{"id":1444,"date":"2021-11-25T23:22:22","date_gmt":"2021-11-25T19:22:22","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1444"},"modified":"2025-12-15T20:51:44","modified_gmt":"2025-12-15T16:51:44","slug":"interlude-le-modele-de-klein-beltrami","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1444","title":{"rendered":"Interlude – le mod\u00e8le de Klein-Beltrami"},"content":{"rendered":"\n

Comme d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 en introduction dans ce menu, Beltrami \u00e9tait surtout centr\u00e9 sur la validation de la g\u00e9om\u00e9trie de Lobatchevsky par sa r\u00e9alisation concr\u00e8te, mat\u00e9rielle, physique <\/em>sur une surface euclidienne, et donc sur les surfaces pseudosph\u00e9riques, plus particuli\u00e8rement. En pratique, il n\u2019a pas vu, avant la parution de son article, que ses figures interm\u00e9diaires, dans son \u00ab\u00a0disque-limite\u00a0\u00bb, \u00e9taient d\u00e9j\u00e0 en soi celles d\u2019un mod\u00e8le du plan hyperbolique. \u00c0 cette \u00e9poque, Klein \u00e9tudiait une g\u00e9n\u00e9ralisation de la th\u00e9orie de la conique absolue de Cayley \u2013 encore inconnue de Beltrami – et cherchait \u00e0 inclure de cette fa\u00e7on toutes les g\u00e9om\u00e9tries dans une g\u00e9om\u00e9trie projective m\u00e9trique. Il y parviendra totalement en 1871. Et sous ses yeux, ce qui n\u2019\u00e9tait au d\u00e9part qu\u2019un artifice de repr\u00e9sentation pour Beltrami va devenir tout de suite \u2013 quelques mois apr\u00e8s la publication du \u00ab Saggio … \u00bb – un mod\u00e8le complet : le cercle limite de Beltrami n\u2019est qu\u2019un cas particulier de la conique absolue de Cayley, dans le cas o\u00f9 la g\u00e9om\u00e9trie est hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n

C’est \u00e0 sa pr\u00e9sentation (tr\u00e8s rapide) qu’est consacr\u00e9e cette page, en vue de faire des figures plus complexes sur la pseudosph\u00e8re par conjugaison avec ce mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n

Le plan hyperbolique (on dira KB<\/strong> dans la suite pour parler de ce mod\u00e8le) est l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un cercle, que nous appellerons horizon<\/em>. Comme dans le mod\u00e8le DP<\/strong> (disque de Poincar\u00e9), les points du cercle sont les points \u00e0 l\u2019infini, nous dirons, conform\u00e9ment \u00e0 la terminologie usuelle, id\u00e9aux <\/em>(ce qui n\u2019est pas la m\u00eame terminologie que le m\u00e9moire de Beltrami). Les points du mod\u00e8le sont les points \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur du cercle, et les droites sont les cordes du cercle. Voici pour l\u2019incidence. Reste l\u2019essentiel, la partie m\u00e9trique, soit la donn\u00e9e d\u2019une orthogonalit\u00e9, des sym\u00e9tries orthogonales . Parce qu\u2019il voulait inclure les trois types de g\u00e9om\u00e9trie (qu\u2019il sera le premier \u00e0 appeler hyperbolique, parabolique, elliptique<\/em>) dans un plongement projectif, la lecture que fait Klein du disque limite de Beltrami est fondamentalement projective. On commence donc par quelques rappels, tr\u00e8s cibl\u00e9s, et contextualis\u00e9s aux cercles (au lieu de coniques g\u00e9n\u00e9rales) sur ce th\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n

Rappel de quelques d\u00e9finitions de g\u00e9om\u00e9trie projective <\/h2>\n\n\n\n

