{"id":156,"date":"2021-10-15T15:26:03","date_gmt":"2021-10-15T11:26:03","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=156"},"modified":"2025-12-18T16:44:30","modified_gmt":"2025-12-18T12:44:30","slug":"la-crituqye-de-moulton-sur-le-modele-de-hilbert","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=156","title":{"rendered":"La critique de Moulton sur le mod\u00e8le de Hilbert"},"content":{"rendered":"\n<p>Reprenons le texte de Hilbert sur la congruence des angles dont l\u2019un a un sommet sur l\u2019ellipse avec l\u2019illustration telle qu\u2019elle est propos\u00e9e dans les premi\u00e8res \u00e9ditions de ses \u00abFondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Congruence en un point de l&rsquo;ellipse<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"267\" height=\"315\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/IllustrAngleTexteHilbert-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2154\" style=\"width:248px;height:293px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/IllustrAngleTexteHilbert-1.png 267w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/IllustrAngleTexteHilbert-1-254x300.png 254w\" sizes=\"(max-width: 267px) 100vw, 267px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>\u00abEnfin il nous faut d\u00e9finir la congruence des angles. Si aucun des sommets des angles \u00e0 comparer n\u2019appartiennent \u00e0 l\u2019ellipse, nous dirons que les angles sont congruents s\u2019ils le sont au sens ordinaire du terme. Dans le cas contraire, op\u00e9rons comme suit :<br>\u00ab\u00a0Soient\\(ABC\\) et \\(A&rsquo;B&rsquo;C&rsquo;\\) des points align\u00e9s ordonn\u00e9s de notre g\u00e9om\u00e9trie, \\(D\\) un point ext\u00e9rieur \u00e0 la droite \\(ABC\\) et \\(D&rsquo;\\) hors de la droite \\(A&rsquo;B&rsquo;C&rsquo;\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Nous dirons que les congruences suivantes d\u2019angles sont satisfaites:<br> \\(\\angle ABD = \\angle A&rsquo;B&rsquo;D&rsquo;\\)  et \\(\\angle CBD = \\angle C&rsquo;B&rsquo;D&rsquo;\\) si les angles naturels correspondant sont li\u00e9s par la proportion<br>\\(\\angle ABD : \\angle CBD = \\angle A&rsquo;B&rsquo;D&rsquo; : \\angle C&rsquo;B&rsquo;D&rsquo;\\)<\/p>\n\n\n\n<p>Grace \u00e0 ces conventions les axiomes (<strong>III.1<\/strong> \u00e0 <strong>4<\/strong>) sont valables.\u00bb<\/p>\n\n\n\n<p>Ci-dessous, la m\u00eame configuration que celle propos\u00e9e par Hilbert, rendue dynamique pour l\u2019angle en \\(B\\) en manipulant le point \\(D\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Dans cette illustration on s\u2019approche de 45\u00b0 pour \\(\\angle CBD\\) et donc un rapport proche de 3 que l\u2019on reproduit pour construire le point \\(D_1\\). Cela signifie que la mesure de Hilbert pour l\u2019angle \\(\\angle C_1B_1D_1\\) est celle de l\u2019angle \\(\\angle CBD\\).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"770\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/image-21-1024x770.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2155\" style=\"width:518px;height:389px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/image-21-1024x770.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/image-21-300x225.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/image-21-768x577.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/image-21.png 1260w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Voici deux autres illustrations, \u00e0 gauche autour de 60\u00b0 (et d\u2019un rapport proche de 2) et \u00e0 droite pour l\u2019orthogonalit\u00e9. Dans ce dernier cas l\u2019illustration est exacte car le point \\(D\\) est aimant\u00e9 par l\u2019arc de cercle orthogonal \u00e0 la droite de Hilbert.