{"id":1910,"date":"2021-12-17T17:04:06","date_gmt":"2021-12-17T13:04:06","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1910"},"modified":"2024-03-13T22:02:41","modified_gmt":"2024-03-13T18:02:41","slug":"droites-de-hilbert-cas-3-les-droites-ab-avec-un-point-interieur-et-lautre-exterieur-a-lellipse","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1910","title":{"rendered":"Droites de Hilbert – Cas 3 – Ancienne version, par programmation en Blockly"},"content":{"rendered":"\n

Retour \u00e0 la page de d\u00e9finition g\u00e9n\u00e9rale des droites<\/a> du mod\u00e8le de Hilbert<\/p>\n\n\n\n

Dans cette page, on aborde les sujets suivants :
\u2022 Tout d’abord, on traite du troisi\u00e8me cas, la construction de la droite \\((AB)\\) quand elle est d\u00e9finie par un des points ext\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse et l’autre int\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse.
\u2022 En m\u00eame temps, on pr\u00e9sente succinctement la concat\u00e9nation des trois cas.
\u2022 Enfin on aborde la construction des droites parall\u00e8les, dans le cas g\u00e9n\u00e9ral avec comme applications
– la construction la plus g\u00e9n\u00e9rale possible d’un parall\u00e9logramme
– puis de la configuration de Desargues.<\/p>\n\n\n

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D\u00e9signation des points<\/strong> : on utilise trois pr\u00e9fixes, selon les trois cas de positionnement des points de base par rapport \u00e0 l\u2019ellipse. Pour les points d\u2019intersection avec l\u2019ellipse on note :
\u2022 \\(P_{ie}\\) pour un des points \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur et l\u2019autre ext\u00e9rieur
\u2022 \\(P_{ii}\\) : les deux points sont \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse
\u2022 \\(P_{ee}\\) : les deux points sont \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur (cas 1 non illustr\u00e9 ci-contre).
\u2022 On utilise les noms des droites comme suffixe.<\/p>\n\n\n\n

Pour construire cette H-droite \\((AB)\\) il faut d\u00e9terminer les intersections \\(P_{ieAB}\\) et \\(Q_{ieAB}\\) de l\u2019arc de cercle passant par \\(B\\) et \\(F\\) tel que les trois points \\(A\\), \\(P_{ieAB}\\) et \\(Q_{ieAB}\\) soient align\u00e9s. Il faut donc trouver le centre \\(I_{ieAB}\\) de ce cercle, sur la m\u00e9diatrice de \\([BF]\\) tel que les pentes des deux droites \\((AP_{ieAB})\\) et \\((P_{ieAB}Q_{ieAB})\\) soient de m\u00eame pente.<\/p>\n\n\n\n

M\u00eame si ce n\u2019est, a priori, qu\u2019un probl\u00e8me d\u2019ordre 4, sa r\u00e9solution formelle – \u00e0 savoir trouver les coordonn\u00e9es du centre \\(I_{ieAB}\\) en fonction de celles, dynamiques, de \\(A\\) et \\(B\\) est trop longue (plus de 10000 caract\u00e8res) pour \u00eatre introduite dans le logiciel. On devrait pouvoir la simplifier, mais ce travail n’a pas \u00e9t\u00e9 fait, on a choisi une autre piste.<\/p>\n\n\n\n

La programmation de la H-droite g\u00e9n\u00e9rale<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Dans cette page – ce site pour le moment – on s\u2019en est tenu \u00e0 une solution approch\u00e9e obtenue par dichotomie, avec une pr\u00e9cision de l\u2019ordre du dix-milli\u00e8me de pixel, ce qui permet, en pratique, d’atteindre une pr\u00e9cision \u00e9cran identique \u00e0 une \u00ab\u00a0solution exacte\u00a0\u00bb, et permet une illustration dynamique fiable de cette g\u00e9om\u00e9trie et l\u2019exploration des premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s comme d\u00e9j\u00e0 vu pour les deux premiers cas. Voici quelques d\u00e9tails techniques de cette construction.<\/p>\n\n\n

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Le centre \\(CtrIE_{ab}\\) du cercle cherch\u00e9 (passant par \\(P_{ieAB}\\), \\(Q_{ieAB}\\) et \\(B\\)) est sur la m\u00e9diatrice de \\(B\\) et\\(F\\). Une premi\u00e8re exploration montre que ce point est entre le projet\u00e9 horizontal \\(K_{ieAB}\\) du centre du cercle du cas 1, \\(CtrEE_{ab}\\), o\u00f9 les deux points sont consid\u00e9r\u00e9s comme ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse, et le centre \\(CtrII_{ab}\\), lui sur la m\u00e9diatrice, du cercle solution du cas 2, quand les deux points sont int\u00e9rieurs. Ces bornes sont les points \\(IminAB\\) et \\(ImaxAB\\) des premi\u00e8res lignes du code Blockly suivant.<\/p>\n\n\n\n

Les bool\u00e9ens \\(Aext\\) et \\(Bext\\) indiquent si les points sont int\u00e9rieurs ou ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse et le point \\(ABext\\) est celui des deux qui est \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur.Un premier choix du point \\(CtrII_{ab}\\) permet de construire le cercle qui coupe l\u2019ellipse en \\(P_{ieAB}\\) et \\(Q_{ieAB}\\). Le nombre \\(pPQ\\) calcule la pente de la droite passant par ces points (avec les noms \\(Pg_{AB}\\) et \\(Qg_{AB}\\)) et le nombre \\(pPextP\\) est la pente entre le point ext\u00e9rieur et un point d\u2019intersection avec l\u2019ellipse. Puis on it\u00e8re 20 fois l\u2019algorithme de dichotomie.<\/p>\n\n\n

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On utilise ici pleinement l\u2019aspect comportement<\/em> du Blockly de DGPad : dans la boucle le point \\(CtrIE_{ab}\\) est mis \u00e0 jour (par l\u2019instruction Fixer<\/em><\/strong>) ce qui met \u00e0 jour les points d\u2019intersection \\(Pg_{AB}\\) et \\(Qg_{AB}\\) et permet ainsi d\u2019it\u00e9rer sur les m\u00eames points<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

La figure suivante est une figure de d\u00e9monstration o\u00f9 le nombre d\u2019it\u00e9rations est variable (curseur n) pour voir la pr\u00e9cision des pentes en fonction du nombre d\u2019it\u00e9rations comme illustr\u00e9 dans ces trois exemples :<\/p>\n\n\n\n

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Concat\u00e9nation des trois cas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour une plus grande souplesse \u00ab\u00a0utilisateur\u00a0\u00bb, la figure propos\u00e9e contient d\u00e9j\u00e0 la concat\u00e9nation des trois cas. C’est pourquoi le centre s\u2019appelle \\(CtrGG_{ab}\\) tout comme les points d’intersection de la H-droite avec l’ellipse. Cette concat\u00e9nation des trois cas est construite par combinaisons lin\u00e9aire bool\u00e9ennes de chacun des trois points, ceux d’indice \\(ee\\) (cas 1), ceux d’indice \\(ii\\) (cas 2) et ceux construits ici d’indice \\(ie\\) (cas 3) :<\/p>\n\n\n

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