{"id":142,"date":"2021-10-15T15:22:29","date_gmt":"2021-10-15T11:22:29","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=142"},"modified":"2025-12-20T18:28:32","modified_gmt":"2025-12-20T14:28:32","slug":"plan-de-moulton-triangles-orthocentriques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=142","title":{"rendered":"Plan de Moulton &#8211; Les triangles orthocentriques alg\u00e9briques"},"content":{"rendered":"\n<p>Quand on manipule la figure g\u00e9n\u00e9rale des hauteurs d\u2019un triangle de la page pr\u00e9c\u00e9dente, on observe que souvent, hors des cas que l\u2019on a dit \u00abg\u00e9om\u00e9triques\u00bb, les hauteurs ne deviennent concourantes que si le triangle devient rectangle. N\u00e9anmoins, on rencontre aussi des situations o\u00f9 l\u2019on arrive \u00e0 produire, empiriquement &#8211; et tr\u00e8s localement &#8211; quelques triangles orthocentriques. C\u2019est ce que l\u2019on se propose d\u2019\u00e9tudier ici.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">\u00c9quation des hauteurs<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour commencer, pr\u00e9cisons les diff\u00e9rentes \u00e9critures des (parties) des hauteurs d\u2019un triangle de Moulton. On se donne un point \\(A\\) et une droite \\((BC)\\). L\u2019\u00e9quation de la perpendiculaire \u00e0 \\((BC)\\) passant par \\(A\\), ou une partie de la hauteur &#8211; selon les demi-plans d\u00e9limit\u00e9s par l\u2019axe des ordonn\u00e9es &#8211; est de l\u2019une des deux formes :<\/p>\n\n\n\n<p> \\((Eq_1) \\quad y= \\displaystyle k\\frac{x_c-x_B}{y_B-y_C}(cx-x_A)+y_A\\)           ou              \\((Eq_2) \\quad y= \\displaystyle k\\frac{2x_c-x_B}{y_B-y_C}(x-x_A)+y_A\\)  <\/p>\n\n\n\n<p>o\u00f9 \\(k\\) et \\(c\\) prennent les valeurs \\(\\frac{1}{2}, 1, 2\\)<\/p>\n\n\n\n<p>Pour une droite \u00e0 pente positive, une perpendiculaire est \u00e0 pente n\u00e9gative, il y a deux \u00e9critures alg\u00e9briques selon le demi-plan. En pratique, il y a 7 \u00e9critures formelles diff\u00e9rentes de type <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((Eq_1)\\). Le cas des droites \u00e0 pente n\u00e9gative ajoute la seconde \u00e9criture \\((Eq_2)\\), non sym\u00e9trique en \\(B\\) et \\(C\\) dans le cas o\u00f9 \\(B\\) \u00e0 abscisse n\u00e9gative et \\(C\\) \u00e0 abscisse positive. <\/p>\n\n\n\n<p>Au final, on aboutit \u00e0 9 expressions possibles pour les hauteurs, et donc 81 \u00e9critures diff\u00e9rentes de l\u2019intersection de deux hauteurs. L\u2019objectif de cette section n\u2019est pas l&rsquo;\u00e9tude exhaustive de toutes ces possibilit\u00e9s, d\u2019autant que l\u2019on s\u2019int\u00e9resse \u00e0 trois hauteurs.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais surtout, la g\u00e9om\u00e9trie dynamique permet de rep\u00e9rer rapidement les configurations produisant des r\u00e9sultats int\u00e9ressants. On se propose donc de rep\u00e9rer ces configurations, puis de les \u00e9tudier alg\u00e9briquement et produire les figures dynamiques associ\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Triangles orthocentriques \u00e0 trois pentes n\u00e9gatives<\/h2>\n\n\n\n<p>En terme d\u2019expression des hauteurs, le cas le plus simple \u00e0 traiter est celui d\u2019un triangle ayant ses trois c\u00f4t\u00e9s \u00e0 pentes n\u00e9gatives car les trois hauteurs sont alors des droites \u00e0 pentes positives, donc des droites euclidiennes. Comme transition avec le cas \u00ab\u00a0g\u00e9om\u00e9trique\u00a0\u00bb de la page pr\u00e9c\u00e9dente, nous allons conserver dans un premier temps un regard g\u00e9om\u00e9trique. Nous verrons toutefois que celui-ci perd rapidement de sa pertinence.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Une premi\u00e8re approche, partiellement g\u00e9om\u00e9trique<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"480\" height=\"542\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-non-par.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2334\" style=\"width:319px;height:360px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-non-par.jpg 480w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-non-par-266x300.jpg 266w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><em><sub>Illustration dans le cas o\u00f9 il n&rsquo;y a pas d&rsquo;orthocentre<\/sub><\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans la figure que l\u2019on \u00e9tudie ici, le triangle est \u00e0 trois pentes n\u00e9gatives, avec \\(x_A &lt; 0, \\, x_C &gt; x_B &gt;0\\). Les hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\) sont orthogonales \u00e0 la partie positive du c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 et celle issue de \\(A\\) \u00e0 la partie n\u00e9gative de son c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9. L\u2019orthocentre cherch\u00e9 est alors \u00e0 abscisse n\u00e9gative.