{"id":1407,"date":"2021-11-24T00:19:19","date_gmt":"2021-11-23T20:19:19","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1407"},"modified":"2025-12-15T20:26:54","modified_gmt":"2025-12-15T16:26:54","slug":"ps-equidistantes-et-horicycles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1407","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re – Equidistantes et horicycles"},"content":{"rendered":"\n

Cette page suppose que le lecteur connaisse les notions d’\u00e9quidistante et d’horicycle. Si n\u00e9cessaire, on peut lire les pr\u00e9sentations<\/a> qui ont \u00e9t\u00e9 faites dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Pour ces deux cycles, l’utilisation des calculs r\u00e9alis\u00e9s autour de l’orthogonalit\u00e9 va nous permettre de revenir \u00e0 des constructions bas\u00e9es sur des consid\u00e9rations g\u00e9om\u00e9triques. En effet, l’\u00e9quidistante \u00e0 une droite \\(d\\) passant par un point \\(M\\) est le lieu de l’image de ce point par toutes les droites orthogonales \u00e0 \\(d\\). Une premi\u00e8re macro-construction donnant le pied de la perpendiculaire, une seconde, la sym\u00e9trie centrale d’un point par rapport \u00e0 ce pied, permet, en quelques objets, de construire l’image de ce point \\(M\\).<\/p>\n\n\n\n

Un mot sur les<\/strong> macros utilis\u00e9es<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ce retour \u00e0 \u00ab\u00a0la g\u00e9om\u00e9trie\u00a0\u00bb est l’occasion de parler de la fa\u00e7on dont sont r\u00e9alis\u00e9es ces figures Seules quelques macros sont des macros de \u00ab\u00a0dessins\u00a0\u00bb \u00e0 l’\u00e9cran. On place un point, on trace un segment ou une droite, ou encore un cercle. Toutes les autres macros – et elles sont nombreuses – sont des constructions d’expressions, soit de coordonn\u00e9es, soit de constantes de droites : ces macros n’ont que quelques objets interm\u00e9diaires. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans ce micro-monde, on jongle surtout avec les coordonn\u00e9es d’objets. Ci-contre en voici quelques unes pour se faire une id\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Const. Droite [c,k2]<\/strong>, donne, depuis les coordonn\u00e9es de 2 points \\(A\\) et \\(B\\), les constantes de la droite \\((AB)\\).
ConstMed et CdMilieu<\/strong> : \u00e0 partir des coordonn\u00e9es de deux points, renvoie les constantes de la m\u00e9diatrice, et les coordonn\u00e9es du milieu.
Coord Milieu, Coord Milieu 3 exp<\/strong> : les coordonn\u00e9es du milieu \u00e0 partir soit de deux points (coord) ou de 3 donn\u00e9es (en ajoutant comme donn\u00e9e les constantes de la droite).
Coord par A, oA, uA <\/strong>: renvoie les cordonn\u00e9es [latitude \\(u_A\\), longitude \\(\\theta_A\\)]
Coord Pied Hauteur par CstAB C<\/strong> : il suffit d’avoir les constantes de la droite \\((AB)\\) et les coordonn\u00e9es de \\(C\\) pour avoir les coordonn\u00e9es du pied de la hauteur.<\/p>\n\n\n\n

On l’aura compris, l’essentiel est un travail de coordonn\u00e9es avant de construire les figures finales par quelques macros de dessin. C’est tr\u00e8s efficace, et permet de r\u00e9aliser des figures assez riches qui restent manipulables.<\/p>\n\n\n\n

La sym\u00e9trie orthogonale<\/h2>\n\n\n\n

C’est la simple composition du pied de la hauteur et de la sym\u00e9trie centrale. En voici un r\u00e9sum\u00e9 illustr\u00e9
(copie d’\u00e9cran).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\\(M\\) parcourant le cercle de latitude \\(u_M\\), on voit que le sym\u00e9trique peut sortir de la pseudosph\u00e8re<\/em><\/p>\n\n\n\n

L’\u00e9quidistante<\/h2>\n\n\n\n

Dans la figure suivante, on a ajout\u00e9 la droite \\((MsymM)\\) pour illustrer que l’\u00e9quidistante n’est pas une droite.<\/p>\n\n\n