{"id":132,"date":"2021-10-15T15:19:18","date_gmt":"2021-10-15T11:19:18","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=132"},"modified":"2025-12-16T21:51:22","modified_gmt":"2025-12-16T17:51:22","slug":"la-propriete-de-desargues","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=132","title":{"rendered":"La propri\u00e9t\u00e9 de Desargues"},"content":{"rendered":"\n
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\u00ab [\u2026] deux figures sont \u00e9gales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut d\u00e9placer l’une d’elles jusqu’\u00e0 ce qu’elle co\u00efncide avec l’autre, mais comment faut-il la d\u00e9placer ? Si nous le demandions, on nous r\u00e9pondrait sans doute qu’on doit le faire sans la d\u00e9former \u00e0 la fa\u00e7on d’un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors \u00e9vident.[\u2026] Cependant toute imparfaite qu’elle soit, cette d\u00e9finition implique un axiome. La possibilit\u00e9 du mouvement d’une figure invariable n’est pas une v\u00e9rit\u00e9 \u00e9vidente par elle-m\u00eame, ou du moins elle ne l’est qu’\u00e0 la fa\u00e7on du postulatum d’Euclide et non comme le serait un jugement analytique a priori. D’ailleurs en \u00e9tudiant les d\u00e9finitions et les d\u00e9monstrations de la g\u00e9om\u00e9trie, on voit qu’on est oblig\u00e9 d’admettre, sans les d\u00e9montrer, non seulement la possibilit\u00e9 de ce mouvement, mais encore quelques-unes de ses propri\u00e9t\u00e9s. \u00bb<\/p>\nPoincar\u00e9, La Science et l’hypoth\u00e8se (1902)<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Historiquement, l’utilisation du mouvement dans les d\u00e9monstrations de g\u00e9om\u00e9trie a toujours pos\u00e9 probl\u00e8me : depuis Euclide, qui n’y recourt qu’une seule fois au tout d\u00e9but de ses \u00c9l\u00e9ments, en passant par Proclus qui le d\u00e9nonce, puis les diff\u00e9rentes \u00e9coles arabes du IXe au XIIe si\u00e8cle, certains math\u00e9maticiens l’utilisant (al-Haytam), d’autres le refusant (al-Kayyam), jusqu’\u00e0 Wallis qui l’utilise encore explicitement, le mouvement en g\u00e9om\u00e9trie traduit bien l’ambigu\u00eft\u00e9 de la relation entre le monde sensible, sa mod\u00e9lisation, puis – pour les math\u00e9matiques – son axiomatisation. C\u2019est essentiellement un rapport \u00e0 la r\u00e9ification des objets math\u00e9matiques.<\/p>\n\n\n\n


La d\u00e9marche de David Hilbert, dans ses \u00abFondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u00bb, rentre dans cette probl\u00e9matique du rapport au mouvement, puisque, comme le souligne Poincar\u00e9, il axiomatise les propri\u00e9t\u00e9s attendues du mouvement en introduisant des axiomes minimaux de congruence de segments et d’angles. Au cours des diff\u00e9rentes \u00e9ditions, de la premi\u00e8re en 1899 \u00e0 la derni\u00e8re de son vivant (la septi\u00e8me, en partie r\u00e9\u00e9crite) en 1930, Hilbert a affin\u00e9 sa r\u00e9flexion, et par exemple, transform\u00e9 des axiomes en th\u00e9or\u00e8mes.<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes de Hilbert<\/h2>\n\n\n\n

L\u2019objectif de David Hilbert est une construction cat\u00e9gorique – tous les mod\u00e8les sont isomorphes – du plan euclidien (et de l\u2019espace), avec un minimum d\u2019axiomes, donc n\u00e9cessairement forts pour arriver rapidement au corps de nombres qui soit l\u2019ensemble des nombres r\u00e9els. Ce sont les axiomes de continuit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n


En dehors de la premi\u00e8re \u00e9dition dans laquelle il pensait que ses axiomes \u00e9taient ind\u00e9pendants les uns des autres, Hilbert a rapidement organis\u00e9 ses axiomes en cinq groupes ind\u00e9pendants d\u2019axiomes :<\/p>\n\n\n\n


\u2022 Les axiomes d\u2019appartenance (I, 1 \u00e0 8)
\u2022 Les axiomes d\u2019ordre (II, 1 \u00e0 4)
\u2022 Les axiomes de congruence (III, 1 \u00e0 5)
\u2022 L\u2019axiome des parall\u00e8les (IV)
\u2022 Les axiomes de continuit\u00e9 (V, 1 et 2)<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes du groupe I – les axiomes d\u2019appartenance<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Sur les huit axiomes, les trois premiers sont les axiomes du plan – les axiomes usuelles d\u2019incidence – les cinq derniers sont des axiomes spatiaux.<\/p>\n\n\n\n