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"923\" height=\"365\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/AngleSurHell_60_90-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2156\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/AngleSurHell_60_90-petit.jpg 923w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/AngleSurHell_60_90-petit-300x119.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/AngleSurHell_60_90-petit-768x304.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 923px) 100vw, 923px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On retient aussi de cette derni\u00e8re illustration que l\u2019orthogonalit\u00e9 en un point de l\u2019ellipse correspond \u00e0 la bissectrice euclidienne de l\u2019angle en \\(B_1\\) de \\(A_1B_1C_1\\), car l\u2019angle droit correspond \u00e0 la bissectrice d\u2019un angle plat. C\u2019est tout \u00e0 fait naturel puisque de chaque c\u00f4t\u00e9 de la droite \\(A_1B_1C_1\\), en \\(B_1\\) il y a deux droits au sens de la g\u00e9om\u00e9trie de Hilbert. Plus loin nous utiliserons ce r\u00e9sultat pour r\u00e9aliser des figures particuli\u00e8res.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/15K8RVcadd3KTt-qtRX8388fcQrZCpk0W\/view?usp=drive_linkp\" style=\"width:1000px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur \\(D\\) pour modifier l\u2019angle en \\(B_1\\). On peut agir sur les poign\u00e9es des deux droites en respectant leurs emplacements respectifs (\\(C\\) au dessus de l\u2019ellipse, \\(A\\) en dessous, de m\u00eame pour \\(A_1\\) et \\(C_1\\)). En effet, si la figure est dynamique elle ne reste qu\u2019une figure d\u2019illustration : tous les cas n\u2019ont pas \u00e9t\u00e9 trait\u00e9s. <\/em><br><em>Explorer, avec le point \\(D\\), le cas de l\u2019orthogonalit\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>On peut choisir d&rsquo;ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1sczwBpH7FS3XoxC0CADjHP4ZI4ZwBFNo\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/HCongruencePtEll.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la m\u00eame figure<\/a> \u00ab\u00a0sans restriction\u00a0\u00bb dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">La critique de Moulton<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"723\" height=\"1021\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-72-et-Retour-90-deg-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2166\" style=\"width:456px;height:641px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-72-et-Retour-90-deg-petit.jpg 723w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-72-et-Retour-90-deg-petit-212x300.jpg 212w\" sizes=\"(max-width: 723px) 100vw, 723px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>D\u00e8s 1902, Forest Ray Moulton a publi\u00e9 un article proposant un mod\u00e8le euclidien de g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne, plus simple \u00e0 mettre en oeuvre et \u00e0 \u00e9tudier que celui de Hilbert. Ce sera l\u2019objet des prochaines pages.<\/p>\n\n\n\n<p>Nous nous int\u00e9ressons ici au d\u00e9but de l\u2019article dans lequel Moulton remet en cause le mod\u00e8le de Hilbert \u00e0 propos de sa d\u00e9finition de l\u2019angle non argu\u00e9sien en un point de l\u2019ellipse. <\/p>\n\n\n\n<p>Reprenons la figure pr\u00e9c\u00e9dente en exprimant la H-mesure \\(x\\) d\u2019un angle \\(u=mes(\\angle C_1B_1D_1)\\), illustr\u00e9e ci-contre sur une configuration o\u00f9 la H-mesure de \\(x=72\\) provient d\u2019un angle euclidien proche de l\u2019angle droit. On a ainsi \\(x=\\displaystyle \\frac{180u}{u+v}\\), soit, ci-contre, \\(x=\\displaystyle \\frac{180 \\times 90}{90+135}=72\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Or Moulton rappelle que la premi\u00e8re cons\u00e9quence de l\u2019axiome <strong>III.4<\/strong> est que tout angle est congruent \u00e0 lui-m\u00eame, et en particulier \\((h, k) = (k, h)\\). Ci dessus et ci-contre, comme angle euclidien,\\(\\angle C_1B_1D_1 = \\angle D_1B_1C_1\\). <\/p>\n\n\n\n<p>Mais si on reprend la