{"id":134,"date":"2021-10-15T15:20:13","date_gmt":"2021-10-15T11:20:13","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=134"},"modified":"2025-12-16T21:55:43","modified_gmt":"2025-12-16T17:55:43","slug":"modele-de-hilbert-droites","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=134","title":{"rendered":"Droites de Hilbert – Cas 1"},"content":{"rendered":"\n

Retour \u00e0 la page de d\u00e9finition g\u00e9n\u00e9rale des droites<\/a> du mod\u00e8le de Hilbert<\/p>\n\n\n\n

Droites (AB) avec A et B ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse<\/h2>\n\n\n
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Ce premier cas ne pose pas de probl\u00e8me g\u00e9om\u00e9trique puisque l\u2019on sait que le cercle circonscrit \u00e0 \\(F\\) et aux intersections \\(P\\) et \\(Q\\) de l\u2019ellipse avec la droite euclidienne \\((AB)\\) ne coupe l\u2019ellipse qu\u2019en ces deux points \\(P\\) et \\(Q\\). Toutefois il s\u2019agit de l\u2019intersection de deux coniques, soit un probl\u00e8me d\u2019ordre 4. Le logiciel consid\u00e8re qu\u2019il y a 4 intersections, et il convient de choisir les bonnes intersections. Nous d\u00e9taillerons la m\u00e9thode avec une illustration dynamique dans le cas 2. D\u2019un point de vue dynamique il faut aussi conserver la droite euclidienne \\((AB)\\) quand celle-ci ne coupe pas l\u2019ellipse (ou lui est tangent) car c\u2019est alors la H-droite \\((AB)\\).<\/p>\n\n\n\n

Configuration g\u00e9n\u00e9rale de Desargues non v\u00e9rifi\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Prenons alors un triangle \\(ABC\\) dont les trois sommets sont ext\u00e9rieurs \u00e0 l\u2019ellipse. En utilisant les droites euclidiennes, par exemple la droite \\((AB)\\) et un point ext\u00e9rieur \\(A_1\\), on peut construire les parall\u00e8les euclidiennes \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\(A_1\\) et \u00e0 \\((AC)\\) passant par \\(A_1\\). Sur la premi\u00e8re on se donne un point \\(B_1\\), toujours ext\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse – car on ne sait tracer que ces droites – et on construit le troisi\u00e8me sommet \\(C_1\\) du triangle \\(A_1B_1C_1\\) dont les c\u00f4t\u00e9s sont parall\u00e8les \u00e0 ceux de \\(ABC\\). On se place dans une configuration o\u00f9 \\(C_1\\) est lui aussi ext\u00e9rieur \u00e0 l\u2019ellipse. On peut alors construire les 9 H-droites de cette configuration affine de Desargues et v\u00e9rifier que les droites \\((AA_1), (BB_1), (CC_1)\\) – vertes ci-contre -ne sont g\u00e9n\u00e9ralement pas concourantes, comme illustr\u00e9 ci-dessous \u00e0 gauche, avec \\((BC)\\) la seule H-droite aussi euclidienne.<\/p>\n\n\n

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Bien entendu, si les trois H-droites \\((AA_1), (BB_1), (CC_1)\\) se coupent \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019ellipse, elles sont concourantes car c\u2019est le cas des droites euclidiennes support, puisque la configuration de Desargues est vraie dans le plan affine usuel. (Illustration de droite).<\/p>\n\n\n

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Ci-contre, \\(I\\) est l\u2019intersection (dynamique) des H-droites \\((BB_1)\\) et \\((CC_1)\\). On a alors dessin\u00e9 la trace du point \\(I\\) quand \\(B_1\\) d\u00e9crit une partie de la H-parall\u00e8le \u00e0 \\((AB)\\) passant par \\(A_1\\) du c\u00f4t\u00e9 de \\(B\\), et tel que l\u2019intersection soit \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de l\u2019ellipse. <\/p>\n\n\n\n

On voit que cette trace coupe la H-droite \\((AA_1)\\). Cela illustre que, dans cette configuration, pour \\(ABC\\) et \\(A_1\\) donn\u00e9s, il existe une position de \\(B_1\\) pour laquelle les trois H-droites vertes sont concourantes. <\/p>\n\n\n\n

La question de la construction de cette position de \\(B_1\\) en fonction du triangle initial et de \\(A_1\\) est un premier questionnement (a priori non trivial) laiss\u00e9 au lecteur.<\/p>\n\n\n\n

Manipulation de la premi\u00e8re figure du mod\u00e8le de Hilbert<\/strong><\/p>\n\n\n