<\/p>\n\n\n\n<p>L\u2019approche g\u00e9om\u00e9trique consiste \u00e0 chercher un triangle \\(A_mBC_m\\) pour lequel les trois hauteurs du triangle de Moulton \\(ABC\\) &#8211; qui sont des droites euclidiennes &#8211; soit aussi les hauteurs euclidiennes de ce triangle.La parall\u00e8le passant par \\(B\\) \u00e0 la partie n\u00e9gative de la M-droite \\((BC)\\) coupe la hauteur de \\(ABC\\) issue de \\(C\\) en \\(C_m\\).<\/p>\n\n\n\n<p>La droite euclidienne support de partie positive de la M-droite \\((AB)\\) coupe la hauteur de \\(ABC\\) issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) en\\(A_m\\). Le point <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A_e\\) (\u00e0 demi-abscisse de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\)) est sur le c\u00f4t\u00e9 <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\([BA_m]\\) de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A_mBC_m\\) et sur le support de la partie positive de la M-droite <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AC)\\). Alors, par construction du triangle <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A_mBC_m\\) son orthocentre euclidien est aussi celui du triangle de Moulton <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) si et seulement si <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((A_eC) \/\/ (A_mC_m)\\).<\/p>\n\n\n\n<p>On cherche donc les pentes de ces deux droites et on se propose de chercher le lieu du point <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) (avec la contrainte initiale <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(x_C &gt; x_B &gt;0\\)) qui r\u00e9alise l\u2019\u00e9galit\u00e9 de ces deux expressions.<\/p>\n\n\n\n<p>La pente de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((A_eC)\\) est <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(\\displaystyle \\frac{2(y_A-y_C)}{(x_A-2x_C)}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>En notant \\(B(x,y)\\), dans le cadre des contrainte de la figure \u00e9tudi\u00e9e, la pente de la droite \\((A_mC_m)\\) est :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"75\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Pente-Fig12-1024x75.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2335\" style=\"width:662px;height:48px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Pente-Fig12-1024x75.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Pente-Fig12-300x22.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Pente-Fig12-768x56.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Pente-Fig12.png 1534w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>En \u00e9galant les deux pentes, on obtient le r\u00e9sultat suivant que l&rsquo;on pr\u00e9sente dans un contexte plus g\u00e9n\u00e9ral applicable \u00e0 tous les calculs effectu\u00e9s sur cette page.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"390\" height=\"481\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-Par-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2338\" style=\"width:259px;height:319px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-Par-petit.jpg 390w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-12-Par-petit-243x300.jpg 243w\" sizes=\"(max-width: 390px) 100vw, 390px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Compte tenu des \u00e9critures g\u00e9n\u00e9rales des hauteurs et des droites de Moulton, tr\u00e8s similaires (\u00e0 un coefficient \\(k\\) pr\u00e8s prenant trois valeurs), tout ce que l\u2019on va \u00e9tudier dans la suite s\u2019inscrit dans un r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ral o\u00f9 les lieux solutions seront de ces seules deux formes : <\/p>\n\n\n\n<p>\\(Type \\; (1) \\quad y = \\displaystyle \\frac{a(x)-\\sqrt{a(x)^2-2d(x)c(x)}}{d(x)} \\;\\)  ou  \\(\\; Type \\; (2) \\quad y = \\displaystyle \\frac{a(x)+\\sqrt{a(x)^2-2d(x)c(x)}}{d(x)}\\)<\/p>\n\n\n\n<p>En posant \\(a(x)=(x_A-2x_C)(3x_A-2x)+4(y_A^2-y_C^2), \\quad d(x) = 8(y_A-y_C)\\) &#8211; ici \\(d\\) est fixe, et<br>\\(c(x) = 4x_Ay_A(x-x_C)+y_C(3x_A-2x_C)(x_A-2x)+y_Ay_C(y_A-y_C)\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Alors \\(B(x,y)\\) r\u00e9alise un triangle orthocentrique de Moulton \\(ABC\\) pour l\u2019\u00e9criture de <em>Type (1)<\/em> ci-dessus, avec la contrainte