d\u00e9finition de la H-congruence entre les angles en \\(B_1\\) et en \\(B\\) depuis l\u2019angle \\(\\angle D_1B_1C_1\\), il faut, comme ci-contre, tracer la H-droite contenant \\(B_1\\) et \\(D_1\\), c\u2019est la H-droite \\((D_1K_1)\\) et alors la H-mesure de l\u2019angle \\(\\angle D_1B_1C_1\\) est donn\u00e9e par \\(y=\\displaystyle \\frac{180u}{u+v}\\), soit \\(y=\\displaystyle \\frac{180 \\times 90}{90+60}=108\\) et donc, a<strong>vec la propre d\u00e9finition de Hilbert, \\(\\angle C_1B_1D_1 \\neq \\angle D_1B_1C_1\\)<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Moulton en d\u00e9duit que pour les points de l\u2019ellipse, on n\u2019a pas \\((h, k) = (k, h)\\) et donc que <strong>l\u2019axiome III.4 n\u2019est pas v\u00e9rifi\u00e9 en les points de l\u2019ellipse.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Bien entendu, Moulton n\u2019a pas d\u00e9taill\u00e9 les calculs comme propos\u00e9s ici, il a juste point\u00e9 que la d\u00e9finition de Hilbert aboutissait \u00e0 ce qu\u2019en un point de l\u2019ellipse on ne pouvait avoir la congruence entre\\((h, k)\\)  et \\((k, h)\\) . Ci-dessous l\u2019extrait de l\u2019introduction de l\u2019article de Moulton traitant de cette question.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"524\" height=\"641\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-extraits-H-et-M-pettit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2171\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-extraits-H-et-M-pettit.jpg 524w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-extraits-H-et-M-pettit-245x300.jpg 245w\" sizes=\"(max-width: 524px) 100vw, 524px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"522\" height=\"160\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Le-pop-up-de-702.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2178\" style=\"width:281px;height:86px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Le-pop-up-de-702.png 522w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Le-pop-up-de-702-300x92.png 300w\" sizes=\"(max-width: 522px) 100vw, 522px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans la figure suivante, on peut manipuler la figure inverse de la pr\u00e9c\u00e9dente : on agit sur le point \\(D_1\\) et la figure construit les deux angles en \\(B\\) correspondant \u00e0 \\(\\angle C_1B_1D_1\\) et \u00e0 \\(\\angle D_1B_1C_1\\). Pour cela utiliser le pop-up en bas du widget.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1jIXu0vKaW5j5IwThJ85fSw40vBJHjc77\/view?usp=drive_link\" style=\"width:1000px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut agir sur les 7 points \\(A, B, C, A_1, B_1, C_1\\) et \\(D_1\\) mais on respectera l\u2019organisation g\u00e9n\u00e9rale de la figure sur les positions relatives de ces points. Le point \\(D_1\\) est aimant\u00e9 par la bissectrice de \\(\\angle A_1B_1C_1\\) pour que la mesure \\(x\\) puisse \u00eatre exactement \u00e9gale \u00e0 90\u00b0 alors que pour la mesure \\(y\\) on n\u2019a qu\u2019une approximation pour \\(y=90\u00b0\\), comme c\u2019est le cas \u00e0 l\u2019ouverture de la figure. Penser \u00e0 modifier le choix de l\u2019angle explor\u00e9 par le pop-up menu.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1xr5hyN-CqorQAhHWGoMuezidkdRCE_68\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Hcongruence_et_inverse.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la m\u00eame figure<\/a> sans restriction dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Configurations sp\u00e9cifiques pour une mesure coh\u00e9rente <br>d\u2019un angle int\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse de sommet sur l\u2019ellipse<\/h2>\n\n\n\n<p>Tout d\u2019abord, dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, ce qui a \u00e9t\u00e9 vu pr\u00e9c\u00e9demment s\u2019applique bien entendu pour l\u2019angle int\u00e9rieur en \\(B\\) : les mesures des angles \\(\\angle PBQ\\) et<a href=\"ci-contre\"> <\/a>\\(\\angle QBP\\) sont diff\u00e9rentes (ci-dessous \u00e0 gauche). On peut alors se demander \u00e0 quelles conditions on pourrait avoir ces deux valeurs identiques.