{"id":127,"date":"2021-10-15T15:17:55","date_gmt":"2021-10-15T11:17:55","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=127"},"modified":"2025-12-21T11:29:08","modified_gmt":"2025-12-21T07:29:08","slug":"ell-cycles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=127","title":{"rendered":"Cercles elliptiques"},"content":{"rendered":"\n<p>Les seuls cycles possibles en g\u00e9om\u00e9trie elliptique sont les cercles puisqu\u2019il n\u2019y a qu\u2019un seul type de pinceau, \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n<p>Le cercle de centre \\(O\\)<strong> <\/strong>passant par \\(A\\)<strong> <\/strong>est le lieu des images (\\(symA\\) ci-dessous) de \\(A\\)<strong> <\/strong>par toutes les sym\u00e9tries axiales d\u2019axe passant par \\(O\\). Ayant construit le sym\u00e9trique d\u2019un point, on peut d\u00e9j\u00e0 explorer sur le cercle.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"336\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-1024x336.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1121\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-1024x336.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-300x98.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-768x252.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-1536x504.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/CercleParSymOrtho-2048x672.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><br>Dans un premier temps, on constate que, dans le mod\u00e8le du disque de Klein, le cercle elliptique est repr\u00e9sent\u00e9 par un cercle euclidien, ce qui est logique car les cercles sur la sph\u00e8re ont comme image par projection st\u00e9r\u00e9ographique &#8211; sauf s\u2019ils passent par le p\u00f4le nord bien entendu &#8211; un cercle du plan. R\u00e9sultat qu\u2019il faut n\u00e9anmoins adapter \u00e0 l\u2019antipodie elliptique. Cette antipodie ram\u00e8ne le cercle g\u00e9n\u00e9ral dans le disque de Klein, et donc le cercle projet\u00e9 peut se transformer en deux arcs de cercles, avec identification des points oppos\u00e9s sur le cercle unit\u00e9.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"799\" height=\"820\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LES-4-intersections.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1122\" style=\"width:376px;height:386px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LES-4-intersections.png 799w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LES-4-intersections-292x300.png 292w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LES-4-intersections-768x788.png 768w\" sizes=\"(max-width: 799px) 100vw, 799px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dans les figures suivantes, on remarquera qu\u2019il y a deux macros : la macro de <strong>cercle elliptique <\/strong>bien entendu, mais aussi une donnant le \u00ab <strong>cercle euclidien support <\/strong>\u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire le cercle projet\u00e9 de la sph\u00e8re dans le plan euclidien. C\u2019est sur ce cercle que l\u2019on prendra un point pour faire des animations sur les cercles elliptiques.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Intersection de deux cercles &#8211; Triangles \u00e9quilat\u00e9raux<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Les cercles de centre \\(A\\) passant par \\(B\\) et de centre \\(B\\) passant par \\(A\\) peuvent se couper en 4 points \\(I, J, K,\\) et \\(L\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Pour construire ces 4 intersections de mani\u00e8re optimale, on remarquera qu\u2019elles sont sur les deux m\u00e9diatrices de \\(A\\) et \\(B\\), en vert ci-contre.<\/p>\n\n\n\n<p>Le quadrilat\u00e8re \\(IJKL\\) est donc, par construction, un losange de centre \\(P\\), le p\u00f4le de la droite \\((AB)\\)) et intersection des deux m\u00e9diatrices de \\(A\\) et \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Il y donc jusqu\u2019\u00e0 4 triangles \u00e9quilat\u00e9raux de c\u00f4t\u00e9 AB.<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"328\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-1024x328.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1123\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-1024x328.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-300x96.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-768x246.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-1536x493.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Les4TREquiAB-2048x657.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><em>Trois exemples de configuration pour les triangles \u00e9quilat\u00e9raux \\(ABI,ABJ, ABK\\) et \\(ABL\\).<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1wZbZ39OfzHwEyrvtrOS8MDtwSSgG0br-\/view?usp=drive_link\" style=\"width:750px;height:480px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Commencer par manipuler le cercle seul, puis les deux cercles et leurs intersections avant d\u2019afficher les triangles.