initiale de la figure <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(x_C &gt; x_B &gt;0\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Dans la figure suivante, on peut agir sur les points de base, y compris <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) qui est aimant\u00e9 par le lieu solution &#8211; en bleu dans l&rsquo;illustration &#8211; ce qui permet d&rsquo;explorer les cas solutions (\\(B\\) sur le lieu) et les cas non solution, quand les droites \\((A_eC)\\) et \\((A_mC_m)\\) ne sont pas parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/15fsnAi6oXHfAVlYNRd1d3kOFHRaoD6eD\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Premier exemple de triangle orthocentrique \u00abalg\u00e9brique\u00bb. \\(B\\) \u00e0 abscisse positive.<br>D\u00e9placer les points \\(A, B\\) ou \\(C\\), en respectant les contraintes pour lesquelles la figure a \u00e9t\u00e9 calcul\u00e9e.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/14IeLzX8eBbqmKPa4D5kWBpW46-5uuXoJ\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton14_TRortho_Fig12.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p>Cette approche g\u00e9om\u00e9trique a \u00e9t\u00e9 propos\u00e9e pour montrer qu\u2019on peut chercher un triangle euclidien pour lequel les orthocentres euclidien et de Moulton vont co\u00efncider avec une condition g\u00e9om\u00e9trique particuli\u00e8re \u00e0 r\u00e9soudre. Mais compte tenu de l\u2019expression de la pente de \\((A_mC_m)\\) calcul\u00e9e plus haut, on voit qu\u2019il peut \u00eatre tout aussi efficace de chercher les coordonn\u00e9es des intersections des M-hauteurs prises deux \u00e0 deux et de les \u00e9galiser. Nous allons m\u00eame voir que dans certains cas, de vraies surprises de simplification nous attendent.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Travers\u00e9e de l\u2019axe des ordonn\u00e9es par le point \\(B\\)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On poursuit sur la m\u00eame configuration de trois droites \u00e0 pentes n\u00e9gatives, mais en pla\u00e7ant \\(B\\) \u00e0 gauche de l\u2019axe des ordonn\u00e9es, soit \\(x_A &lt; x_B &lt;0\\) et \\(x_C &gt;0\\), avec les contraintes associ\u00e9es sur les ordonn\u00e9es. Les hauteurs issues de \\(B\\) et \\(C\\) sont \u00e0 nouveau orthogonales \u00e0 la partie positive de leur c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 respectif, et celle issue de \\(A\\) \u00e0 la partie n\u00e9gative de son c\u00f4t\u00e9 oppos\u00e9 \\((BC)\\). Mais les \u00e9quations changent et les r\u00e9sultats sont sensiblement diff\u00e9rents.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"154\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xhAB-xhAC-fig-12_2-1024x154.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2343\" style=\"width:591px;height:89px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xhAB-xhAC-fig-12_2-1024x154.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xhAB-xhAC-fig-12_2-300x45.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xhAB-xhAC-fig-12_2-768x116.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/xhAB-xhAC-fig-12_2.jpg 1260w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>On commence par calculer les abscisses des intersections \\(h_{AB}\\) et \\(h_{AC}\\) des hauteurs issues de \\(A\\) et \\(B\\) d\u2019une part et celles issues de \\(A\\) et \\(C\\) d\u2019autre part.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>En \u00e9galisant ces deux abscisses, on a une relation entre les coordonn\u00e9es des trois points. On peut chercher celles d\u2019un point en fonction des quatre autres. Commen\u00e7ons, dans la continuit\u00e9 de ce qui pr\u00e9c\u00e8de, par \\(B\\) en fonction de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) et <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\). <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B(x, y)\\) est alors solution d\u2019une relation de <em>Type (2)<\/em> avec :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"902\" height=\"81\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-Fig-12_2-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2342\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-Fig-12_2-petit.jpg 902w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-Fig-12_2-petit-300x27.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-Fig-12_2-petit-768x69.