{"id":125,"date":"2021-10-15T15:17:31","date_gmt":"2021-10-15T11:17:31","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=125"},"modified":"2025-12-20T20:15:06","modified_gmt":"2025-12-20T16:15:06","slug":"ell-polaire-dun-point","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=125","title":{"rendered":"G\u00e9om\u00e9trie elliptique – Polaire d’un point"},"content":{"rendered":"\n

Si toute droite elliptique admet un p\u00f4le, son \u00abp\u00f4le nord sur la sph\u00e8re\u00bb, r\u00e9ciproquement tout point \\(P\\) du plan elliptique admet une polaire, la droite elliptique correspondant \u00e0 l\u2019\u00e9quateur du point \\(M\\) associ\u00e9 sur la sph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

Par d\u00e9finition, la polaire d\u2019un point \\(P\\) est la droite dont \\(P\\) est le p\u00f4le, c\u2019est donc la droite qui est perpendiculaire \u00e0 toute droite passant par \\(P\\). Cette droite existe, c\u2019est simplement la perpendiculaire commune \u00e0 deux droites passant par \\(P\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Quand une droite est un cercle particulier<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Reprenons notre d\u00e9finition absolue d\u2019un cercle, \u00e0 savoir l\u2019image d\u2019un point par un faisceau \u00e0 centre. On anticipe un peu, en supposant connue la sym\u00e9trie orthogonale : elle existe sur la sph\u00e8re, il suffit de la transposer par antipodie elliptique, nous le ferons un peu plus loin.<\/p>\n\n\n\n

Soit alors un point \\(O\\), et \\(A\\) un point de sa polaire. L\u2019image de \\(A\\) par le faisceau \u00e0 centre \\(O\\) (donc le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) est contenu dans la polaire de \\(A\\), qui est une droite invariante par les sym\u00e9trie orthogonales d\u2019axes passant par \\(O\\). Par ailleurs il est facile d\u2019imaginer que pour deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la polaire il existe une sym\u00e9trie orthogonale d\u2019axe passant par \\(O\\) envoyant \\(A\\) sur \\(B\\) : sur la sph\u00e8re il suffirait de prendre la bissectrice de l\u2019angle sph\u00e9rique \\(\\angle AOB\\) en \\(O\\), ce que l\u2019on sait calculer – dans le cadre de \u00abla sph\u00e9rique\u00bb depuis bien longtemps. Et donc finalement l\u2019image de \\(A\\) par le faisceau \u00e0 centre \\(O\\) est la polaire elle-m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n

Ainsi, toute droite est un cercle de centre son p\u00f4le.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

On est tr\u00e8s \u00e9loign\u00e9 de nos repr\u00e9sentations g\u00e9om\u00e9triques usuelles, pour de nombreuses raisons mais en particulier celle-ci dont la n\u00e9gation est r\u00e9guli\u00e8rement utilis\u00e9e dans le contexte euclidien : en g\u00e9om\u00e9trie elliptique, trois points align\u00e9s sont toujours sur un m\u00eame cercle. Bien entendu il existe de \u00abvrais\u00bb cercles, qui ne sont pas des droites, mais il va falloir \u00eatre vigilant pour parler de cocyclicit\u00e9 hors de l\u2019alignement. On touche l\u00e0, une des difficult\u00e9s de l\u2019axiomatisation g\u00e9n\u00e9rale de la g\u00e9om\u00e9trie absolue, pour qu\u2019elle contienne aussi la g\u00e9om\u00e9trie elliptique : les propri\u00e9t\u00e9s elliptiques sont si g\u00e9n\u00e9rales qu\u2019il faut \u00eatre vigilant dans les argumentations. Par exemple ici on ne peut plus utiliser l\u2019argument de non alignement de trois points sur un cercle dans une preuve comme on l\u2019a parfois dans des contextes euclidiens ou hyperboliques.<\/p>\n\n\n\n

Vers une analyse m\u00e9trique … et ses cons\u00e9quences.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Revenons sur la repr\u00e9sentation avec la sph\u00e8re. Pour le point \\(M\\) de la sph\u00e8re, associ\u00e9 au point elliptique \\(P\\), la polaire de \\(P\\) est l\u2019\u00e9quateur associ\u00e9 \\(M\\) \u00e9tant le \u00abp\u00f4le nord\u00bb). Mais c\u2019est aussi, d\u2019une certaine fa\u00e7on, son horizon<\/strong>, dans un sens physique, puisque les points au del\u00e0 de la demi-sph\u00e8re d\u00e9finie par cet \u00e9quateur ne son pas visibles physiquement, mais aussi d\u2019un point de vue math\u00e9matique, car les points \u00abau del\u00e0\u00bb de l\u2019horizon n\u2019existent pas, ils sont elliptiquement identifi\u00e9s \u00e0 un point de l\u2019h\u00e9misph\u00e8re contenant \\(M\\).<\/p>\n\n\n\n

Sur la sph\u00e8re, l\u2019\u00e9quateur associ\u00e9 \u00e0 \\(M\\) est donc aussi l\u2019ensemble des points (de la demi-sph\u00e8re) les plus \u00e9loign\u00e9s de \\(M\\), et tous \u00e0 m\u00eame distance par conservation de l\u2019\u00e9quateur par toute sym\u00e9trie orthogonale passant par le p\u00f4le \\(N\\). On retrouve donc un aspect m\u00e9trique de \u00abm\u00eame distance\u00bb entre deux points \\(A\\) et \\(B\\) de la polaire avec le centre \\(O\\). S\u2019il existe une distance elliptique, avant m\u00eame de la connaitre, elle confirme que la polaire d\u2019un point \\(O\\) est un lieu <\/strong>des points \u00e0 m\u00eame distance de \\(O\\), et c\u2019est pr\u00e9cis\u00e9ment le lieu des points \u00e0 la distance maximale <\/strong>possible dans le cas elliptique.<\/p>\n\n\n\n

Comme par construction, c\u2019est la moiti\u00e9 d\u2019une droite elliptique, cette premi\u00e8re analyse montre – et Saccheri l\u2019avait d\u00e9j\u00e0 vu d\u00e8s le XVIII\u00b0s – que la g\u00e9om\u00e9trie elliptique est m\u00e9triquement born\u00e9e<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Remarque sur l’interface <\/strong>: comme tous les cercles sont des ellipses en 3D et que l\u2019objet arc d\u2019ellipse n\u2019existe pas dans le logiciel, on ne peut pas (du moins pas imm\u00e9diatement) faire un arc d\u2019ellipse initial, sur la partie rouge, pour ensuite en faire un lieu (partie verte). On peut faire un arc d\u2019ellipse \u00e0 partir d\u2019un arc de cercle, mais pas \u00e0 partir d\u2019un arc d\u2019ellipse.<\/p>\n\n\n