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"306\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-int-v1et-v2-egalite\u0301-petit-1024x306.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2181\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-int-v1et-v2-egalite\u0301-petit-1024x306.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-int-v1et-v2-egalite\u0301-petit-300x90.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-int-v1et-v2-egalite\u0301-petit-768x230.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-int-v1et-v2-egalite\u0301-petit.jpg 1425w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Les deux valeurs seront identiques si et seulement si la bissectrice euclidienne, usuelle, en \\(B\\) de \\(\\angle PBQ\\) co\u00efncide avec la bissectrice des tangentes en \\(B\\) des arcs des c\u00f4t\u00e9s hilbertiens, soit encore la bissectrice en \\(B\\) des centres des cercles supports. On peut alors, pour \\(P\\) donn\u00e9, construire \\(Q\\) (quand il existe) pour que les deux angles \u00abH-suppl\u00e9mentaires\u00bb soient \u00e9gaux &#8211; ci dessus \u00e0 gauche &#8211; et sur la m\u00eame figure, pour \\(Q\\) donn\u00e9 construire \\(P\\) pour que l\u2019on ait cette \u00e9galit\u00e9 d\u2019angle.<\/p>\n\n\n\n<p>Pour que la figure soit manipulable en \\(P\\) et \\(Q\\), en pratique ces deux points sont aimant\u00e9s par les solutions d\u00e9termin\u00e9es par l\u2019autre point. Voyons comment ces solutions sont construites, de mani\u00e8re \u00e9l\u00e9mentaire.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans un premier temps, remarquons que \u00ables bissectrices sont confondues\u00bb est \u00e9quivalent aux fait que les deux angles au centre \\(\\angle Bc_{BQ}Q\\) et \\(\\angle Bc_{BP}P\\) sont \u00e9gaux. Or, comme les deux cercles passent aussi par \\(Q\\) ces angles au centre sont \u00e9gaux ssi les angles angles inscrits \\(\\angle PFB\\) et \\(\\angle BFQ\\) sont \u00e9gaux (illustration ci dessous \u00e0 gauche).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"451\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-egaux-illustr-3et4-Petit-1024x451.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2182\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-egaux-illustr-3et4-Petit-1024x451.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-egaux-illustr-3et4-Petit-300x132.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-egaux-illustr-3et4-Petit-768x338.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Angle-egaux-illustr-3et4-Petit.jpg 1199w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Donc pour \\(B\\) et \\(P\\) donn\u00e9s, les solutions pour \\(Q\\) sont les intersections &#8211; quand elles existent &#8211; de l\u2019ellipse de r\u00e9f\u00e9rence et la droite passant par \\(F\\) et \\(s_P\\) le sym\u00e9trique de \\(P\\) par rapport \u00e0 la droite \\((BF)\\). Ci-dessus \u00e0 droite, ce sont les points \\(s_{Q_1}\\) et \\(s_{Q_2}\\). De m\u00eame on construit \\(s_Q\\) puis la droite \\((Fs_Q)\\) qui coupe l\u2019ellipse &#8211; quand il y a des solutions &#8211; en \\(s_{P_1}\\) et \\(s_{P_2}\\), les deux solutions pour \\(P\\) \u00e0 \\(Q\\) fix\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans la figure suivante, \\(P\\) est aimant\u00e9 par \\(s_{P_1}\\) et \\(s_{P_2}\\) et \\(Q\\) par \\(s_{Q_1}\\) et \\(s_{Q_2}\\). Selon la position de \\(B\\) une des deux droites \\((Fs_P)\\) ou \\((Fs_Q)\\) peut ne pas couper l\u2019ellipse. Il peut donc y avoir des solutions en \\(Q\\) mais pas en \\(P\\) ou l\u2019inverse. La figure permet aussi de montrer ou cacher les diff\u00e9rentes \u00e9tapes du raisonnement d\u00e9crit ici.