I.1. et I.2<\/strong>. (existence et unicit\u00e9) Deux points distincts sont sur une et une seule droite.
I.3.<\/strong> Sur une droite il y a au moins deux points. Il existe au moins trois points non align\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Les cinq autres axiomes, spatiaux, peuvent se r\u00e9sumer en ces trois axiomes<\/em><\/p>\n\n\n\n

I.4. et I.5.<\/strong> (existence et unicit\u00e9). Trois points non align\u00e9s sont sur un et un seul plan.
I.6<\/strong>. Si deux points d\u2019une droite sont sur un plan, tous les points de la droite sont sur ce plan.
I.7. et I.8<\/strong>. Il existe au moins trois points non coplanaires. Si deux plans ont un point commun, ils en ont au moins un autre.<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes du groupe II – les axiomes d\u2019ordre<\/strong><\/p>\n\n\n\n

II.1.<\/strong> Si un point \\(B\\) est entre un point \\(A\\) et un point \\(C\\) les trois points \\(A, B, C\\) sont sur une droite et \\(B\\) est aussi entre \\(C\\) et \\(A\\).
II.2.<\/strong> Etant donn\u00e9s deux points \\(A\\) et \\(C\\), il existe au moins un point \\(B\\) sur la droite \\((AC)\\) qui soit entre \\(A\\) et \\(C\\) .
II.3.<\/strong> De trois points d\u2019une droite, il n\u2019y a pas plus d\u2019un qui soit entre les deux autres.
II.4.<\/strong> (Axiome de Pach) Si une droite du plan d\u2019un triangle ne passe par aucun sommet et rencontre un des c\u00f4t\u00e9s, alors elle rencontre un des deux autres c\u00f4t\u00e9s.
<\/p>\n\n\n\n

On notera qu\u2019il n\u2019y a pas d\u2019axiomes spatiaux d\u2019ordre, seulement trois axiomes lin\u00e9aire et un axiome plan. \u00c5 partir des deux premiers groupes d\u2019axiomes, on montre rapidement qu\u2019une droite contient une infinit\u00e9 de points. Cela exclu donc les g\u00e9om\u00e9tries finies (\u00e0 cause de II.3<\/strong>). Ce m\u00eame axiome, ou encore le seul II.4<\/strong>, \u00e9vacue aussi la g\u00e9om\u00e9trie elliptique.<\/p>\n\n\n\n

Segment AB<\/strong> : Soient deux points \\(A\\) et \\(B\\). Les points de la droite \\((AB)\\) situ\u00e9s entre \\(A\\) et \\(B\\) forment le segment \\(AB\\) (ou \\(BA\\) ). Les points entre \\(A\\) et \\(B\\) ont les points int\u00e9rieurs<\/em> au segment, \\(A\\) et \\(B\\) sont les extr\u00e9mit\u00e9s du segment. Tous les autres points de la droite sont ext\u00e9rieurs au segment\\(AB\\) .<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes du groupe III – les axiomes de congruence<\/strong><\/p>\n\n\n\n


Premier groupe, sur les segments : les axiomes lin\u00e9aires du groupe III<\/em><\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/strong> : entre les segments, il existe certaines relations, exprim\u00e9es par les mots congruent<\/em> ou \u00e9gal<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

III.1. <\/strong>Sur une droite donn\u00e9e et d\u2019un c\u00f4t\u00e9 d\u2019un point \\(A\\) donn\u00e9, il existe un point \\(B\\) tel que le segment \\(AB\\) soit congruent \u00e0 un segment donn\u00e9.
III.2.<\/strong> Si deux segments sont congruents \u00e0 un m\u00eame troisi\u00e8me ils sont congruents entre eux.
III.3. <\/strong>Si \\(B\\) est entre \\(A\\) et\\(C\\) , si \\(B’\\) est entre \\(A’\\) et \\(C’\\), si \\(AB\\) et \\(A’B’\\) sont congruents, et si \\(BC\\) et \\(B’C’\\) sont congruents, alors \\(AC\\) et \\(A’C’\\) sont congruents.<\/p>\n\n\n\n

Le premier axiome introduit la notion de report de segment (l\u2019unicit\u00e9 de \\(B\\) est alors montr\u00e9e). Le deuxi\u00e8me aboutit \u00e0 ce que la congruence des segments soit une relation d\u2019\u00e9quivalence (la r\u00e9flexivit\u00e9 n\u2019est pas imm\u00e9diate, c\u2019est une cons\u00e9quence de III.2<\/strong>). Le troisi\u00e8me axiome donne la possibilit\u00e9 d\u2019additionner des segments.<\/p>\n\n\n\n