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 902px) 100vw, 902px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"542\" height=\"545\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-illustr1-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2344\" style=\"width:330px;height:332px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-illustr1-petit.jpg 542w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-illustr1-petit-298x300.jpg 298w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-illustr1-petit-150x150.jpg 150w\" sizes=\"(max-width: 542px) 100vw, 542px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Sur l\u2019illustration on a laiss\u00e9 le lieu des points \\(B(x, y)\\) mais les contraintes de la figure limitent, sur cette courbe, \u00e0 ne prendre \\(B\\) qu\u2019entre l\u2019axe des ordonn\u00e9es et la droite issue de \\(AB\\), en bleu sur la figure, qui est telle que le point \\(o_{AB}\\)est sur la hauteur issue de \\(C\\), donc position limite pour que la hauteur soit prise sur la partie positive de la M-droite <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AB)\\). La limite de la pente de la droite <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AB)\\) est donn\u00e9e par \\(p_{AB} min = \\displaystyle \\frac{y_A-y_C+\\sqrt{(y_A-y_C)^2-2x_Ax_C}}{2x_A}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Ainsi \\(B\\) est limit\u00e9 \u00e0 \u00eatre, sur la courbe, entre cette droite et l\u2019axe des ordonn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n<p>Avant de proposer cette figure \u00e0 la manipulation, signalons  d&rsquo;autres contraintes assez sp\u00e9cifiques qui n&rsquo;apparaissent pas sur l&rsquo;illustration ci-contre. Il s\u2019agit du cas o\u00f9 la courbe rencontre la zone verte \\(pdp_{AC}\\) avant la droite \u00e0 pente minimale. Alors la partie de la courbe avant la droite bleue et apr\u00e8s la zone verte n\u2019est pas solution pour le point \\(B\\) tout simplement parce que la perpendiculaire \u00e0 la partie droite de la M-droite \\((AC)\\) n\u2019existe pas.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans les illustrations suivantes, \u00e0 gauche, le cas ordinaire o\u00f9 il y a un orthocentre. \u00c1 droite, \\(B\\) \u00e9tant en dehors de \\(pdp_{AC}\\), il n\u2019y a pas de perpendiculaire \u00e0 la partie positive de la droite \\((AC)\\). On remarque pourtant que le calcul de \\(x_{hAB}\\) est encore effectu\u00e9, et qu\u2019il donne le bon r\u00e9sultat. En effet, le calcul est alg\u00e9brique et est effectu\u00e9 dans le logiciel, comme indiqu\u00e9 par les formules, ind\u00e9pendamment de l\u2019existence effective des M-perpendiculaires. Il n\u2019y a donc pas d\u2019incoh\u00e9rence, juste un calcul alg\u00e9brique permanent. La partie mesur\u00e9e, elle, n\u2019existe pas, car il n\u2019y a pas de perpendiculaire r\u00e9elle.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"809\" height=\"385\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cas-Part-fig-13-petit-1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2347\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cas-Part-fig-13-petit-1.jpg 809w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cas-Part-fig-13-petit-1-300x143.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cas-Part-fig-13-petit-1-768x365.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 809px) 100vw, 809px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Manipulation de la figure \u00ab\u00a0lieu de B\u00a0\u00bb<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Hka5tWkqyD40OpJ9cBRl-U_mOaeqw97f\/view?usp=drive_link\" style=\"width:900px;height:570px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>En d\u00e9pla\u00e7ant \\(C\\) lentement, \\(B\\) reste sur la courbe, sinon, on peut remettre facilement \\(B\\) sur la courbe. On peut explorer en d\u00e9tail les diff\u00e9rente situations expos\u00e9es<meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton15_TRortho_Fig13a.dgp\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton15_TRortho_Fig13a.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la <\/a><a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1RQ1ynRGu8PayULZRQoZsKu3vFgjyKbyG\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton15_TRortho_Fig13a.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p>Clairement, le lieu de \\(B\\) est assez limit\u00e9 et tr\u00e8s contraint. M\u00eame si c&rsquo;est math\u00e9matiquement \u00e9quivalent, d\u2019un point de vue de la dynamique des figures, il est plus int\u00e9ressant, dans l\u2019\u00e9galit\u00e9 \\(x_{hAB}=x_{hAC}\\), de chercher le lieu des points \\(C\\) en fonction de \\(A\\) et \\(B\\) . On trouve alors les valeurs suivantes, pour une formule de <em>Type (1)<\/em> :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"903\" height=\"361\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-cas-C-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2345\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-cas-C-petit.jpg 903w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-cas-C-petit-300x120.