{"id":123,"date":"2021-10-15T15:17:07","date_gmt":"2021-10-15T11:17:07","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=123"},"modified":"2025-12-20T19:47:15","modified_gmt":"2025-12-20T15:47:15","slug":"ell-orthogonalite-et-pole","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=123","title":{"rendered":"Orthogonalit\u00e9 – P\u00f4le d’une droite"},"content":{"rendered":"\n

M\u00eame si les droites sont les m\u00eames, le sens du cercle horizon dans les deux mod\u00e8les est tr\u00e8s diff\u00e9rent, entre le mod\u00e8le euclidien born\u00e9<\/a>, pour lequel le cercle est, de fait, la droite de l\u2019infini, et le mod\u00e8le elliptique o\u00f9 les points du cercles sont des points elliptiques, mais diam\u00e9tralement identifi\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n

Par construction, le mod\u00e8le elliptique est conforme : des grands cercles orthogonaux se projettent en des cercles orthogonaux par projection st\u00e9r\u00e9ographique.<\/p>\n\n\n\n

Utilisation de la repr\u00e9sentation elliptique sur la sph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A une rotation pr\u00e9s, une droite elliptique, comme image d\u2019un grand cercle, peut toujours repr\u00e9senter l\u2019\u00e9quateur de la sph\u00e8re. Or toutes les droites orthogonales \u00e0 l\u2019\u00e9quateur se coupent au p\u00f4le nord. Donc dans le plan elliptique, les droites orthogonales \u00e0 une droites \\((AB)\\) passent toutes par un m\u00eame point, appel\u00e9, par analogie, le p\u00f4le de la droite<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Autrement dit, pour toute droite, il existe un point tel que toutes les droites passant par ce point sont orthogonales \u00e0 la droite<\/strong> : par ce point il passe une infinit\u00e9 de perpendiculaires \u00e0 une droite donn\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Dans la figure suivante, on vous propose d’utiliser les premi\u00e8res macros elliptiques (ci-contre) pour explorer le pinceau des perpendiculaires. Revoir l’utilisation des macros<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Aspect technique <\/strong>: dans toutes les macro-constructions elliptiques, le premier objet \u00e0 montrer est le cercle du mod\u00e8le. Selon les figures, la macro \u00ab\u00a0droite elliptique\u00a0\u00bb peut avoir un nom diff\u00e9rent (Drte Alg) car pour \u00e9conomiser les objets dans les macros plus complexes \u00e0 venir, on a repris le disque unit\u00e9 du mod\u00e8le euclidien born\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Exploration du pinceau des perpendiculaires communes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dans la figure ci-dessous, construire les droites \\((AB)\\) et \\((AB)\\), prendre leurs p\u00f4les, puis la droite des p\u00f4les, et enfin le p\u00f4le de cette droite. \u00c9tudier la situation, conjecturer et imaginer une preuve – tr\u00e8s simple – du r\u00e9sultat.<\/p>\n\n\n\n

On peut pr\u00e9f\u00e9rer manipuler la figure d\u00e9j\u00e0 finalis\u00e9e<\/a> (s’ouvre dans un nouvel onglet)<\/p>\n\n\n