{"id":136,"date":"2021-10-15T15:20:40","date_gmt":"2021-10-15T11:20:40","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=136"},"modified":"2025-12-17T18:57:41","modified_gmt":"2025-12-17T14:57:41","slug":"modele-de-hilbert-orthogonalite","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=136","title":{"rendered":"Mod\u00e8le de Hilbert – Orthogonalit\u00e9"},"content":{"rendered":"
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En dehors des points de l\u2019ellipse, dont l\u2019\u00e9tude sera abord\u00e9e dans une page d\u00e9di\u00e9e, le mod\u00e8le non argu\u00e9sien de Hilbert est conforme. On peut rencontrer, a priori, deux types d\u2019orthogonalit\u00e9 : le cas ordinaire euclidien, \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019ellipse, et le cas d\u2019arcs de cercle orthogonaux, \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse.
Il se peut alors, que, d\u2019un point \\(M\\) du plan, on puisse m\u00eame mener deux perpendiculaires \u00e0 une droite \\((AB)\\) donn\u00e9e comme ci-contre, une euclidienne et l\u2019autre, que l\u2019on dira hilbertienne, ou encore H-perpendiculaire.<\/p>\n\n\n\n

Pour une droite euclidienne \\(d\\) (c\u2019est-\u00e0-dire une H-droite qui ne coupe pas l\u2019ellipse), de tout point du plan il existe toujours une et une seule perpendiculaire \u00e0 cette droite, c\u2019est la H-droite dont le support euclidien est la perpendiculaire \u00e0 \\(d\\). On s\u2019int\u00e9resse donc essentiellement dans la suite aux H-droites rencontrant l\u2019ellipse. On imagine assez facilement qu\u2019il puisse exister, dans certains cas \u00e0 pr\u00e9ciser, des r\u00e9gions du plan depuis lesquels on ne peut pas mener de perpendiculaire \u00e0 une droite donn\u00e9e.<\/p>\n\n\n

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Quand nous avons \u00e9tudi\u00e9 les rectangles \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse, nous avons vu que si un quadrilat\u00e8re a trois angles droits, il en a quatre, mais que les H-droites support ne sont g\u00e9n\u00e9ralement pas parall\u00e8les. Il en r\u00e9sulte qu\u2019\u00e9tant donn\u00e9 une droite coupant l\u2019ellipse, il est facile de construire deux H-perpendiculaires \u00e0 cette droite, s\u00e9cantes entre elles. Et, dans certains cas, si ce point d\u2019intersection peut \u00eatre assez loin de l\u2019ellipse, on peut rencontrer la situation ci-contre, o\u00f9, par un point, il passe non pas deux, mais trois perpendiculaires \u00e0 une droite donn\u00e9e, deux hilbertiennes et une euclidienne.<\/p>\n\n\n\n

Ci-contre, du point \\(A\\) il existe trois perpendiculaires \u00e0 la droite \\((BC)\\).<\/p>\n\n\n\n

L’orthogonalit\u00e9 est donc un th\u00e8me tr\u00e8s riche, et ce premier r\u00e9sultat, m\u00eame s’il est \u00e9l\u00e9mentaire, est une sp\u00e9cificit\u00e9 du mod\u00e8le de Hilbert. Par d\u00e9finition m\u00eame du mod\u00e8le, il n’y aura jamais trois perpendiculaires \u00e0 une droite dans le mod\u00e8le de Moulton. Ainsi les g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes dans ces deux mod\u00e8les ne sont pas identiques. Et ceci est sans rapport avec la d\u00e9finition de la congruence des angles dans le cas d’un sommet sur l’ellipse.<\/p>\n\n\n\n

Manipulation d’une premi\u00e8re perpendiculaire dynamique<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On se donne une droite \\((AB)\\) et un point \\(I\\). On construit alors les perpendiculaires \u00e9ventuelles \u00e0 \\((AB)\\) issues de \\(I\\). La construction de ces perpendiculaires est pr\u00e9cis\u00e9e dans la derni\u00e8re section de cet article<\/a> consacr\u00e9 aux constructions alg\u00e9briques des droites de Moulton.<\/p>\n\n\n