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure sur la configuration pour que les angles \\(\\angle PBQ\\) et \\(\\angle QBP\\) soient \u00e9gaux<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1-H8k6qIQhT4_VvRQDaMVZj8UZL2Xr2wo\/view?usp=drive_link\" style=\"width:950px;height:450px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut agir sur \\(B\\), \\(P\\) et \\(Q\\). Penser \u00e0 afficher \u00abla construction\u00bb pour voir si les demi-droites coupent l\u2019ellipse ou non. Si \u00abnon\u00bb il n\u2019y a pas de solution, si \u00aboui\u00bb il y a pour \\(P\\) donn\u00e9, deux solutions en \\(Q\\) et\/ou pour \\(Q\\) donn\u00e9 deux solutions en \\(P\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1T7Uc1Ls-icPFarEg1pIsGff-TksaqOPt\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/AngleSurEll_sPsQ.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">cette figure<\/a> hors restriction dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Utilisation de l\u2019orthogonalit\u00e9 en un point de l\u2019ellipse<br>Autre type de triangle orthocentrique<\/h2>\n\n\n\n<p>Dans cette section, on consid\u00e8re une droite \\((UV)\\) qui coupe l\u2019ellipse en deux points \\(R\\) et \\(S\\) et on s\u2019int\u00e9resse \u00e0 la H-orthogonalit\u00e9 \u00e0 \\((UV)\\) en ces deux points \\(R\\) et \\(S\\). On sait que cette H-orthogonalit\u00e9 correspond \u00e0 la bissectrice euclidienne de l\u2019angle car dans la relation \\(x=\\displaystyle \\frac{180u}{u+v}\\), si \\(u=v\\), on a bien s\u00fbr \\(x=90\\). Les quatre angles de la bissection d\u2019un m\u00eame c\u00f4t\u00e9 de \\((UV)\\) sont \u00e9gaux par sym\u00e9trie de la H-droite \\((UV)\\) par rapport \u00e0 la perpendiculaire euclidienne \u00e0 \\(c_{RS}\\) passant par le centre \\((UV)\\) du cercle circonscrit \u00e0 \\(S, R, F\\) (illustration de gauche).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"860\" height=\"281\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Biss-ortho-Ill-1et2-Petit-1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2188\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Biss-ortho-Ill-1et2-Petit-1.jpg 860w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Biss-ortho-Ill-1et2-Petit-1-300x98.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Biss-ortho-Ill-1et2-Petit-1-768x251.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 860px) 100vw, 860px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Les deux s\u00e9ries d\u2019angles \u00e9gaux euclidiens de part et d\u2019autre de \\((UV)\\) &#8211; ci-dessus 76\u00b0 et 104\u00b0 &#8211; vont correspondre \u00e0 deux points de vue diff\u00e9rents sur la H-orthogonalit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas 1 &#8211; Les angles droits int\u00e9rieurs<\/strong> (ici de 104\u00b0). Depuis ces bissectrices euclidiennes, on construit les deux H-droites associ\u00e9es &#8211; arcs tangents \u00e0 \\((SI)\\) et \\((RI)\\). Ce sont donc deux H-perpendiculaires \u00e0 la droite \\((UV)\\) en les points \\(R\\) et \\(S\\). Dans cette situation, on s\u2019int\u00e9resse au cas o\u00f9 ces deux droites se coupent en un point \\(A\\) (illustration de droite). D\u2019apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, ce sont les angles \\(\\angle RSA\\) et \\(\\angle SRA\\) qui sont droits (et pas \\(\\angle ASR\\) ni \\(\\angle ARS\\)) ainsi que les angles \\(\\angle USA\\) et \\(\\angle VRA\\) (et non pas \\(\\angle ASU\\) ni \\(\\angle ARV\\)).<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"554\" height=\"375\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Ill-3-Biss-Cas-I-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2189\" style=\"width:396px;height:268px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Ill-3-Biss-Cas-I-petit.jpg 554w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Ill-3-Biss-Cas-I-petit-300x203.