{"id":1198,"date":"2021-11-14T10:47:45","date_gmt":"2021-11-14T06:47:45","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1198"},"modified":"2025-12-12T20:46:33","modified_gmt":"2025-12-12T16:46:33","slug":"continuite-et-determinisme","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1198","title":{"rendered":"Continuit\u00e9 et d\u00e9terminisme"},"content":{"rendered":"\n<p>Dans les trois mod\u00e8les plans born\u00e9s par un disque (g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, hyperbolique et elliptique) les droites de la g\u00e9om\u00e9trie sont repr\u00e9sent\u00e9es par des arcs de cercle.Or la gestion continue de l\u2019intersection d\u2019arcs de cercle rel\u00e8ve d\u2019une probl\u00e9matique fondamentale de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique : l\u2019incompatiblit\u00e9 entre la continuit\u00e9 et le d\u00e9terminisme. Cette page donne quelques informations \u00e0 ce sujet, et pr\u00e9sente plusieurs solutions utilis\u00e9es. Il n&rsquo;est pas du tout n\u00e9cessaire de rentrer dans ces d\u00e9tails pour simplement utiliser les figures du site. Mais ces pr\u00e9cisions peuvent int\u00e9resser quelques lecteurs plus concern\u00e9s par l&rsquo;impl\u00e9mentation de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique. <\/p>\n\n\n\n<p>Commen\u00e7ons par quelques explorations \u00e9l\u00e9mentaires sur le d\u00e9termnisme des figures.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Dessin \/ Figure<\/strong> : par dessin, on entend une instance d\u2019une figure.<br>Une figure dynamique est alors un chemin continu sur l\u2019ensemble des dessins g\u00e9om\u00e9triques r\u00e9pondant \u00e0 la m\u00eame signification (en particulier la m\u00eame construction)<\/p>\n\n\n\n<p><strong>D\u00e9terminisme<\/strong> : c\u2019est la capacit\u00e9 d\u2019une figure \u00e0 retrouver son instance initiale si les objets initiaux reprennent des positions initiales. Pour une utilisation scolaire, le d\u00e9terminisme est la condition minimale d\u2019un cahier des charges pour un logiciel de g\u00e9om\u00e9trie dynamique. L&rsquo;autre est celle de la continuit\u00e9 de l&rsquo;intersection des objets.<\/p>\n\n\n\n<p>Voyons deux exemples de base<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Intersection d&rsquo;une droite et d&rsquo;un cercle<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ce type d&rsquo;intersection ne pose aucun probl\u00e8me. Les changements que l&rsquo;on observe des intersections sont naturelles dans le contexte dynamique. Une droite, qu&rsquo;elle soit d\u00e9finie par deux points ou non, est toujours orient\u00e9e. Quand une droite tourne autour d&rsquo;un point, ses intersections avec d&rsquo;autres objets peuvent para\u00eetre interchang\u00e9es, mais elle ne le sont pas par rapport \u00e0 l&rsquo;orientation interne \u00e0 la droite.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"220\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle-1024x220.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1203\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle-1024x220.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle-300x65.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle-768x165.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle-1536x330.jpg 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter-DrteCercle.jpg 1674w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Inversion de U et V quand la droite change d&rsquo;orientation<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>De m\u00eame pour deux cercles, il y a un changement des intersections quand un cercle change d&rsquo;orientation, par exemple en passant \u00ab\u00a0par l&rsquo;infini\u00a0\u00bb (selon la construction cela peut \u00eatre simplement une inversion de deux points). Mais ce changement est lui aussi tout \u00e0 fait naturel. Par exemple ci-dessous il y a des chemins de modification continue (isotopie) pour passer de la configuration de gauche \u00e0 celle de droite.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"464\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles-1024x464.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1204\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles-1024x464.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles-300x136.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles-768x348.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles-1536x695.jpg 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Inter2cercles.jpg 1626w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Selon comment on fait aller O vers B, on pourrait croire \u00e0 un changement d&rsquo;orientation du cercle et une inversion des intersections, mais si on fait entrer O dans le cercle et qu&rsquo;on le fait tourner autour de B, on voit que la configuration de droite correspond bien \u00e0 la continuit\u00e9 des intersections de deux deux cercles<\/em><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1ecULoYk4Hqr535-eKfmT52Rf30YKbbyq\/view?usp=drive_link\" style=\"width:750px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans le cas droite-cercle, placer M ou N \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur du cercle, <\/em><br>puis <em>faire tourner l&rsquo;autre point de la droite autour pour voir la continuit\u00e9 des intersections.