{"id":2246,"date":"2021-12-22T22:12:22","date_gmt":"2021-12-22T18:12:22","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=2246"},"modified":"2025-12-20T14:38:07","modified_gmt":"2025-12-20T10:38:07","slug":"moulton-angles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=2246","title":{"rendered":"Plan de Moulton – Angles"},"content":{"rendered":"\n

Les angles en dehors des sommets sur l\u2019axe des ordonn\u00e9s sont les angles euclidiens : le mod\u00e8le est donc conforme hors de cet axe, ce qui permet d\u2019illustrer tr\u00e8s vite des r\u00e9sultats int\u00e9ressants avec des figures \u00e9l\u00e9mentaires.<\/p>\n\n\n\n

Exemples sur les triangles isoc\u00e8les<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Hilbert montre dans son ouvrage qu\u2019une des cons\u00e9quences de son axiome III.5<\/strong> sur les liens entre les congruences des angles et des segments est ce r\u00e9sultats classique sur les triangles isoc\u00e8les : dans un triangle \\(ABC\\), si les segments \\([CA]\\) et \\([CB]\\) sont congruents, alors les angles \\(A\\) et \\(B\\) du triangle \\(ABC\\) sont \u00e9gaux.<\/p>\n\n\n

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Ces premiers exemples montrent que la somme des angles d\u2019un triangle peut \u00eatre inf\u00e9rieure ou sup\u00e9rieure \u00e0 deux droits.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Somme des angles d’un triangle<\/h2>\n\n\n
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Dans un premier temps, consid\u00e9rons un triangle \\(ABC\\) dont seul le c\u00f4t\u00e9 \\([AB]\\) soit un segment de Moulton non euclidien, les deux autres c\u00f4t\u00e9s du sommet \\(C\\) \u00e9tant, eux, euclidiens. Alors le d\u00e9faut d\u2019angle par rapport au triangle euclidien \\(ABC\\) est \\(\\angle IAB + \\angle IBA\\) soit, en mesure, \\(\\pi – \\angle AIB\\) (o\u00f9 \\(I\\) est le point de rupture que l\u2019on a nomm\u00e9 \\(o_{AB}\\) dans la page sur les droites).
On peut calculer le maximum et le minimum de ce d\u00e9faut d\u2019angle, et donc le maximum et le minimum de la somme des angles d\u2019un triangle de Moulton. Compte tenu des pentes d\u2019un segment de Moulton, on n\u2019enl\u00e8ve rien \u00e0 la g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 du calcul en consid\u00e9rant le sch\u00e9ma suivant.<\/p>\n\n\n

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Avec les notations ci-contre, le d\u00e9faut d\u2019angle \\(\\pi – \\angle AIB\\) est alors \u00e9gal \u00e0 la diff\u00e9rence d’angles \\(a_1-a_2\\), soit encore \\(tan^{-1}(2x)-tan^{-1}(x)\\). <\/p>\n\n\n\n

Les formules trigonom\u00e9triques d\u2019addition permettent d\u2019\u00e9crire \\(a_1-a_2= \\displaystyle tan^{-1} \\left( \\frac{x}{1+2x^2} \\right)+k\\pi\\) et donc, avec la croissance de la fonction \\(tan^{-1}\\) on est ramen\u00e9 \u00e0 \u00e9tudier, pour \\(x>0\\) , le minimum de \\(f(x)=\\displaystyle \\frac{x}{1+2x^2}\\) qui est atteint en \\(\\displaystyle \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n

Il en r\u00e9sulte ainsi que la somme des angles d\u2019un triangle a pour valeurs extr\u00eames \\(\\pi \\pm tan^{-1} \\left( \\displaystyle \\frac{\\sqrt{2}}{4} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

R\u00e9alisation des extrema<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A partir du point de rupture du segment de Moulton plac\u00e9 \u00e0 l\u2019origine du rep\u00e8re (point \\(I\\)), on peut construire les points \\(A\\left(-\\sqrt{2},1\\right)\\) et \\(B\\left(1, -\\sqrt{2}\\right)\\) comme ci-dessous qui r\u00e9alisent le d\u00e9faut d\u2019angle extr\u00e9mal, maximal pour \\(C\\) en dessous de la droite \\((AB)\\) et minimal pour \\(C\\) en dessus.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

\u00e0 gauche : triangle r\u00e9alisant la somme des angles maximale, au centre la somme est minimale.
\u00e0 droite : si le triangle a deux segments de Moulton, les valeurs extr\u00e9males ne peuvent \u00eatre atteintes.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Figure d’exploration sur la somme des angles d’un triangle de Moulton<\/strong><\/p>\n\n\n