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 554px) 100vw, 554px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Cas 2 &#8211; Les angles droits ext\u00e9rieurs<\/strong> (ici de 76\u00b0)<\/p>\n\n\n\n<p>Dans ce cas, la partie ext\u00e9rieure \u00e0 l\u2019ellipse des bissectrices sont les droites support des H-perpendiculaires. Ce sont donc deux autres orthogonalit\u00e9s \u00e0 \\((UV)\\) en les points \\(R\\) et \\(S\\). Ces H-droites sont alors s\u00e9cantes en \\(I\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Cette situation est toutefois moins naturelle car les angles du c\u00f4t\u00e9 de \\(I\\), \\(\\angle RSI\\) et \\(\\angle SRI\\) ne sont pas droits puisque l\u2019orthogonalit\u00e9 est de l\u2019autre c\u00f4t\u00e9 de la droite \\((UV)\\). Difficile de dire que \\(S\\)  est le pied de la perpendiculaire issue de \\(I\\). Aussi, pour ce qui va suivre, si l\u2019approche est th\u00e9oriquement fond\u00e9e, d\u2019un point de vue g\u00e9om\u00e9trique, on pr\u00e9f\u00e8rera l\u2019approche du \u00abcas 1\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Triangle orthocentrique dans le \u00ab\u00a0cas 1\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On se donne un point \\(B\\) sur la demi-droite \\([SU)\\) et un point \\(C\\) de la demi-droite \\([RV)\\). Les H-droites \\((AS)\\) et \\((AR)\\) sont deux H-hauteurs issues de \\(C\\) du H-triangle \\(ABC\\). <\/p>\n\n\n\n<p>On cherche alors s\u2019il existe des configurations de \\(ABC\\) tel que ce triangle soit orthocentrique. Pour simplifier la construction, on se limite au cas o\u00f9 les c\u00f4t\u00e9s du triangle issus de \\(A\\) ne rencontrent pas l\u2019ellipse. Ainsi les pieds des hauteurs \\(hCa\\) et \\(hBa\\) sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse, et la construction des deux hauteurs sont de simples constructions g\u00e9om\u00e9triques. On peut alors ajuster \\(B\\) et \\(C\\) pour que &#8211; <em>heuristiquement<\/em> &#8211; les deux hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\) se coupent sur l\u2019une des deux hauteurs issues de \\(A\\). <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"737\" height=\"373\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho1et2-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2197\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho1et2-petit.jpg 737w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho1et2-petit-300x152.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 737px) 100vw, 737px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On se sert des points \\(U\\) et \\(V\\) comme poign\u00e9es de manipulation g\u00e9n\u00e9rale de la figure. Il faut en effet modifier l\u2019orientation de la droite euclidienne \\((UV)\\) pour que l\u2019orthocentre soit sur \\((AR)\\) ou \\((AS)\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Triangle orthocentrique dans le \u00abcas 2\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On note \\(hBi\\) et \\(hCi\\) les pieds des hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\). <\/p>\n\n\n\n<p>Ci-dessous \u00e0 gauche le cas &#8211; <em>toujours obtenu de mani\u00e8re heuristique<\/em> &#8211; o\u00f9 l\u2019intersection des hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\) se coupent sur la hauteur \\((SI)\\) issue de \\(I\\). A droite l&rsquo;orthocentre est sur l&rsquo;autre hauteur issue de \\(I\\), la droite \\((RI)\\).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>Remarque : on note les hauteurs \\((SI)\\) et \\((RI)\\) (et non pas \\((IS)\\) et \\((IR)\\)) car l&rsquo;orthogonalit\u00e9 \u00e9tant \u00e0 gauche, c&rsquo;est dans ce sens de parcours des droites que doit  \u00eatre pens\u00e9e l&rsquo;orthogonalit\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"574\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/2-TR-ortho-Biss-I-petit-1024x574.