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-13-cas-C-petit-768x307.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 903px) 100vw, 903px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em><strong>\u00e0 gauche<\/strong> : \\(C\\) n&rsquo;est pas sur la courbe, pas d&rsquo;orthocentre. <strong>Au centre<\/strong> : \\(C\\) est sur la courbe, les deux points sont confondus,, il y a orthocentre.<br><strong>\u00e0 droite<\/strong> : il y a une nouvelle contrainte, \\(C\\) doit \u00eatre en dessous de \\(psp_{AB}\\) sinon la hauteur issue de \\(C\\) coupe la partie n\u00e9gative de la droite \\((AB)\\) alors que les calculs ont \u00e9t\u00e9 faits pour la partie positive.<\/em><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1q3ERce4kBt7CvZOsxuz52fgxMbrs9EgQ\/view?usp=drive_link\" style=\"width:840px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Comme pour les autres figures, on peut d\u00e9coller \\(C\\)  de la courbe. <br>En d\u00e9pla\u00e7ant lentement \\(A\\)  ou \\(A\\) , \\(C\\)  reste coll\u00e9 \u00e0 la courbe solution.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1ZeLkBk9gnWkhFtmdwx9paPOkPlggKdnP\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton16_TRortho_Fig13C.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Triangles orthocentriques \u00e0 une seule pente de Moulton n\u00e9gative<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"850\" height=\"436\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TRortho-1-pente-Neg-Intro-OK.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2354\" style=\"width:502px;height:257px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TRortho-1-pente-Neg-Intro-OK.jpg 850w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TRortho-1-pente-Neg-Intro-OK-300x154.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/TRortho-1-pente-Neg-Intro-OK-768x394.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 850px) 100vw, 850px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Comme on a vu, \u00e0 la page pr\u00e9c\u00e9dente, que le cas \u00e0 deux pentes n\u00e9gatives se traite simplement par des arguments g\u00e9om\u00e9triques, il reste \u00e0 \u00e9tudier le cas o\u00f9 un triangle a une seule pente de Moulton n\u00e9gative. Ce sera la droite \\((AB)\\). Pour les calculs, on se fixe \\(x_A&lt;0\\) et \\(x_B&gt;0\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Il y a alors deux configurations g\u00e9n\u00e9riques possibles : soit \\(y_C&gt;y_A\\), soit  \\(y_C&lt;y_B\\), ce dernier cas \u00e9tant tr\u00e8s riche car il contient des situations \u00e0 cinq hauteurs.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans chacune de ces deux situations, on peut chercher un orthocentre \u00e0 abscisse n\u00e9gative ou \u00e0 abscisse positive, ce qui donne a priori quatre cas \u00e0 \u00e9tudier.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas 1 &#8211; \\(C\\) au dessus de \\(A\\) et orthocentre \u00e0 abscisse n\u00e9gative<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"242\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Calculs-fig-16-1024x242.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2357\" style=\"width:575px;height:135px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Calculs-fig-16-1024x242.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Calculs-fig-16-300x71.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Calculs-fig-16-768x181.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Calculs-fig-16.jpg 1262w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>C\u2019est le cas le plus simple \u00e0 envisager, et il va produire une solution tr\u00e8s simple, a priori assez inattendue. Les \u00e9quations des hauteurs de Moulton donnent pour les abscisses de leurs intersections deux \u00e0 deux les expressions ci-contre.<\/p>\n\n\n\n<p>L&rsquo;\u00e9galit\u00e9 \\(x_{hAC}=x_{hAB}\\) aboutit \u00e0 l&rsquo;\u00e9quation factoris\u00e9e suivante :<br>\\((3x_B-x_C)(y_B-yC)^2(x_A^2+2x_Bx_C-x_A(2x_B+x_C)+(y_A-y_B)(y_A-y_C)) = 0\\)<\/p>\n\n\n\n<p>La solution \\(x_C=3x_B\\) est la solution g\u00e9n\u00e9rale que l&rsquo;on va mettre en \u0153uvre. L&rsquo;\u00e9galit\u00e9 \\(y_B=y_C\\) ne correspond pas \u00e0 la situation. Le troisi\u00e8me terme de la factorisation aboutit \u00e0 un angle droit en \\(A\\) car on cherche un orthocentre \u00e0 abscisse n\u00e9gative.