{"id":144,"date":"2021-10-15T15:23:19","date_gmt":"2021-10-15T11:23:19","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=144"},"modified":"2025-12-20T18:37:23","modified_gmt":"2025-12-20T14:37:23","slug":"plan-de-moulton-triangles-bi-orthocentriques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=144","title":{"rendered":"Plan de Moulton &#8211; triangles bi-orthocentriques"},"content":{"rendered":"\n<p>Dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons vu plusieurs configurations \u00e0 cinq hauteurs pour lesquelles, il ne pouvait y avoir deux orthocentres, avec un argument \u00e9l\u00e9mentaire : une hauteur ne peux pas \u00eatre perpendiculaires \u00e0 deux droites non parall\u00e8les. Mais cet argument s&rsquo;il est tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral, peut aussi ne pas s\u2019appliquer \u00e0 certains cas biens particuliers. Voyons un premier exemple \u00e9l\u00e9mentaire.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Un triangle bi-orthocentrique particulier<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"760\" height=\"850\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Prelude-BiOrtho-Part-Rep.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2386\" style=\"width:385px;height:431px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Prelude-BiOrtho-Part-Rep.jpg 760w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Prelude-BiOrtho-Part-Rep-268x300.jpg 268w\" sizes=\"(max-width: 760px) 100vw, 760px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><br>Lors du \u00ab\u00a0Cas 3\u00a0\u00bb de la page pr\u00e9c\u00e9dente (orthocentre r\u00e9alis\u00e9 d\u00e8s que \\(x_C= \\displaystyle \\frac{3x_A}{2}\\)), illustr\u00e9 ci-contre, nous avons vu que \\(h_{ACF}\\) ne peux pas \u00eatre un orthocentre car il faudrait que la hauteur issue de \\(A\\), perpendiculaire \u00e0 \\((CB)\\) soit aussi orthogonale \u00e0 \\((CF)\\), ce qui est impossible, en particulier car \\(x_F = 2x_B\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Impossible \u2026 sauf si \\(x_B=0\\) !<\/p>\n\n\n\n<p>Or, dans ce cas &#8211; soit \\(B\\) sur l\u2019axe des ordonn\u00e9es &#8211; l\u2019orthocentre \u00e0 abscisse positive existe toujours, mais en plus, m\u00eame si la droite de Moulton \\((AB)\\) est bien \u00e0 pente n\u00e9gative, le triangle est aussi euclidien, et comme tel admet aussi un orthocentre euclidien. <\/p>\n\n\n\n<p>Avec \\(x_B=0\\), les coordonn\u00e9es des intersections \\(x_{hAC}\\) et \\(x_{hAB}\\) des hauteurs de Moulton se simplifient comme indiqu\u00e9 ci-contre. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure dynamique d&rsquo;un premier M-triangle bi-orthocentrique<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1G2HM2ZKqWfml_ekIWgcDQ0ZAtNhnQh-v\/view?usp=drive_link\" style=\"width:900px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut d\u00e9placer \\(A\\) et \\(C\\) en les laissant dans les \u00abzones vertes\u00bb, et \\(B\\) sur l\u2019axe vertical.<br>Penser \u00e0 sortir <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) du magn\u00e9tisme la droite solution de l\u2019orthocentre d\u2019abscisse positive.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir la<a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1zp7ZlCEPQzWboGE5ZMc_C5riv-92bi0G\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton21_BiOrtho_SurAxe.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"> figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Triangle bi-orthocentrique plus g\u00e9n\u00e9ral<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"355\" height=\"411\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/BiOrthoGene-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2390\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/BiOrthoGene-petit.jpg 355w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/BiOrthoGene-petit-259x300.jpg 259w\" sizes=\"(max-width: 355px) 100vw, 355px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On reste sur une figure proche du \u00ab\u00a0Cas 3\u00a0\u00bb de la page pr\u00e9c\u00e9dente, rappel\u00e9 ci-dessus : une droite \\((AB)\\) \u00e0 pente n\u00e9gative et les deux autres c\u00f4t\u00e9s \u00e0 pente positive, avec, bien \u00e9videmment, une configuration \u00e0 cinq hauteurs. Une fa\u00e7on simple de construire un triangle avec deux orthocentres consiste \u00e0 partir d\u2019une figure ayant d\u00e9j\u00e0 un orthocentre euclidien et chercher les conditions pour les hauteurs suppl\u00e9mentaires, issues de \\(A\\) et \\(C\\) soient s\u00e9cantes sur l\u2019unique hauteur issue de \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Une solution est possible dans le contexte suivant : <br>&#8211; <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A, B, C\\) et l\u2019orthocentre euclidien de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) sont tous \u00e0 abscisse n\u00e9gative. <br>&#8211; La droite <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AB)\\) est \u00e0 pente n\u00e9gative, les droites <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((BC)\\) et <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AC)\\) sont \u00e0 pente positive <br>&#8211; Le triangle de Moulton <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) a deux hauteurs issues de \\(A\\) et \\(C\\).<\/p>\n\n\n\n<p><br>Dans ce contexte,on note <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(h_{2AB}\\) l\u2019intersection de la \u00abseconde\u00bb hauteur (verte) issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) et de la hauteur issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) et <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(h_{2BC}\\) l\u2019intersection de l&rsquo;autre \u00abseconde\u00bb hauteur verte issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) et de la hauteur issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\). <br>Alors on a :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"163\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xh2AB-et-xh2BC-de-BiOrtho-1024x163.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2391\" style=\"width:582px;height:92px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xh2AB-et-xh2BC-de-BiOrtho-1024x163.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xh2AB-et-xh2BC-de-BiOrtho-300x48.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xh2AB-et-xh2BC-de-BiOrtho-768x122.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xh2AB-et-xh2BC-de-BiOrtho.png 1280w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>En \u00e9galant les deux abscisses, on obtient une relation de laquelle on peut exprimer l\u2019ordonn\u00e9e d\u2019un des points<meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"> \\(A\\), <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\), ou <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) en fonction des cinq autres coordonn\u00e9es. En pratique, pour une manipulation dynamique, il n\u2019est pas judicieux de choisir le point <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) car les deux parties \u00e0 deux perpendiculaires d\u00e9pendent directement de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\). Il est pr\u00e9f\u00e9rable de choisir <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) ou <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\). On a choisit le point <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\). Dans ce cas, l\u2019expression de l\u2019ordonn\u00e9e de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) est de <em>Type (1)<\/em> &#8211; notations de la page pr\u00e9c\u00e9dente &#8211; avec les param\u00e8tres suivants :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"87\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene-1024x87.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2393\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene-1024x87.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene-300x26.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene-768x65.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene-1536x131.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-BiOrtho-Gene.png 1830w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1zEKz5Nl1OvO2Mwxvaixw6Ode1kIWWUgS\/view?usp=drive_link\" style=\"width:910px;height:580px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>D\u00e9placer \\(A\\) sur sa courbe, \\(C\\) ou encore \\(B\\), mais lentement et avec mod\u00e9ration &#8230; car tout d\u00e9pend de \\(B\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1pwA9lJj2q9s7JLa_SAa81BKBBAuTfzjQ\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton22_BiOrtho_Gene.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dans la page pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons vu plusieurs configurations \u00e0 cinq hauteurs pour lesquelles, il ne pouvait y avoir deux orthocentres, avec un argument \u00e9l\u00e9mentaire : une hauteur ne peux pas \u00eatre perpendiculaires \u00e0 deux droites non parall\u00e8les. 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