![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/IllustrDrteTexteHilbert.png\")
\u00ab\u00c9laborons notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie comme suit. Comme points prenons les points du plan \\(xy\\). Comme droites, choisissons, sans modification, celles du plan qui ne coupent pas l\u2019ellipse ou qui lui sont tangentes; par contre si une droite \\(g\\) coupe l\u2019ellipse en deux points \\(P\\) et \\(Q\\), construisons le cercle passant par \\(P\\), \\(Q\\) et \\(F\\). Ce cercle ne coupe pas l\u2019ellipse hors de ces points. Sur la droite \\(g\\) rempla\u00e7ons le segment compris entre \\(P\\) et \\(Q\\) par l\u2019arc du cercle pr\u00e9c\u00e9dent situ\u00e9 \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse. Les deux demi-droites port\u00e9es par \\(g\\) limit\u00e9es \u00e0 \\(P\\) et \\(Q\\) et l\u2019arc de cercle ci-dessus constituent une droite de notre nouvelle g\u00e9om\u00e9trie(*). Supposons la construction effectu\u00e9e pour toutes les droites du plan. Les droites de la nouvelle g\u00e9om\u00e9trie satisfont les axiomes (I.1<\/strong> et I.2<\/strong>) et (IV<\/strong>). Les axiomes (II<\/strong>) sont aussi valables en consid\u00e9rant l\u2019ordre naturel des points sur ces droites. Nous dirons que deux segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) sont congruents si les segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) mesur\u00e9s \u00e9ventuellement en tout ou partie sur un arc de cercle ont des longueurs habituelles \u00e9gales. \u00bb<\/p>\n\n\n\n (*) Nous parlerons dans la suite de H-droite<\/strong>, pour droite de Hilbert, et de H-segment<\/strong>.<\/em><\/p>\n\n\n\n Les angles<\/strong><\/p>\n\n\n \u00abEnfin il nous faut d\u00e9finir la congruence des angles. Si aucun des sommets des angles \u00e0 comparer n\u2019appartiennent \u00e0 l\u2019ellipse, nous dirons que les angles sont congruents s\u2019ils le sont au sens ordinaire du terme. Dans le cas contraire, op\u00e9rons comme suit : Nous dirons que les congruences suivantes d\u2019angles sont satisfaites: Entre les pages sur le mod\u00e8le de Hilbert et celles sur le mod\u00e8le de Moulton, nous proposons une \u00ab\u00a0page interlude\u00a0\u00bb analysant cette d\u00e9finition de la congruence des angles dont l\u2019un a un sommet sur l\u2019ellipse, en particulier car, comme l\u2019a montr\u00e9 Moulton, elle ne v\u00e9rifie pas vraiment l\u2019axiome III.4<\/strong> comme l\u2019annonce un peu vite Hilbert.<\/p>\n\n\n\n Dans un premier temps, on retiendra que, pour les sommets hors de l\u2019ellipse, les angles sont les angles euclidiens usuels<\/em>.<\/p>\n\n\n La g\u00e9om\u00e9trie obtenue est non argu\u00e9sienne<\/strong> Pour illustrer que le th\u00e9or\u00e8me de Desargues n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9, Hilbert consid\u00e8re d\u2019une part l\u2019axe des abscisse – qui est une H-droite<\/em> car cet axe est \u00ab\u00a0le cercle\u00a0\u00bb passant par F et les deux sommets de l’ellipse,<\/em> puis la H-droite associ\u00e9e \u00e0 l\u2019axe des ordonn\u00e9es et enfin celle passant par les points de l\u2019ellipse \\( \\displaystyle \\left( -\\frac{3}{5},-\\frac{2}{5} \\right)\\) et \\(\\displaystyle \\left( \\frac{3}{5},\\frac{2}{5} \\right)\\). Or ces trois H-droites ne sont pas concourantes (se montre facilement). Il suffit alors de construire un triangle \\(ABC\\) avec un point sur chaque droite ainsi qu\u2019un triangle\\(A_1B_1C_1\\) ayant ses c\u00f4t\u00e9s correspondants parall\u00e8les \u00e0 ceux de \\(ABC\\) comme ci-contre pour illustrer que cette g\u00e9om\u00e9trie n\u2019est pas argu\u00e9sienne.<\/p>\n\n\n\n Dans les pages suivantes, nous allons nous int\u00e9resser tout d\u2019abord \u00e0 la construction dynamique de ces H-droites quand elles sont d\u00e9finies par deux points. Pour la construction des H-droites d\u00e9finies par deux points, on peut distinguer trois cas : Dans les deux premiers cas, on \u00e9tudiera d\u00e9j\u00e0 quelques propri\u00e9t\u00e9s de la g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne du mod\u00e8le de Hilbert dans ces configurations sp\u00e9cifiques. Si les deux premiers cas rel\u00e8vent d\u2019une simple construction g\u00e9om\u00e9trique, le troisi\u00e8me cas qui pourtant n\u2019est a priori qu\u2019un probl\u00e8me du 4\u00b0 degr\u00e9, est nettement plus complexe \u00e0 traiter et fera l\u2019objet d\u2019une approche particuli\u00e8re. L\u2019objectif final \u00e9tant bien entendu de proposer \u00e0 l\u2019utilisateur des figures dynamiques transparentes o\u00f9 les 3 cas sont regroup\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n Bien entendu, une H-droite ayant toujours deux points \u00e0 l’ext\u00e9rieur de l’ellipse, on pourrait se dire qu’on peut tout r\u00e9aliser de cette g\u00e9om\u00e9trie avec le simple premier cas. C’est assez implicite dans le texte de Hilbert. Mais d’un point de vue de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, puisqu’une droite est d\u00e9finie par deux points et que l’on veut pouvoir la manipuler par ces deux points, il est n\u00e9cessaire de savoir construire les H-droites dans ces trois cas et que le passage d’un cas \u00e0 l’autre soir totalement transparent.<\/p>\n\n\n\n Par ailleurs chacun de ces cas va permettre des explorations de la g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne originales et m\u00eame parfois surprenantes.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Droites cas 1<\/a> | Droites cas 2<\/a> | Droites cas 3<\/a><\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/IllustrAngleTexteHilbert.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
Soient\\(ABC\\) et \\(A’B’C’\\) des points align\u00e9s ordonn\u00e9s de notre g\u00e9om\u00e9trie, \\(D\\) un point ext\u00e9rieur \u00e0 la droite \\(ABC\\) et \\(D’\\) hors de la droite \\(A’B’C’\\).<\/p>\n\n\n\n
\\(\\angle ABD = \\angle A’B’D’\\) et \\(\\angle CBD = \\angle C’B’D’\\)
si les angles naturels correspondant sont li\u00e9s par la proportion
\\(\\angle ABD : \\angle CBD = \\angle A’B’D’ : \\angle C’B’D’\\)
Grace \u00e0 ces conventions les axiomes (III.1<\/strong> \u00e0 4<\/strong>) sont valables.\u00bb<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Exemple-Hilbert-v2-1024x793.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
(exemple de Hilbert)<\/p>\n\n\n\n
\u2022 Cas 1 : les deux points sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 2 : les deux points sont int\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 Cas 3 : un des points est \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur, l\u2019autre \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur.<\/p>\n\n\n\n