{"id":2518,"date":"2022-01-11T13:44:35","date_gmt":"2022-01-11T09:44:35","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=2518"},"modified":"2025-12-16T16:01:13","modified_gmt":"2025-12-16T12:01:13","slug":"pseudosphere-hyperbolique-psh","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=2518","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re hyperbolique (PSH)"},"content":{"rendered":"\n

Dans ce menu on s\u2019int\u00e9resse \u00e0 une autre surface pseudosph\u00e9rique, celle dite \u00ab\u00a0hyperbolique\u00a0\u00bb (PSH<\/strong> dans la suite) car elle a deux points de contact avec l’infini. La partie du plan hyperbolique recouverte par la feuille principale \u00e9tant nettement plus grande que pour la pseudosph\u00e8re (PS<\/strong>), on va pouvoir aborder des questions, et r\u00e9aliser des figures qu’il n’\u00e9tait pas envisageable de construire sur la pseudosph\u00e8re initiale. Ainsi, comme, d’une certaine fa\u00e7on on va aller plus loin dans la complexit\u00e9 des figures (en terme de lieux de points pour tracer des segments), on sera attentif au d\u00e9part \u00e0 bien optimiser les \u00e9tapes de constructions. <\/p>\n\n\n\n

Cette page d’introduction est essentiellement consacr\u00e9e \u00e0 la construction dynamique de la nappe de cette surface. C’est finalement la seule chose d\u00e9licate \u00e0 r\u00e9aliser, car la g\u00e9n\u00e9ratrice est donn\u00e9e par une int\u00e9grale elliptique. Et donc il s’agit de r\u00e9aliser une approximation fiable et robuste de cette surface.<\/p>\n\n\n\n

La lecture de ce menu suppose, a priori, d’avoir pris connaissance des pages sur la pseudosph\u00e8re, et en particulier des pages \u00e0 partir de la conjugaison avec KB<\/strong><\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Approximation de la surface<\/h2>\n\n\n\n

On se donne un param\u00e8tre \\(p\\) , r\u00e9el positif, la courbe de la surface dans le plan frontal – la g\u00e9n\u00e9ratrice – est donn\u00e9e par la relation \\(\\left\\lbrace \\begin{array}{1} x(u) = p \\, ch(u)\\\\ z(u) = \\displaystyle \\int_0^u \\sqrt{1-p^2sh^2(t)} \\,dt\\end{array} \\right.\\) avec \\(-sh^{-1}\\displaystyle \\left( \\frac{1}{p} \\right) \\le u \\le sh^{-1}\\displaystyle \\left( \\frac{1}{p} \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n

Ce qui motive de travailler sur une approximation pr\u00e9cise de cette g\u00e9n\u00e9ratrice est que les correspondances dans le \u00ab\u00a0disque limite\u00a0\u00bb de Beltrami (le mod\u00e8le KB<\/strong>) ne font intervenir l’int\u00e9grale elliptique que par sa d\u00e9riv\u00e9e et donc qu’elle dispara\u00eet. Ainsi, le passage de la PSH<\/strong> \\((u, \\theta)\\) vers KB<\/strong> \\((x, y)\\) est donn\u00e9 par \\(\\left\\lbrace \\begin{array}{1} x= th(p\\theta)\\\\ y=\\displaystyle \\frac{th(u)}{ch(p \\theta)}\\end{array} \\right.\\)
et le retour est imm\u00e9diat \u00e0 traiter aussi.<\/p>\n\n\n\n

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Les donne\u0301es mathe\u0301matiques sur la PSH<\/strong> et la PSE<\/strong> proviennent de : Modern Differential Geometry of curves and surfaces with Mathematica \u2013 Alfred Gray \u2013 1997 (2\u00b0 Ed.). En particulier le chapitre 19 : Surfaces of constant gaussian curvature.<\/p>\nIl existe d\u00e9sormais une 3\u00b0 \u00e9dition, avec illustrations en couleurs.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

La d\u00e9marche de r\u00e9alisation des figures est donc la suivante : \u00e0 partir d\u2019une latitude \\(u\\) et d\u2019un angle \\(\\theta\\) exacts<\/em>, on construit une repr\u00e9sentation d\u2019un point, plus g\u00e9n\u00e9ralement d\u2019un objet, approch\u00e9e<\/em>. La transformation dans le mod\u00e8le KB<\/strong> est exacte<\/em>, les constructions y sont faites, la transformation r\u00e9ciproque donne des coordonn\u00e9es exactes <\/em>des objets \u00e0 construire qui sont faits dans la m\u00eame approximation <\/em>que les objets de d\u00e9part.<\/p>\n\n\n\n

