theta_{M_{PSH}})\\right)\\). On termine la droite par le lieu du point courant \\(M_{PSH}\\). C’est ce que fait la nouvelle macro Drt LesCoef g Odl Mab<\/strong> que l’on voit dans l’illustration suivante.<\/p>\n\n\n Avant de proposer une figure \u00e9l\u00e9mentaire \u00e0 la manipulation, voyons quelques points particuliers. Tout d’abord mentionnons la seconde nouvelle macro KB sur PS LesCoef g Old Ptkb<\/strong> fait la m\u00eame chose pour un seul point (il n’y a pas de lieu). <\/p>\n\n\n\n La question des droites multifeuilles<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le cas illustr\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment est enti\u00e8rement contenu dans la feuille principale. Dans cette illustration, on montre la densit\u00e9 standard de la droite retenue dans la macro : 200. Pour les simples segments, on la r\u00e9glera \u00e0 50, et parfois m\u00eame \u00e0 20 dans les pavages. On s’int\u00e9resse dans ce paragraphe \u00e0 ce qu’il se passe quand la droite ne se limite pas \u00e0 la feuille principale. Commen\u00e7ons par une petite valeur de \\(p\\) car on a vu que cela d\u00e9ploie – dans la repr\u00e9sentation sur KB<\/strong> – les deux feuilles autour de la principale. Et c’est important pour disposer de points sur la KB<\/strong>-droite \\((A_{kb}B_{kb})\\) pour appliquer le lieu de points. Mais pour cela il faut augmenter la densit\u00e9.<\/p>\n\n\n Un exemple de droite d\u00e9ploy\u00e9e sur 3 feuilles de la surface, avec une densit\u00e9 \u00ab\u00a0max\u00a0\u00bb (5000 points). On poursuit en manipulant la figure de la fa\u00e7on suivante. On ne touche pas aux points \\(A\\) et \\(B\\) sur la PSH<\/strong>. On augmente seulement la valeur du param\u00e8tre \\(p\\). La courbe s’enroule encore sur 3 feuilles mais il y a beaucoup moins de points disponibles pour le lieu dans les feuilles adjacente \u00e0 la feuille principale dans KB<\/strong> (d’o\u00f9 un trait un peu trop droit pour le haut de la PSH<\/strong>). Mais regardons aussi un autre ph\u00e9nom\u00e8ne.<\/p>\n\n\n Dans la fa\u00e7on de prendre les latitudes dans ces figures, en changeant la valeur de \\(p\\), les m\u00eames points \\(A\\) et \\(B\\) conservent bien leurs longitudes mais changent de latitude<\/em>, et donc la pente euclidienne de la droite \\((A_{kb}B)_{kb}\\) diminue.<\/em><\/p>\n\n\n\n En effet les latitudes \\(u_A\\) et \\(u_B\\) sont des points sur objet d’un segment de longueur variable (2AltMax<\/em>). Or dans les logiciels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique, l’impl\u00e9mentation des points sur objets est affine (barycentrique) pour que les points sur objet r\u00e9agissent \u00ab\u00a0naturellement\u00a0\u00bb quand on change les tailles des segments.<\/p>\n\n\n\n Cela peut imm\u00e9diatement se corriger si, dans une figure, cela devenait n\u00e9cessaire, en prenant un point sur une droite au lieu d’un segment, mais ce fonctionnement \u00ab\u00a0naturel\u00a0\u00bb rel\u00e8ve en g\u00e9n\u00e9ral du comportement attendu, car, dans ces constructions, la latitude d’un point est proportionnellement conserv\u00e9e par rapport aux valeurs extr\u00e9males possibles.<\/p>\n\n\n\n Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n\n Dans cette figure, on a fait le compromis de densifier la droite \u00e0 1000 objets (au lieu des 200 de la macro). Idem pour la figure qui s’ouvre dans un autre onglet.<\/p>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/PresentePremiereDroite-Petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/AvecCoord-p028-Petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
On voit – et on lit sur sa longitude – que B est tr\u00e8s proche du m\u00e9ridien vert, fronti\u00e8re de la feuille principale. <\/em>
<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Avec-Coord-p066-petit.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n