Second groupe, sur les angles : les axiomes plans du groupe III<\/em><\/p>\n\n\n\n


Soient deux demi-droite \\(h\\) et \\(k\\) diff\u00e9rentes de m\u00eame origine \\(O\\), et appartenant \u00e0 des droites diff\u00e9rentes, l\u2019ensemble de ces deux demi-droites est appel\u00e9 un angle<\/strong>. On parle de l\u2019angle \\(\\angle(h,k)\\) ou \\(\\angle(k,h)\\) – les deux symboles d\u00e9signent le m\u00eame objet. La d\u00e9finition exclu l\u2019angle plat, l\u2019angle nul mais aussi les angles concaves. \\(O\\) est appel\u00e9 sommet de l\u2019angle, les demi-droites sont les c\u00f4t\u00e9s de l\u2019angle. Au moyens des axiomes des deux premiers groupes, on montre les premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s usuelles comme l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un angle.<\/p>\n\n\n\n

Si un angle est de sommet \\(B\\) et dont les c\u00f4t\u00e9s contiennent respectivement les points \\(A\\) et \\(C\\), on parle de l\u2019angle \\(\\angle BAC\\).<\/p>\n\n\n\n

Puis on introduit la congruence des angles, comme pour les segments. Le report d\u2019angle se traite comme celui de segment, mais l\u2019unicit\u00e9 doit \u00eatre demand\u00e9e axiomatiquement alors qu\u2019elle est d\u00e9montr\u00e9e pour les segments, justement par les angles, comme premi\u00e8re cons\u00e9quence des deux axiomes suivants.<\/p>\n\n\n\n


III.4.<\/strong> Dans un plan donn\u00e9, et d\u2019un c\u00f4t\u00e9 d\u2019une demi droite \\(h\\) donn\u00e9e, il existe une unique demi-droite \\(k\\) telle que l\u2019angle \\(\\angle(h,k)\\) soit congruent \u00e0 un angle donn\u00e9.
III.5. <\/strong>Si dans deux triangles \\(ABC\\) et \\(A’B’C’\\) on a les congruences entre les segments \\(AB\\) et \\(A’B’\\) , entre les segments \\(AC\\) et \\(A’C’\\) ainsi que la congruence entre les angles \\(\\angle BAC\\) et \\(\\angle B’A’C’\\) alors on a aussi la congruence entre les angles \\(\\angle ABC\\) et \\(\\angle A’B’C’\\).<\/p>\n\n\n\n

L\u2019axiome III.5<\/strong> est la pierre angulaire de ce menu, puisque c\u2019est sa mise en d\u00e9faut qui permet l\u2019\u00e9mergence des g\u00e9om\u00e9tries non argu\u00e9siennes. C\u2019est aussi l\u2019axiome qui fait le lien entre la congruence des segments et celle des angles.<\/p>\n\n\n\n

Plan de Hilbert<\/strong> : traditionnellement, on appelle plan de Hilbert<\/strong> un plan qui v\u00e9rifie ces trois premiers groupes d’axiomes, plus pr\u00e9cis\u00e9ment les trois axiomes d’incidence<\/em> (les axiomes spatiaux d’appartenance ne sont pas utiles puisque l’on est dans un plan), les axiomes d’ordre<\/em>, et les axiomes de congruence. <\/em><\/p>\n\n\n\n

Beaucoup d’\u00e9tudes ont \u00e9t\u00e9 produites sur les plans de Hilbert en \u00e9tudiant les variantes sur la continuit\u00e9 ou les g\u00e9om\u00e9tries non continues de plans de Hilbert. Nous y consacreront quelques pages de blog. Hilbert lui-m\u00eame (1904) a reconstruit la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, avec ces trois premiers groupes d’axiome, sans hypoth\u00e8se de continuit\u00e9. En particulier son fameux corps de extr\u00e9mit\u00e9s<\/strong> est illustr\u00e9 de figures dynamiques ici<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Hilbert reprend ensuite l\u2019expos\u00e9 d\u2019Euclide. Il d\u00e9finit alors l\u2019angle suppl\u00e9mentaire d\u2019un angle, puis l\u2019ange droit comme \u00e9tant \u00e9gal \u00e0 son suppl\u00e9mentaire. Il montre l\u2019existence des angles droits, et leurs congruences, puis les trois cas d\u2019\u00e9galit\u00e9 des triangles.
Les derniers th\u00e9or\u00e8mes avant l\u2019axiome des parall\u00e8les portent sur la possibilit\u00e9 de bissecter un angle et un segment.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019axiome des parall\u00e8les (groupe IV)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

D\u00e9finition<\/em> : deux droites coplanaires qui ne se coupent pas sont dites parall\u00e8les.<\/p>\n\n\n\n