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1J5athQvH0Q0bFYx6c1A7cjGs-pT046Af\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Triangle orthique d&rsquo;un triangle et cercle associ\u00e9<\/h2>\n\n\n\n<p>La propri\u00e9t\u00e9 du triangle orthique est absolue, donc aussi elliptique : l&rsquo;orthocentre \\(H\\) est l\u2019intersection de bissectrices de l\u2019orthique du triangle. Voyons d\u00e9j\u00e0 cela dans <strong>une galerie<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p><strong>La figure associ\u00e9e<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1L10N0wveK6c0suaBdf7dqdyjQc7ye2PF\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:540px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur les sommets du triangle<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1sPKBAcqt8o1HX9dBd0jarqhp8fdZ36Qq\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/GeomEll\/Ell_inscrit_orthique.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Le cas d&rsquo;un triangle tripolaire<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Pour un triangle tripolaire, tout point n\u2019appartenant pas aux trois droites est orthocentre du triangle. Il y a donc une infinit\u00e9 de triangles orthique dont l\u2019intersection des hauteurs est centre du cercle inscrit.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1FjN5IahTDGcYqxNnCC5MahNto_oxxZIL\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:560px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>D\u00e9placer \\(A, B\\) ou \\(H\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1EX7F7z_YuzAJYa_DtDv5UnC-ZiYuPKkv\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Bissectrices et cercles associ\u00e9s<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Bissectrices et cercles exinscrits<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>La bissectrice int\u00e9rieure d\u2019un angle se construit facilement, comme on l\u2019a fait pour le milieu, en utilisant le fait que le mod\u00e8le est conforme.<\/p>\n\n\n\n<p>On a d\u00e9j\u00e0 dit que, dans le cas absolu tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral, les bissectrices d\u2019un trilat\u00e8re ne sont pas n\u00e9cessairement en pinceau, sauf dans un cas particulier : celui o\u00f9 deux bissectrices ont un point commun, alors les trois sont en pinceau \u00e0 centre. Or c\u2019est le cas en g\u00e9om\u00e9trie elliptique, puisque deux droites sont toujours s\u00e9cantes. Donc les bissectrices d\u2019un triangle (trois points, ou trois droites) sont concourantes. Il y a donc bien un cercle inscrit et des cercles exinscrits.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"365\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-1024x365.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1138\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-1024x365.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-300x107.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-768x274.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-1536x548.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Lex-Exinscrits-Ell-2048x731.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><em>Deux illustrations de la figure suivante<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1KTd7Bu4yNzKVcbsOmaHXrpkCoHMHrEmN\/view?usp=drive_link\n\" style=\"width:800px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/15NdnceSMCZ_LRlti-yS9NAgIc5U1Y-u5\/view?usp=drive_link\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=http:\/\/curvica974.re\/FigSite\/GeomEll\/Ell_Exinscrits_checkBox.dgp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Malfatti du triangle sph\u00e9rique<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1cIiF87Us7Jyftdg62NqcjGd-D2U-obt5\/view?usp=drive_link\" style=\"width:500px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Une  figure elliptique <em>compl\u00e8te<\/em><\/em> <em>remplirait les autre r\u00e9gions &#8230;<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les centres des 4 cercles circonscrits d\u2019un triangle sont aussi les p\u00f4les des droites des milieux.<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Q5nrYNXee1m664oSMrJZHMw3qDVRiktE\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1o6RivBiglmeOgA3vRgRywvG8_Px2FVFB\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Les seuls cycles possibles en g\u00e9om\u00e9trie elliptique sont les cercles puisqu\u2019il n\u2019y a qu\u2019un seul type de pinceau, \u00e0 centre. Le cercle de centre passant par est le lieu des images ( ci-dessous) de par toutes les sym\u00e9tries axiales d\u2019axe passant par . Ayant construit le sym\u00e9trique d\u2019un point, on [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/127"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=127"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/127\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8340,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/127\/revisions\/8340"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=127"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}