<\/p>\n\n\n\n<p>On a choisit d\u2019\u00e9crire le cas \\(x_C=3x_B\\)  sous la forme \\(x_B=\\frac{x_C}{3}\\)  (soit \\(B\\) point construit \u00e0 partir de \\(C\\)). La figure est suffisamment g\u00e9n\u00e9rale pour chercher un argument g\u00e9om\u00e9trique. La preuve g\u00e9om\u00e9trique sera propos\u00e9e dans le cas dual de cette configuration, un peu plus loin. Elle est n\u00e9anmoins claire dans l&rsquo;illustration ci-dessous. La limite de l\u2019ordonn\u00e9e de \\(B\\) est le cas o\u00f9 l\u2019orthocentre du triangle est d\u2019abscisse nulle (car on est dans le cas o\u00f9 elle est n\u00e9gative). L\u2019ordonn\u00e9e \\(yMax\\) est donn\u00e9e, elle aussi, par une formule de <em>Type (2)<\/em> avec les constantes suivantes :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"869\" height=\"315\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/yMax-Fig-16-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2358\" style=\"width:805px;height:292px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/yMax-Fig-16-petit.jpg 869w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/yMax-Fig-16-petit-300x109.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/yMax-Fig-16-petit-768x278.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 869px) 100vw, 869px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On voit bien l&rsquo;argument euclidien sur l&rsquo;illustration du centre. A droite quand \\(y_B=yMax\\), l&rsquo;orthocentre se place sur l&rsquo;axe des ordonn\u00e9es.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure \u00ab\u00a0Triangle orthocentrique avec un seul c\u00f4t\u00e9 de Moulton \u00e0 pente n\u00e9gative\u00a0\u00bb (1\/2)<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1sChYkLlpfVP83ejirFFIXG68EP7YBrWF\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>On peut agir sur \\(A\\), \\(B\\) et \\(C\\), en respectant les conditions de la figure.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir la <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/164WxpJ5pDdMQ4bB1Nsb6q5ANZ03G2D3l\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton17_TRortho_Fig16.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas 2 &#8211; \\(C\\) au dessus de \\(A\\) et orthocentre \u00e0 abscisse positive<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On a rassembl\u00e9 dans une m\u00eame illustration toutes les donn\u00e9es de ce cas : d&rsquo;abord les coordonn\u00e9es des intersections des hauteurs prises deux \u00e0 deux. Ensuite, l&rsquo;\u00e9galit\u00e9 \\(x_{hAC}=x_{hAB}\\) aboutit \u00e0 chercher un point en fonction des deux autres. On a choisi, une nouvelle fois, de chercher \\(B\\) en fonction des deux autres points. On trouve une relation \\(y=f(x)\\) de <em>Type (2)<\/em> pour \\(B(x, y)\\) avec les expressions donn\u00e9es ci-dessous.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"362\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17-1024x362.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2359\" style=\"width:815px;height:287px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17-1024x362.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17-300x106.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17-768x272.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17-1536x543.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Les-donne\u0301es-de-la-fig-17.png 1736w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Le lieu de \\(B\\) est la courbe de \\(f\\), bleue ci-dessus. En pratique le \u00ablieu effectif\u00bb sur cette courbe est tr\u00e8s limit\u00e9. Il l\u2019est par la zone rouge \\(psp_{AC}\\) \u00e0 sa droite et par le point \\(B_m \\displaystyle \\left( \\frac{x_C}{3}, f \\left( \\frac{x_C}{3}\\right) \\right)\\) \u00e0 sa gauche, point qui correspond \u00e0 l\u2019orthocentre d\u2019abscisse nulle. <\/p>\n\n\n\n<p>Il n\u2019y a pas \u00e0 prolonger la courbe bleue au del\u00e0 de \\(psp_{AC}\\) (\u00e0 sa droite) car la perpendiculaire \u00e0 <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((AB)\\) issue de \\(C\\) change de branche sur \\((AB)\\)et donc d\u2019expression. Le calcul montre qu\u2019il n\u2019y a pas d\u2019orthocentre pour \\(B\\) au del\u00e0 de \\(psp_{AC}\\) dans cette configuration. Par ailleurs chercher le lieu de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) au lieu de celui de \\(B\\) ne donne pas une plus grande marge puisque le lieu reste limit\u00e9 par la relation \\(x_C &lt; 3x_B\\) pour que l\u2019orthocentre soit \u00e0 abscisse positive.