Le polyn\u00f4me final retenu – apr\u00e8s de nombreux essais sur le nombre de points, leur positions, entre autre – est obtenu par double interpolation de Lagrange : d’abord par rapport \u00e0 la latitude \\(u\\) avec 7 points correspondant \u00e0 la demi-longueur de l’intervalle de d\u00e9finition multipli\u00e9e par -1, -0.9, -0.5, 0, 0.5, 0.9, 1 puis, pour chaque coefficient, par rapport \u00e0 \\(p\\) avec les valeurs \\(p\\) = 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25<\/p>\n\n\n\n

En pratique, pour des valeurs de \\(p\\) dans l\u2019intervalle d\u2019interpolation, les r\u00e9sultats sont remarquables. Voici trois copies d\u2019\u00e9cran, pour trois valeurs de \\(p\\), de la g\u00e9n\u00e9ratrice \u00ab exacte \u00bb (calcul\u00e9e avec Mathematica) superpos\u00e9e \u00e0 celle de l\u2019interpolation de Lagrange :<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche, \\(p\\)=0,25 – au centre, \\(p\\)=0,5 – \u00e0 droite, \\(p\\)=1,25<\/em><\/p>\n\n\n\n

En pratique l’approximation est de l’ordre du quart de pixel sauf aux toutes extr\u00e9mit\u00e9s de la nappe o\u00f9 elle est de l’ordre de un ou deux pixels.<\/p>\n\n\n\n

Le polygone obtenu pour la g\u00e9n\u00e9ratrice<\/strong><\/p>\n\n\n\n

g(u)=(- 0,102319 p4<\/sup> – 0,0138416 p3<\/sup> – 0,0870262 p2<\/sup> – 0,0124497 p – 0,000789732) u5<\/sup>
+ (- 0,00863112 p4<\/sup> + 0,0368179 p3<\/sup> – 0,159956 p2<\/sup> + 0,0582975 p + 0,0133804) u3<\/sup>
+ (- 0,0115381 p4<\/sup> + 0,0459398 p3<\/sup> – 0,071502 p2<\/sup>+ 0,0547965 p + 0,96737) u<\/p>\n\n\n\n

ce que l’on \u00e9crira sous la forme \\(g(u)= \\left(Coef_{p5}u^4+Coef_{p3}u^2+Coef_{p1} \\right)u\\) o\u00f9 les coefficients ne d\u00e9pendent que de \\(p\\) et ne sont recalcul\u00e9s – une seule fois pour toute la figure – que si on modifi\u00e9 le param\u00e8tre.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Construction effective de la PSH<\/h2>\n\n\n\n

Voici un concentr\u00e9 des donn\u00e9es utiles \u00e0 la construction<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

L’origine du rep\u00e8re s’appelle \\(Or\\) (pour que le nom \\(O\\) puisse \u00eatre utilis\u00e9 dans les figures). Le point \\(p\\) est, \u00e0 la fois<\/strong>, un point de la surface 3D et un point en 2D, qui reste fixe quand la surface tourne. C’est pour cela qu’on ne peut pas montrer ce point dans les macros, et que l’on utilisera toujours son abscisse \\(xp\\), qui est le coef \\(p\\) des formules. Les coefficients de la fonction \\(g\\) sont plac\u00e9s dans une liste, pour passer plus rapidement en macro :
LesCoef = [xp, Coefp1, Coefp3, Coefp5].<\/p>\n\n\n\n

Dans cette pr\u00e9sentation, on a trac\u00e9 6 g\u00e9n\u00e9ratrices, deux sur l’axe \\((Ox)\\), une verte, une mauve, deux sur l’axe \\((Oy)\\) (marron clair) et deux, grises, qui sont toujours dans le plan frontal (g\u00e9n\u00e9r\u00e9s par les points rouges sur le cercle de centre \\(oGe\\)) . Dans les figures des pages suivantes, on enl\u00e8vera parfois les g\u00e9n\u00e9ratrices en \\((Oy)\\) car ce n’est pas n\u00e9cessaire quand il y a de figures sur la surface. Le tout est g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par le point \\(uGe\\).<\/p>\n\n\n\n

Quelques illustrations en fonction du param\u00e8tre \\(p\\)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Manipuler une premi\u00e8re figure de base<\/strong><\/p>\n\n\n