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2198\" style=\"width:668px;height:373px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/2-TR-ortho-Biss-I-petit-1024x574.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/2-TR-ortho-Biss-I-petit-300x168.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/2-TR-ortho-Biss-I-petit-768x430.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/2-TR-ortho-Biss-I-petit.jpg 1278w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><br>L\u00e0 encore, on ne s\u2019int\u00e9resse &#8211; pour une question de r\u00e9alisation \u00e9l\u00e9mentaire &#8211; qu\u2019aux cas o\u00f9 les c\u00f4t\u00e9s issus de \\(B\\) et \\(C\\) ne coupent pas l\u2019ellipse : les pieds de hauteurs \\(hBi\\) et \\(hCi\\) sont \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019ellipse.<\/p>\n\n\n\n<p>Ayant obtenu ces deux types de triangles orthocentriques, on peut  placer les deux constructions dans une m\u00eame figure, et chercher une configuration dans laquelle les deux triangles \\(ABC\\) et \\(IBC\\) sont simultan\u00e9ment orthocentriques pour chacune des deux approches de l\u2019orthogonalit\u00e9 en un point de l\u2019ellipse. C\u2019est le cas dans l\u2019illustration ci-dessous (\u00e0 gauche), avec les hauteurs issues de \\(A\\) et \\(I\\) et de \u00abpieds\u00bb le point \\(S\\) pour les deux triangles.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"867\" height=\"419\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho-pou2-ortho-cas-particulier-Petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2203\" style=\"width:667px;height:321px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho-pou2-ortho-cas-particulier-Petit.jpg 867w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho-pou2-ortho-cas-particulier-Petit-300x145.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TR-Ortho-pou2-ortho-cas-particulier-Petit-768x371.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 867px) 100vw, 867px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Enfin, si la droite \\((UV)\\) est parall\u00e8le \u00e0 l\u2019axe des ordonn\u00e9es, les bissectrices euclidiennes sont les droites passant par \\(F\\), ce sont aussi les H-droites associ\u00e9es : les deux conceptions de l\u2019orthogonalit\u00e9 sont confondues, tout comme les points \\(A, I\\) et \\(F\\) (illustration de droite).<\/p>\n\n\n\n<p>Orthogonalit\u00e9 en un point de l&rsquo;ellipse et triangle orthocentrique associ\u00e9<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1-H8k6qIQhT4_VvRQDaMVZj8UZL2Xr2wo\/view?usp=drive_link\" style=\"width:1030px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Explorer les deux choix d\u2019orthogonalit\u00e9 en \\(R\\) et \\(S\\) : on agit sur \\(U\\) et \\(V\\) pour l\u2019orientation de la droite puis sur \\(B\\) ou \\(C\\).<\/em><br><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em><strong>Remarque<\/strong> : \\(B\\) et \\(C\\) sont sur objet des demi-droite, donc agir sur \\(U\\) ou \\(V\\) d\u00e9place \\(R\\) ou \\(S\\) m\u00eame \u00e0 orientation fixe (par aspect affine interne au logiciel).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer lancer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1T7Uc1Ls-icPFarEg1pIsGff-TksaqOPt\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/TROrtho_enIetA.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la m\u00eame figure<\/a>, non \u00ab\u00a0responsive\u00a0\u00bb, dans un autre onglet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Reprenons le texte de Hilbert sur la congruence des angles dont l\u2019un a un sommet sur l\u2019ellipse avec l\u2019illustration telle qu\u2019elle est propos\u00e9e dans les premi\u00e8res \u00e9ditions de ses \u00abFondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00bb. 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