{"id":138,"date":"2021-10-15T15:21:33","date_gmt":"2021-10-15T11:21:33","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=138"},"modified":"2025-12-20T14:31:01","modified_gmt":"2025-12-20T10:31:01","slug":"plan-de-moulton-droites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=138","title":{"rendered":"Plan de Moulton – Droites"},"content":{"rendered":"\n

Les figures de cette page sont l\u00e9g\u00e8res, mais il y en a sept. S’il y a un message d’erreur, recharger la page.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Dans son article de 1902, Moulton proposait une g\u00e9om\u00e9trie non argu\u00e9sienne avec pour axe de rupture de ses droites l\u2019axe des abscisses, sur la base d\u2019une r\u00e9fraction sur un plan horizontal. Toutefois, depuis, on travaille plut\u00f4t avec une rupture sur l\u2019axe des ordonn\u00e9es. C\u2019est ce que l\u2019on fera ici. <\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Dans ces conditions, le plan de Moulton est alors ainsi d\u00e9fini :
\u2022 Les points du plan sont les points du plan euclidien usuel.
\u2022 La droite de Moulton \\((AB)\\), on dira \u00ab\u00a0la M-droite \\((AB)\\)\u00ab\u00a0, est :
– la droite euclidienne \\((AB)\\) si elle est verticale \\((x_A=x_B)\\).
– la droite euclidienne \\((AB)\\)si cette droite est \u00e0 pente positive.
– Sinon, c\u2019est la droite affine par morceau passant par \\(A\\) et \\(B\\) avec une seule rupture en un point d\u2019abscisse nulle, tel que la pente de la demi-droite des abscisses positives soit le double de la pente de la demi-droite des abscisses n\u00e9gatives.

Dans toutes les illustrations suivantes, l\u2019axe des ordonn\u00e9es est en pointill\u00e9s, gris clair : c\u2019est l\u2019axe de rupture des droites \u00e0 pentes n\u00e9gative<\/em><\/p>\n\n\n\n

Du point de vue de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, ce mod\u00e8le est plus simple \u00e0 impl\u00e9menter que celui de Hilbert. Par exemple, contrairement au cas de Hilbert o\u00f9 il fallait une construction sp\u00e9cifique dans chacun des trois cas de droites (II, IE, EE), selon que les points d\u00e9finissant la droite sont \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur ou \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019ellipse, et dans un cas avec n\u00e9cessit\u00e9 de programmation, ici on peut arriver \u00e0 faire une seule construction incluant les trois cas de la d\u00e9finition. Il en r\u00e9sulte que la M-droite est un v\u00e9ritable objet dynamique au sens o\u00f9 l\u2019on peut construire, par macro-construction, la droite, la parall\u00e8le \u00e0 une droite, on encore l\u2019intersection de deux droites.<\/p>\n\n\n\n

Organisation de la construction g\u00e9n\u00e9rale de la droite (AB)<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Cette toute premi\u00e8re partie est assez technique et n\u2019int\u00e9ressera que les personnes qui souhaitent voir, sur un exemple, comment on peut encapsuler trois cas particuliers de d\u00e9finition dans une seule construction g\u00e9om\u00e9trique. Elle int\u00e9ressera surtout les personnes qui souhaitent en savoir plus sur le fonctionnement interne du logiciel utilis\u00e9. Elle est n\u00e9anmoins pr\u00e9sent\u00e9e en pr\u00e9ambule, pour que le lecteur, m\u00eame sans entrer r\u00e9ellement dans les d\u00e9tails techniques, puisse avoir un aper\u00e7u des m\u00e9thodes utilis\u00e9es, et des points essentiels utilis\u00e9s pour les constructions.<\/em> Mais clairement on peut juste survoler cette partie.<\/em><\/p>\n\n\n

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Par \u00abg\u00e9n\u00e9rale<\/strong>\u00bb on entend une construction qui contient le cas que l\u2019on dira \u00abg\u00e9n\u00e9rique<\/strong>\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire celui de la pente n\u00e9gative, mais aussi des deux cas particuliers, celui de la pente positive et celui de la droite verticale. Dans le cas g\u00e9n\u00e9rique, la M-droite est la r\u00e9union de deux demi-droites d\u2019origine un point \\(o_{AB}\\) de l\u2019axe des ordonn\u00e9es. Dans les deux autres cas, la droite euclidienne \\((AB)\\) usuelle est la M-droite associ\u00e9e. Mais pour r\u00e9aliser un objet dynamique g\u00e9n\u00e9ral, on choisit de conserver la r\u00e9union de deux demi-droites dans les trois cas. Il faut alors construire un unique point d\u2019origine des deux demi-droites qui fonctionne dans tous les cas.<\/p>\n\n\n\n