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1nPeBL4QpvByFGugG8FXNS3zHAe-NG2OD\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:550px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Les valeurs num\u00e9riques affich\u00e9es sont celles des valeurs <strong>calcul\u00e9es<\/strong> par les relations donn\u00e9es ci-dessus.<\/em><br><em>Sortir \\(B\\) de la courbe pour v\u00e9rifier que les valeurs sont bien diff\u00e9rentes quand le sommet \\(B\\) n\u2019est pas sur la courbe<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/14MuYj_ntEHLtB6nxHFD62wyxcoETtdwz\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton18_TRortho_Fig17.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas 3 &#8211; \\(C\\) en dessous de \\(B\\) et orthocentre \u00e0 abscisse positive<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"467\" height=\"540\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-a-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2360\" style=\"width:366px;height:423px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-a-petit.jpg 467w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-a-petit-259x300.jpg 259w\" sizes=\"(max-width: 467px) 100vw, 467px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>C\u2019est la situation duale du premier cas de cette section que l\u2019on avait trait\u00e9 alg\u00e9briquement. Nous allons voir une solution g\u00e9om\u00e9trique \u00e9l\u00e9mentaire qui aurait pu \u00eatre faite aussi pour la situation pr\u00e9c\u00e9dente. <\/p>\n\n\n\n<p>Soit \\(E \\displaystyle \\left( \\frac{x_A}{2}, y_A \\right)\\). Compte tenu du contexte, les hauteurs de Moulton du triangle <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) issues de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) et de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) (partie positive) sont les hauteurs euclidiennes du triangle <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(EBC\\). <\/p>\n\n\n\n<p>Il en r\u00e9sulte qu\u2019il ne peut y avoir un orthocentre pour le triangle de Moulton <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) que si la hauteur issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) pour <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(EBC\\) co\u00efncide avec la partie positive de la hauteur de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\).<\/p>\n\n\n\n<p>La partie positive de cette hauteur est de pente \\(\\displaystyle \\frac{2(x_C-x_A)}{y_A-y_C}\\). Elle est orthogonale \u00e0 la droite \\((EC)\\) de pente \\(\\displaystyle \\frac{y_A-y_C}{\\frac{x_A}{2}-x_C}\\) si et seulement si \\(x_C = \\frac{3x_A}{2}\\).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Impossibilit\u00e9 de triangle bi-orthocentrique dans cette configuration<\/em><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"763\" height=\"569\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-nonBi-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2365\" style=\"width:455px;height:340px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-nonBi-petit.jpg 763w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-18-nonBi-petit-300x224.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 763px) 100vw, 763px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Quand \\(A\\) et \\(C\\) sont plac\u00e9s dans les parties \u00e0 deux perpendiculaires, on pourrait chercher une configuration qui donnerait un second orthocentre. Voyons que c\u2019est impossible. Soit <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(F(2x_B,y_B) \\). Les hauteurs de Moulton de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\) et <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) sont la hauteur euclidienne issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(C\\) et la partie positive de la hauteur euclidienne issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(F\\) du triangle euclidien <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ACF\\). Ces droites se coupent en <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(h_{ACF}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>La seule possibilit\u00e9 qu\u2019il y ait un nouvel orthocentre pour <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(ABC\\) serait que la perpendiculaire \u00e0 <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((CB)\\) issue de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) soit aussi perpendiculaire \u00e0 <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\((CF)\\), ce qui est impossible. Ainsi cette configuration ne permet pas de produire un triangle bi-orthocentrique.