{"id":1297,"date":"2021-11-21T17:55:23","date_gmt":"2021-11-21T13:55:23","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1297"},"modified":"2025-12-15T16:18:57","modified_gmt":"2025-12-15T12:18:57","slug":"ps-orthogonalite","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1297","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re &#8211; Orthogonalit\u00e9"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Perpendiculaire \u00e0 (AB) passant par C pour<\/strong> <strong>C n&rsquo;appartenant pas \u00e0 (AB)<\/strong><br>(sinon le d\u00e9nominateur de la longitude est nul)<\/p>\n\n\n\n<p>Le pied de la perpendiculaire a pour longitude \\(\\theta_H = \\displaystyle \\frac{2\\theta_Ck^2_{AB}-c_{AB}\\left(ch^2u_C+(\\theta_B+c_{AB})^2-k^2_{AB}\\right)}{ch^2u_C+(\\theta_B+c_{AB})^2+k^2_{AB}}\\) ce qui permet de construire le point et ensuite la droite.<\/p>\n\n\n\n<p>Illustration avec <strong>les hauteurs d&rsquo;un triangle<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1U1NFNDqx_kuDmjmx7-nfHo8xUPAHvlzL\/view?usp=drive_linke\" style=\"width:600px;height:600px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Comme pour les autres figures, agir sur les sommets et leurs latitudes<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>R\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1FTGwlvAYLbRlrn2GnNj9vSqOkfcbts64\/view?usp=drive_link\" data-type=\"page\" data-id=\"7355\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure <\/a>dans un nouvel onglet.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Perpendiculaire \u00e0 (AB) passant par un point C de la droite (AB)<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>On trouve plus simplement les constantes de la perpendiculaire, qui se construit alors par la macro \u00ab\u00a0Droite par constantes\u00a0\u00bb, soit \\(c_{ortho}= c_{AB}- \\displaystyle \\frac{k^2_{AB}}{\\theta_C+c_{AB}}\\) et \\(k^2_{ortho}=\\displaystyle \\frac{k^4_{AB}}{(\\theta_C+c_{AB})^2}-k^2_{AB}\\)<\/p>\n\n\n\n<p>La premi\u00e8re application est bien entendu <strong>la construction des m\u00e9diatrices<\/strong> d&rsquo;un triangle<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Ak2G00kHGaMXstLCDqd7x-XFi5uU6S13\/view?usp=drive_link\" style=\"width:610px;height:650px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\">\\(o_{ABC}\\) <em>est le centre du cercle circonscrit quand il existe &#8230; et qu&rsquo;il existe sur la pseudosph\u00e8re<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer<a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/19K8aWmy_w2vhmrJbiwWXIeAQiDGTwDNk\/view?usp=drive_link\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/19K8aWmy_w2vhmrJbiwWXIeAQiDGTwDNk\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"> ouvrir la figure<\/a> en plein \u00e9cran dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Perpendiculaire commune \u00e0 deux droites<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>La perpendiculaire commune \u00e0 deux droites \\(d_1 \\; (k_1, c_1)\\) et \\(d_2 \\; (k_2, c_2)\\) est la droite \\((H_1H_2)\\) avec \\(H_1 \\in d_1\\) et \\(H_2 \\in d_2\\), donn\u00e9es par leurs longitudes \\(\\theta_1\\) et \\(\\theta_2\\) v\u00e9rifiant : <\/p>\n\n\n\n<p>\\(\\theta_1 = -c_1 \\displaystyle + \\frac{2(c_1-c_2)k^2_1}{(c_1-c_2)^2+k^2_1-k^2_2}\\) et \\(\\theta_2 = -c_2 \\displaystyle + \\frac{2(c_2-c_1)k^2_2}{(c_2-c_1)^2+k^2_2-k^2_1}\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Plusieurs remarques : deux droites peuvent \u00eatre s\u00e9cantes en dehors de la pseudosph\u00e8re et donc ne pas avoir de perpendiculaire commune. Elles peuvent avoir aussi une perpendiculaire commune en dehors de la pseudosph\u00e8re. On peut m\u00eame avoir un des deux pieds de la perpendiculaire commune sur la pseudosph\u00e8re et pas l&rsquo;autre. Tout ceci sera plus clair quand on illustrera le lien avec le disque limite de Beltrami (le mod\u00e8le de Klein Beltrami).