IV.1.<\/strong> Par un point \\(A\\) ext\u00e9rieur \u00e0 une droite \\(d\\), dans un plan d\u00e9termin\u00e9 par \\(A\\) et \\(d\\), il passe au plus une parall\u00e8le \u00e0 \\(d\\).
L\u2019axiome propos\u00e9 est minimaliste au sens o\u00f9, avec les axiomes pr\u00e9c\u00e9dents, il en r\u00e9sulte aussit\u00f4t l\u2019existence de cette parall\u00e8le. On en d\u00e9duit aussi imm\u00e9diatement que \u00abLes angles d\u2019un triangle font, ensemble, deux droits\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Les axiomes du groupe V – la continuit\u00e9<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Pour retrouver rapidement la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne usuelle, et donc l\u2019ensemble des r\u00e9els comme corps de nombres construit \u00e0 partir des configurations et de leurs propri\u00e9t\u00e9s g\u00e9om\u00e9triques, Hilbert utilise le fait que \\(\\mathbb{R}\\) est le seul corps archim\u00e9dien complet. On va retrouver ces propri\u00e9t\u00e9s avec deux axiomes, un d\u2019archim\u00e9die et un de compl\u00e9tude.<\/p>\n\n\n\n

V.1. (Archim\u00e9die)<\/strong> Si \\(AB\\) et \\(CD\\) sont deux segments quelconques, il existe un nombre entier \\(n\\) tel que le report du segment \\(CD\\) r\u00e9p\u00e9t\u00e9 \\(n\\) fois \u00e0 partir de \\(A\\) sur la demi-droite d\u00e9finie par \\(B\\) conduise \u00e0 un point situ\u00e9 au del\u00e0 de \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n

C\u2019est l\u2019axiome d\u2019Archim\u00e8de classique.<\/p>\n\n\n\n

V.2. (Int\u00e9grit\u00e9 lin\u00e9aire) <\/strong>L\u2019ensemble des points d\u2019une droite n\u2019est susceptible d\u2019aucune extension dans laquelle soient encore valable les axiomes d\u2019ordre lin\u00e9aires (II.1<\/strong> \u00e0 3<\/strong>), de congruence lin\u00e9aire (III.1<\/strong> \u00e0 3<\/strong>) et l\u2019archim\u00e9die (V.1<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00e9cision : en fait, dans cet axiome, Hilbert demande pr\u00e9cis\u00e9ment \u00ables propri\u00e9t\u00e9s fondamentales issues des axiomes des groupes II <\/strong>et III<\/strong>\u00bb et pas seulement la congruence lin\u00e9aire car il faut avoir aussi l\u2019unicit\u00e9 du report de segment qui n\u00e9cessite les axiomes plans du groupe III<\/strong>. Ces subtilit\u00e9s, largement \u00e9tudi\u00e9es \u00e0 travers les diff\u00e9rentes \u00e9ditions, ont \u00e9t\u00e9 mise \u00e0 jour, pour la 7\u00b0 \u00e9dition, par Bachmann dont nous avons (depuis la r\u00e9daction de cette page) pr\u00e9sent\u00e9 sa propre axiomatique<\/a> dans le dernier menu de ce site.<\/p>\n\n\n\n


Cet axiome V.2<\/strong> permet d\u2019arriver directement \u00e0 \\(\\mathbb{R}\\) (avec l\u2019archim\u00e9die) car il permet de retrouver les coupures de Dedekind via le th\u00e9or\u00e8me de Bolzano (points d\u2019accumulation). Plusieurs variantes des axiomes du groupe V<\/strong> ont \u00e9t\u00e9 \u00e9tudi\u00e9es, \u00e9quivalentes de cette version de la 7\u00b0 \u00e9dition.<\/p>\n\n\n\n

La propri\u00e9t\u00e9 de Desargues<\/h2>\n\n\n\n

Dans ses analyses de la causalit\u00e9 des propositions, Hilbert montre donc que, dans le cadre de la seule g\u00e9om\u00e9trie plane, la propri\u00e9t\u00e9 de Desargues est une cons\u00e9quence de l\u2019axiome III.5<\/strong>, Puis il a montr\u00e9 que, sans cet axiome, on peut construire une g\u00e9om\u00e9trie v\u00e9rifiant tous les autres axiomes (de Hilbert) mais pas cette propri\u00e9t\u00e9.<\/p>\n\n\n

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Illustrations affines du th\u00e9or\u00e8me de Desargues<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Par contre, le th\u00e9or\u00e8me de Desargues d\u00e9coule de l\u2019existence de l\u2019espace affine, par propri\u00e9t\u00e9 de l\u2019intersection des plans affines.<\/p>\n\n\n