La d\u00e9marche utilis\u00e9e s\u2019organise ainsi :
a<\/strong> – Calcul de l\u2019ordonn\u00e9e \u00e0 l\u2019origine du cas g\u00e9n\u00e9rique
b<\/strong> – En d\u00e9duire les coordonn\u00e9es g\u00e9n\u00e9rales de l\u2019origine deux demi droites.
c<\/strong> – Calcul de la pente de la partie n\u00e9gative du cas g\u00e9n\u00e9rique
d<\/strong> – Calculs des coordonn\u00e9es de points sur chacune des deux demi-droites.
On peut alors construire la H-droite comme r\u00e9union de deux demi-droites d\u2019origine \\(o_{AB}\\) et passant par les points \u00ab g\u00e9n\u00e9raux\u00bb calcul\u00e9s au point 4.<\/p>\n\n\n\n

a –<\/strong> L’ordonn\u00e9e \u00e0 l’origine du cas g\u00e9n\u00e9rique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le calcul \u00e9l\u00e9mentaire sur l\u2019illustration ci-contre (pente double pour les abscisses positives) aboutit \u00e0 la synth\u00e8se suivante :<\/p>\n\n\n

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Le JavaScript permet de synth\u00e9tiser cette \u00e9criture par la combinaison lin\u00e9aire des trois expressions alg\u00e9briques affect\u00e9es des coefficients bool\u00e9ens d\u00e9finis par les conditions imbriqu\u00e9es. Cela donne alors ceci :<\/p>\n\n\n

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b –<\/strong> En d\u00e9duire les coordonn\u00e9es g\u00e9n\u00e9rales de l\u2019origine deux demi droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

abscisse<\/em> : si \\(x_A=x_B\\) alors l\u2019abscisse \\((x_{o_{AB}}\\) est \\(x_A\\) sinon elle est 0.
ordonn\u00e9e : si \\(x_A=x_B\\) alors \\(y_{o_{AB}}=\\frac{y_A+y_B}{2}\\), sinon c\u2019est l\u2019expression pr\u00e9sent\u00e9e ci-dessus.
On utilise le test simplifi\u00e9 de JavaScript test?vrai:faux<\/em>, sur l\u2019abscisse et sur l\u2019ordonn\u00e9e, ce qui s\u2019\u00e9crit ainsi :<\/p>\n\n\n

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c – Calcul de la pente de la partie n\u00e9gative du cas g\u00e9n\u00e9rique (pABneg)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La pente de la partie n\u00e9gative du cas g\u00e9n\u00e9rique de la H-droite sera utilis\u00e9e r\u00e9guli\u00e8rement dans de nombreux calculs. C\u2019est donc int\u00e9ressant, l\u00e0 encore, de chercher une expression compact\u00e9e de cette pente qui rend compte de tous les cas. Nous laissons le lecteur v\u00e9rifier que celle-ci convient.<\/p>\n\n\n

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d – Calculs des coordonn\u00e9es de points sur chacune des deux demi-droites<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On note dans la suite \\(x_{o_{ABn}}\\) et \\(x_{o_{ABp}}\\) deux points, le premier toujours dans la demi-droite d\u2019abscisses n\u00e9gatives et le second dans celle d\u2019abscisses positives, avec une adaptation de la d\u00e9finition pour une droite verticale. Sauf dans ce dernier cas, on peut toujours prendre les points d\u2019abscisse -1 et 1 respectivement, comme dans les trois premi\u00e8res illustrations. L\u2019int\u00e9r\u00eat d\u2019utiliser ces points est qu\u2019ils sont ind\u00e9pendants de la position des points \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n

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On utilise la m\u00eame m\u00e9thode que dans la construction du point \\(x_{o_{AB}}\\), en utilisant la pente pABneg<\/em><\/strong>. Ce qui donne :<\/p>\n\n\n

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Et cela ach\u00e8ve la construction g\u00e9n\u00e9rale de la M-droite \\((AB)\\), transformable en macro-construction.<\/p>\n\n\n\n

Manipulation d’un premier triangle de Moulton<\/strong><\/p>\n\n\n