Division harmonique<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\\(A, B\\) \u00e9tant donn\u00e9s et \\(C\\) un point de la droite \\((AB)\\). \u00c0 partir de tout point \\(M\\) n’appartenant pas \u00e0 \\((AB)\\), on construit l’intersection \\(U\\) de \\((MC)\\) et de la parall\u00e8le \u00e0 \\((AM)\\) passant par \\(B\\) . Soit alors \\(V\\) le sym\u00e9trique de \\(U\\) par rapport \u00e0 \\(B\\) . La droite ( \\((MV)\\) coupe \\((AB)\\) en un point \\(D\\) , ind\u00e9pendant du point \\(M\\) , et qui v\u00e9rifie<\/p>\n\n\n\n\\(\\displaystyle \\frac{\\overline{CA}}{\\overline{CA}} = – \\frac{\\overline{DA}}{\\overline{DB}}\\)\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

\\(D\\) est le conjugu\u00e9 harmonique<\/em> de \\(C\\) par rapport \u00e0 \\((A, B)\\) .<\/p>\n\n\n\n

Pour des raisons imm\u00e9diates de sym\u00e9trie dans le birapport, on dit que les couples (A, B) et (C, D) sont en division harmonique<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

P\u00f4le d’une droite<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Etant donn\u00e9 un cercle \\(\\Gamma\\) et une droite \\(d=(UV)\\), la perpendiculaire \u00e0 \\(d\\) issue du centre du cercle coupe le cercle en \\(A\\) et \\(B\\) et \\(d\\) en \\(H\\). On appelle p\u00f4le de \\(d\\) par rapport \u00e0 \\( \\Gamma \\) le conjugu\u00e9 harmonique \\(P\\) de \\(H\\) par rapport \u00e0 \\(A\\) et \\(B \\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Pour ce qui va nous int\u00e9resser dans KB<\/strong>, on sera dans le cas de la seconde illustration o\u00f9 la droite coupe le cercle en deux points \\(U\\) et \\(V\\). Alors le p\u00f4le de la droite est aussi l’intersection des tangentes (relations m\u00e9triques dans le triangle rectangle).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Polaire d’un point<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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C’est la d\u00e9finition r\u00e9ciproque : \u00e0 partir de \\(P\\) on construit la droite \\((OP)\\) et \\(H\\) conjugu\u00e9 harmonique de \\(P\\) par rapport \u00e0 \\(A\\) et \\(B\\). La polaire est la perpendiculaire \u00e0 \\((OP)\\) en \\(H\\).<\/p>\n\n\n\n

Homologie harmonique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9s une droite \\(d\\) et un point \\(P\\), l’application qui, \u00e0 un point \\(M\\) du plan associe le point \\(M’\\), conjugu\u00e9 harmonique de \\(M\\) et \\(I\\) o\u00f9 \\(I\\) est l’intersection de \\((PM)\\) et de \\(d\\) s’appelle l’homologie harmonique d’axe \\(d\\) et de p\u00f4le \\(P\\).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Elle est involutive et conserve le contact. Le p\u00f4le \\(P\\) et les points de l’axe \\(d\\) sont invariants; les droites passant par le p\u00f4le sont globalement invariantes. Elle conserve la conjugaison harmonique et la polarit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

La propri\u00e9t\u00e9 importante de l\u2019homologie pour ce qui nous occupe est la suivante : Soit \\(A\\) un point. Une conique est globalement invariante par l’homologie de p\u00f4le \\(A\\) et d’axe la polaire de \\(A\\) par rapport \u00e0 cette conique. Cette propri\u00e9t\u00e9, appliqu\u00e9e au cercle, va faire des homologies harmoniques – d’axe une droite coupant le cercle et de centre le p\u00f4le de son axe – les sym\u00e9tries orthogonales du mod\u00e8le KB<\/strong>. Elle est aussi pr\u00e9sente dans la prochaine construction.<\/p>\n\n\n\n

Axe d’une sym\u00e9trie orthogonale – d’une homologie harmonique – dans le mod\u00e8le KB<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9s deux points \\(A\\) et \\(B\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle horizon, il existe une infinit\u00e9 d’homologies harmoniques \u00e9changeant les deux points d’axe passant par \\(P\\) le p\u00f4le de \\((AB)\\), mais deux seulement laissent le cercle horizon invariant, dont une a son centre \u00e0 l’ext\u00e9rieur du cercle : c’est celle que l’on veut construire. <\/p>\n\n\n\n