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Figure dynamique associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1IIWZPpykreCnq2ARt2yfMY7ZXWOzTHEb\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Penser \u00e0 mettre \\(A\\) et \\(C\\) dans les parties vertes \u00e0 deux perpendiculaires.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton19_TRortho_Fig18.dgp\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton19_TRortho_Fig18.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la <\/a><a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1xfFbgClAX6kKnBlFnglYvchGORFnc9HH\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton19_TRortho_Fig18.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">figure<\/a> d&rsquo;un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cas 4 &#8211;  \\(C\\) en dessous de<strong> \\(B\\)<\/strong> et orthocentre \u00e0 abscisse n\u00e9gative<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"417\" height=\"392\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-20-intro-a-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2370\" style=\"width:266px;height:250px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-20-intro-a-petit.jpg 417w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Fig-20-intro-a-petit-300x282.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 417px) 100vw, 417px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Un orthocentre \u00e0 abscisse n\u00e9gative implique qu\u2019il soit sur les parties n\u00e9gatives des hauteurs issues de <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(A\\) et <meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">\\(B\\), et donc que les pieds de ces deux hauteurs (vertes ci-contre) soient \u00e0 abscisses positives. Les intersections de ces hauteurs ont pour abscisses :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignleft size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"580\" height=\"119\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/abscisses-fig-20-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2372\" style=\"width:474px;height:96px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/abscisses-fig-20-petit.jpg 580w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/abscisses-fig-20-petit-300x62.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>En les \u00e9galant, on peut chercher, par exemple, le lieu de \\(A(x, y)\\) \u00e0 partir de \\(B\\) et \\(C\\). C\u2019est une relation de <em>Type (1)<\/em> avec les param\u00e8tres :<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"626\" height=\"130\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-20-petit.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2373\" style=\"width:581px;height:121px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-20-petit.jpg 626w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/adc-fig-20-petit-300x62.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 626px) 100vw, 626px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La partie du lieu pour que l\u2019orthocentre existe est entre l\u2019axe des ordonn\u00e9es et la fronti\u00e8re gauche de la partie \u00e0 deux perpendiculaires pour la droite \\((BC)\\). Au del\u00e0, ce n\u2019est plus la m\u00eame perpendiculaire issue de \\(A\\).<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1NMlctg-6mR62DUk_LScfe_RM2qO0c96I\/view?usp=drive_link\" style=\"width:950px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>A l\u2019ouverture, le point \\(A\\) n\u2019est pas sur la courbe, il n\u2019y a donc pas d\u2019orthocentre. <\/em><br><em>En pla\u00e7ant \\(A\\) sur la courbe, on v\u00e9rifie que les valeurs num\u00e9riques deviennent \u00e9gales.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer ouvrir <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1JYkinc8nfjS21dbqDiJmtHNamwdrxbps\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/NonArg\/Moulton20_TRortho_Fig20.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">la figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quand on manipule la figure g\u00e9n\u00e9rale des hauteurs d\u2019un triangle de la page pr\u00e9c\u00e9dente, on observe que souvent, hors des cas que l\u2019on a dit \u00abg\u00e9om\u00e9triques\u00bb, les hauteurs ne deviennent concourantes que si le triangle devient rectangle. 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