{"id":2027,"date":"2021-12-19T23:15:14","date_gmt":"2021-12-19T19:15:14","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=2027"},"modified":"2022-02-27T13:59:36","modified_gmt":"2022-02-27T09:59:36","slug":"somme-des-angles-dun-triangle-2-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=2027","title":{"rendered":"Hilbert – Somme des angles d’un triangle (2\/2)"},"content":{"rendered":"\n

Cas o\u00f9 un seul sommet est \u00e0 l’int\u00e9rieur de l’ellipse
Constructions de triangles de somme d’angles \u00e9gale \u00e0 180\u00b0<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Comme dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, on construit les deux H-droites passant par le sommet int\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse, le point \\(B\\), \u00e0 partir des points d\u2019intersection de ces droites sur l\u2019ellipse, en les nommant \\(Pg_{AB}, Qg_{AB}, Pg_{BC}, Qg_{BC}\\), comme dans les figures du cas g\u00e9n\u00e9ral. On construit ainsi les H-droites \\((Pg_{AB}\\; Qg_{AB})\\) et \\((Pg_{BC}\\; Qg_{BC})\\) sur lesquelles on place, respectivement, les points \\(A\\) et \\(C\\), \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019ellipse, plus pr\u00e9cis\u00e9ment sur des demi-droites pr\u00e9cises comme illustr\u00e9 ci-contre.<\/p>\n\n\n\n

Les droites euclidiennes \\((Pg_{AB}\\; Qg_{AB})\\) et \\((Pg_{BC}\\; Qg_{BC})\\) se coupent en \\(I\\). <\/p>\n\n\n\n

La diff\u00e9rence de la somme des angles entre le triangle de Hilbert \\(ABC\\) et le triangle euclidien \\(ABC\\) est \u00e9gale \u00e0 la diff\u00e9rence des angles en \\(B\\), sommet hilbertien, et \\(I\\), sommet euclidien. On nomme \\(U\\) l\u2019intersection de la tangente en \\(B\\) \u00e0 la H-droite \\((Pg_{AB}\\; Qg_{AB})\\) et de sa version euclidienne, et \\(V\\) celle de la tangente en \\(B\\) \u00e0 la H-droite \\((Pg_{BC}\\; Qg_{BC})\\) et de son pendant euclidien.<\/p>\n\n\n\n

Alors, par un calcul imm\u00e9diat d\u2019angles dans les triangles euclidiens \\(UBV\\) et \\(UIV\\) , la diff\u00e9rence angulaire – pour cette configuration d\u2019un arc concave et d\u2019un arc convexe – est \u00e9gale \u00e0 la somme des angles \\(\\angle BUI + \\angle IVB\\), nomm\u00e9e \\(aU+aV\\) ci-dessus. Ce serait la m\u00eame chose avec un triangle construit \u00e0 partir des angles suppl\u00e9mentaires en \\(B\\) et en \\(I\\) – et en pla\u00e7ant \\(A\\), cette fois, sur la demi-droite euclidienne \\([QgAB \\; U)\\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

En fait cette somme \\(aU+aV\\) est alg\u00e9brique. Si les arcs de cercles int\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse sont de m\u00eame type (concaves ou convexes), l\u2019angle en \\(B\\) peut \u00eatre aussi mesur\u00e9 comme l\u2019angle en \\(B\\) avec les centres des arcs de cercles. <\/p>\n\n\n\n

En conservant les angles g\u00e9om\u00e9triques, dans les triangles \\(BJV\\) et \\(IJU\\) , on a l\u2019\u00e9galit\u00e9 \\(aB+aV=aI+aU\\) et donc cette nouvelle diff\u00e9rence d\u2019angle \\(aB-aI=aU-aV\\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

La somme des angle du H-triangle \\(ABC\\) sera \u00e9gale deux droits, comme pour le triangle euclidien \\(AIC\\) ssi \\(aU=aV\\). Cette \u00e9galit\u00e9, elle, est \u00e9quivalente \u00e0 dire que les quatre points \\(U, V, B, I\\) sont cocycliques.<\/p>\n\n\n\n

On veux donc r\u00e9aliser une figure comme ci-contre. En pratique, on ne cherche pas une construction g\u00e9om\u00e9trique exacte, on va plut\u00f4t s\u2019int\u00e9resse une construction par programmation, approximative mais bien entendu tr\u00e8s pr\u00e9cise.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure propos\u00e9e ci-dessous \u00e0 manipulation, \\(B\\) est \u00e0 l\u2019origine sur un arc de cercle. Puis on modifie \u00e0 la marge ce positionnement sur l\u2019arc de cercle pour que le point \\(I\\) soit sur le cercle circonscrit \u00e0 \\(U, V\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

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\u2022 \u00e0 gauche, \\(I\\) est \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur du cercle circonscrit \u00e0 \\(U, V, B\\), la somme des angles est inf\u00e9rieure \u00e0 deux droits.
\u2022 \u00e0 droite, on a appliqu\u00e9 le code ci-dessous, les angles \\(aU\\) et \\(aV\\) sont \u00e9gaux (\u00e0 l\u2019approximation du logiciel) et \\(I\\) est sur le cercle,toujours \u00e0 l\u2019approximation du logiciel. La pr\u00e9cision angulaire est inf\u00e9rieure \u00e0 \\(4.10^{-12}\\) degr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Le point \\(B\\) est calcul\u00e9 pour \u00eatre sur l\u2019arc de cercle de la H-droite \\((AB)\\). Si, comme on l’a plusieurs fois utilis\u00e9, Blockly permet de modifier le \u00abcomportement\u00bb des points sur lesquels il agit, cela signifie aussi que \\(B\\) devient un point libre en lan\u00e7ant ce code.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Mode d’emploi<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u2022 On peut agir (un peu) sur les points de base\\(PgAB, \\; QgAB\\) et \\(B\\) sur l\u2019arc (avant de lancer le programme pour \\(B\\)) ou le point \\(PgBC\\) en gardant les deux arcs convexes.
\u2022 De pr\u00e9f\u00e9rence, lancer le code quand la somme des angles est inf\u00e9rieure \u00e0 deux droits.
\u2022 Il est int\u00e9ressant de d\u00e9placer (l\u00e9g\u00e8rement) les points de base sur l\u2019ellipse une fois le code engag\u00e9, toujours en respectant la convexit\u00e9 des arcs.
\u2022 Recharger la figure avec l’icone de l’iframe redonne \u00e0 \\(B\\) son statut de point sur arc.<\/p>\n\n\n