<\/p>\n\n\n\n<p>Dans les macro r\u00e9alis\u00e9es, la perpendiculaire commune n&rsquo;est construite que si les deux points \\(H_1\\) et \\(H_2\\) sont bien sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemple du pinceau des m\u00e9diatrices sur la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On a vu &#8211; dans le menu <strong>DP<\/strong> sur le disque de Poincar\u00e9 &#8211; que les m\u00e9diatrices d&rsquo;un triangle sont en pinceau, c&rsquo;est-\u00e0-dire ont un point commun ou une perpendiculaire commune (ou sont parall\u00e8les mais non visible sur la pseudosph\u00e8re dans le cas g\u00e9n\u00e9ral). Dans la figure suivante, on reprend la figure des m\u00e9diatrices et on y ajoute la perpendiculaire commune aux m\u00e9diatrices &#8211; quand elle existe &#8211; avec ses trois intersections avec les m\u00e9diatrices. Voici quelques illustrations de la figure suivante. <\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de pr\u00e9sentation de la figure suivante (4 double-illustrations)<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>La figure associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>On rappelle qu&rsquo;entre le moment o\u00f9 le pinceau est \u00e0 centre <em>sur la pseudosph\u00e8re<\/em> o\u00f9 \u00e0 axe <em>sur la pseudosph\u00e8re<\/em>, il existe un passage o\u00f9 le pinceau est \u00e0 centre sans qu&rsquo;il soit visible sur la pseudosph\u00e8re o\u00f9 \u00e0 axe sans qu&rsquo;il soit visible sur la pseudosph\u00e8re.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1MeXocCTZje9I1uMmqPjZnuEaVORA1uqV\/view?usp=drive_link\" style=\"width:630px;height:580px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur les points \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) et\/ou leurs latitudes<\/em>. <br><em>Il faut \u00ab\u00a0pencher\u00a0\u00bb la pseudosph\u00e8re vers l&rsquo;avant pour acc\u00e9der \u00e0 la latitude \\(u_A\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1wOdxylFUt19z0AjazP0u9Q4Fey3y6s6R\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Pseudosphere\/PS_perpComm_3med.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir la figure<\/a> en plein \u00e9cran dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemple du pinceau des hauteurs<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Pour ne pas alourdir la visibilit\u00e9 de la figure, on a conserv\u00e9 le triangle avec des segments. Deux pieds des hauteurs sont alors en dehors du segment du triangle.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Galerie de trois exemples de configurations sur la perpendiculair<\/em>e<em> commune aux trois hauteurs d&rsquo;un triangle<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>La<\/strong> <strong>figure associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1qZ0vCN40_tPSTuZItPHkkKueK1fLDOpO\/view?usp=drive_link\" style=\"width:600px;height:650px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>M\u00eame d\u00e9marche que les autres figures. La situation est plus sensible<\/em> <em>qu&rsquo;avec les m\u00e9diatrices<\/em><br><em>(d\u00e9placer les points lentement, de quelques pixels seulement)<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-left\"><br>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1KCGpvbcXKA_0BK0z2GdCJJZCzEy5WxIk\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/Pseudosphere\/PS_PerpComm_3hauteurs.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> en plein \u00e9cran dans un nouvel onglet<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Perpendiculaire \u00e0 (AB) passant par C pour C n&rsquo;appartenant pas \u00e0 (AB)(sinon le d\u00e9nominateur de la longitude est nul) Le pied de la perpendiculaire a pour longitude ce qui permet de construire le point et ensuite la droite. 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