Soient donc \\(A\\) et \\(B\\) \u00e0 l’int\u00e9rieur du cercle horizon, on construit \\(P\\) son p\u00f4le par rapport au cercle, puis \\(M\\) et \\(N\\) les intersections de \\((PA)\\) et \\((PB)\\) avec le cercle et \\(Q\\) l’intersection de \\((MN)\\) et \\((AB)\\). Alors l’axe de la KB<\/strong>-sym\u00e9trie orthogonale est la polaire de \\(Q\\) par rapport au cercle (en rouge ci-contre). Ce sera aussi la KB<\/strong>-m\u00e9diatrice de \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

L’autre homologie harmonique \u00e9changeant \\(A\\) et \\(B\\) et laissant le cercle horizon invariant est celle d’axe \\((PQ)\\) et de p\u00f4le l’intersection \\(I\\)de \\((AB)\\) et de la polaire de \\(Q\\). Cela ne peut pas \u00eatre une sym\u00e9trie orthogonale pour KB<\/strong>, mais \\(I\\) est le KB<\/strong>-milieu de \\(A\\) et \\(B\\), et donc le centre de sym\u00e9trie des deux points.<\/p>\n\n\n\n

L’orthogonalit\u00e9 dans KB<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Perpendiculaire<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La perpendiculaire \u00e0 la droite ou au segment \\([AB]\\) issue de \\(M\\) est la trace dans le cercle horizon de la droite passant par \\(M\\) et le p\u00f4le \\(Pab\\) de \\((AB)\\) par rapport au cercle. Ci-contre on illustre aussi la sym\u00e9trie de l’orthogonalit\u00e9 (cons\u00e9quence de l’homologie harmonique) : le p\u00f4le de cette perpendiculaire est sur la droite euclidienne \\((AB)\\) et donc la droite \\((AB)\\) est bien elle aussi perpendiculaire \u00e0 sa perpendiculaire : la relation d’orthogonalit\u00e9 est sym\u00e9trique.<\/p>\n\n\n\n

Perpendiculaire commune<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La perpendiculaire commune \u00e0 deux droites ou segments \\((AB)\\) et \\((CD)\\) est aussi bien la trace sur l’horizon de leur droite des p\u00f4les que la polaire de leur intersection euclidienne.<\/p>\n\n\n\n

Quand les droites hyperboliques \\((AB)\\) et \\((CD)\\) sont s\u00e9cantes ou parall\u00e8les, elles n’ont pas de perpendiculaires communes et la droite euclidienne \\((P_{ab}P_{cd})\\) ne coupe pas – respectivement est tangente – au cercle horizon.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Sym\u00e9trie orthogonale<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ci-dessous \\(I’=s_{AB}(I)\\) et \\(M’=s_{AB}(M)\\). Dans cette figure, on peut v\u00e9rifier que
\u2022 l’image d’un demi-plan est un demi-plan (la sym\u00e9trie orthogonale hyperbolique est encore un pliage, comme dans le cas euclidien).
\u2022 l’image du point id\u00e9al \\(I\\) est le point id\u00e9al \\(I’\\).
\u2022 les seules droites globalement invariantes sont les perpendiculaires \u00e0 l’axe (qui donc passent par le p\u00f4le \\(P_{ab}\\) de la droite \\((AB)\\).
\u2022 Quand l’axe \\((AB)\\) passe par le centre du cercle, son p\u00f4le est \u00e0 l’infini et la KB-sym\u00e9trie orthogonale est alors la sym\u00e9trie orthogonale euclidienne usuelle (car une homologie harmonique dont le p\u00f4le est \u00e0 l’infini est une sym\u00e9trie orthogonale)<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Les cercles de KB <\/h2>\n\n\n\n

KB-distance<\/strong><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Historiquement, c’est \u00e0 Cayley<\/a> que l’on doit (1859) l’introduction de la distance suivante, construite sur le bi-rapport, \u00e0 l’int\u00e9rieur d’une conique qui fait de l’int\u00e9rieur de cette conique, une g\u00e9om\u00e9trie hyberbolique. Ce r\u00e9sultat a r\u00e9ellement \u00e9t\u00e9 achev\u00e9 en 1871 par Klein, en particulier avec le mod\u00e8le que l’on \u00e9tudie ici :<\/p>\n\n\n\n\\(d(A,B) = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\left\\vert ln \\left(\\frac{AU}{AV} : \\frac{BU}{BV}\\right) \\right \\vert\\)\n\n\n\n

C’est celle que l’on utilise pour le disque de KB<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

KB-cercle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Comme toujours, il y a deux approches du cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\).
\u2022 L’approche m\u00e9trique, celle de la ligne de niveau \\(d_{KB}(O,M)=d_{KB}(O,A)\\)
\u2022 L’approche g\u00e9om\u00e9trique, le lieu des sym\u00e9triques \\(M\\) de \\(A\\) dans toutes les sym\u00e9tries passant par \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n

Par les deux approches, il est imm\u00e9diat qu’un KB<\/strong>-cercle de centre le centre \\(O_{hz}\\) du cercle horizon passant par un point \\(A\\) est le cercle euclidien. En effet les KB<\/strong>-sym\u00e9tries d’axe passant par \\(O_{hz}\\) sont les sym\u00e9tries euclidiennes. De m\u00eame \\(O_{hz}U=O_{hz}V\\) sur la droite \\((O_{hz}A)\\) comme sur la droite \\((O_{hz}M)\\) et donc \\(d_{KB}(O_{hz},M)=O_{hz}M)\\) et \\(d_{KB}(O_{hz},A)=O_{hz}A\\). Autrement dit la ligne de niveau \\(d_{KB}(O_{hz},M)=d_{KB}(O_{hz},A)\\) s’\u00e9crit, avec la distance euclidienne, \\(O_{hz}M=O_{hz}A\\) , le KB<\/strong>-cercle de centre \\(O_{hz}\\) est le cercle euclidien.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Alors, le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) peut se construire par conjugaison avec un centre de centre \\(O_{hz}\\). pour cela on construit une macro M\u00e9diatrice avec \\(O_{hz}\\). L’image de \\(A\\) par la sym\u00e9trie associ\u00e9e \u00e0 cette m\u00e9diatrice est not\u00e9e ci-dessus \\(A’\\). L’image du cercle cherch\u00e9 est le cercle de centre \\(O_{hz}\\) passant par \\(A’\\). Un point \\(M\\) de ce cercle a pour image – mais aussi provient – de son sym\u00e9trique \\(M’\\). Le cercle cherch\u00e9 est le lieu de \\(M’\\) quand \\(M\\) d\u00e9crit le cercle euclidien. C’est une ellipse euclidienne. En pratique, pour faire la macro KB<\/strong>-cercle, on n’utilise pas ce lieu. En \u00e9tudiant un peu plus cette figure on construit l’ellipse avec un nombre d’objets interm\u00e9diaires optimis\u00e9.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

KB-bissectrices<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On reprend la technique utilis\u00e9e pour les bissectrices dans DP<\/strong> : on prolonge les segments d’un triangle en demi-droites pour utiliser un triangle avec deux points id\u00e9aux. Alors la bissectrice d’un angle du triangle est la hauteur du triangle id\u00e9al associ\u00e9 car celui-ci est isoc\u00e8le. On peut alors construire facilement les configurations usuelles comme les cercles exinscrits ci-contre.<\/p>\n\n\n\n

Pour les trilat\u00e8res, les constructions sont plus simples \u00e0 r\u00e9aliser que dans DP<\/strong> car le mod\u00e8le \u00e9tant intimement projectif, on peut travailler directement dans son plongement projectif au plan tout entier avec les m\u00eames outils<\/em>. <\/p>\n\n\n\n

Par exemple, un faisceau de droites est toujours \u00ab\u00a0\u00e0 centre\u00a0\u00bb dans le plongement projectif.<\/p>\n\n\n\n

Ci-dessous, quelques illustrations autour du point de Gergonne d’un KB<\/strong>-trilat\u00e8re.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n