<br>Dans le cas des deux cercle, celui de centre B a son rayon modifiable directement en prenant le cercle. <\/em><br><em>Faire diff\u00e9rentes explorations avec le cercle de centre O passant par A comme propos\u00e9 ci-dessus.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Reste que si la d\u00e9finition propos\u00e9e d&rsquo;une figure dynamique \u00e9tait assez claire pour les premiers logiciels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique (les premi\u00e8res versions de Cabri-g\u00e9om\u00e8tre par exemple), elle devient plus confuse avec les logiciels contemporains qui incorporent de la programmation, et en particulier permettent une programmation de rupture, pr\u00e9cise et maitris\u00e9e, du d\u00e9terminisme. Il en r\u00e9sulte que le projet d&rsquo;une conceptualisation axiomatique de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, comme nouvelle g\u00e9om\u00e9trie, un moment recherch\u00e9e par certains auteurs a \u00e9t\u00e9 abandonn\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans l&rsquo;histoire de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, le logiciel Cinderella 1, \u00e9crit par Richter-Geber et Kortenkamp \u00e0 partir de 1999,  a eu une place \u00e0 part. C&rsquo;est le seul logiciel qui avait \u00e9t\u00e9  \u00e9crit dans un contexte d&rsquo;\u00e9tude et de respect total de la continuit\u00e9, en particulier sur l&rsquo;intersection des coniques. Les auteurs avaient alors montr\u00e9 &#8211; entre autres r\u00e9sultats &#8211; que la continuit\u00e9  n\u00e9cessitait un plongement dans un plan projectif complexe, qui \u00e9tait alors l&rsquo;environnement naturel du logiciel, utilis\u00e9 dans l&rsquo;enseignement sup\u00e9rieur. Finalement, le logiciel a du \u00eatre enti\u00e8rement r\u00e9\u00e9crit (<a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/cinderella.de\/tiki-index.php\" data-type=\"URL\" data-id=\"https:\/\/cinderella.de\/tiki-index.php\" target=\"_blank\">Cinderella 2<\/a>) pour une utilisation scolaire car s&rsquo;il respectait \u00e0 merveille la continuit\u00e9 sur des objets forts complexes, il \u00e9tait inutilisable en classe, car ne respectait pas le d\u00e9terminisme sur des configurations  \u00e9l\u00e9mentaires.<\/p>\n\n\n\n<p>Nous pr\u00e9cisons maintenant quelques \u00e9l\u00e9ments th\u00e9oriques relatifs \u00e0 cette probl\u00e9matique de continuit\u00e9 et d\u00e9terminisme, et la mise en \u0153uvre pratique de quelques solutions \u00e0 ces questions.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Conjecture d&rsquo;isotopie et th\u00e9or\u00e8me de Mnev<\/h2>\n\n\n\n<p><br><strong>Conjecture d\u2019isotopie<\/strong> : l\u2019espace de ces dessins est-il connexe par arc ? Passe-t-on d\u2019une instance \u00e0 une autre par un chemin continu ? (le d\u00e9placement du pointeur du logiciel, souris ou doigt selon l\u2019environnement). <br>C\u2019est la conjecture d\u2019isotopie que nous allons pr\u00e9ciser avec la question de l\u2019orientation.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Conjecture de Ringel <\/strong>(1956) : deux familles de points du plan affine \\(\\{x_1, x_2, \u2026, x_n\\} \\) et \\(\\{y_1, y_2, \u2026, y_n\\} \\) sont des configurations orient\u00e9es \u00e9quivalentes si tous les triplets \\(\\{x_i, x_j, x_k\\} \\) et \\(\\{y_i, y_j, y_k\\} \\) ont la m\u00eame orientation.<\/p>\n\n\n\n<p>Pour une figure donn\u00e9e \\(F\\), si \\(\\phi\\) et \\(\\gamma\\) sont deux r\u00e9alisations de \\(F\\), bas\u00e9es sur les points libres \\({A_i}\\) et \\({B_i}\\), existe-t-il un chemin continu de \\(A\\) vers \\(A&rsquo;\\) tel que \\(\\phi(A&rsquo;)\\) se superpose \u00e0 \\(\\gamma(B)\\) ?<\/p>\n\n\n\n<p><strong>La conjecture d\u2019isotopie<\/strong> \u00e9nonce que l\u2019on peut d\u00e9former contin\u00fbment tous les \\(x_i\\)en les \\(y_i\\) par une isotopie du plan dans lui-m\u00eame, de fa\u00e7on que chaque \u00e9tape interm\u00e9diaire toutes les orientations locales soient pr\u00e9serv\u00e9es. Autrement dit l\u2019espace des \u00e9tats d\u2019une configuration orient\u00e9e de points est un espace topologique connexe.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Th\u00e9or\u00e8me de Mnev<\/strong> (1985) &#8211; <em>donc avant l\u2019existence de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique (1988)<\/em><br>La conjecture d\u2019isotopie est infirm\u00e9e avec une preuve constructible sur un ensemble de 19 points. (rapport\u00e9e \u00e0 14 par Suvorov en 1986).<br>La conjecture est vraie pour un ensemble de moins de 9 poinrs (Finashin 1986).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Les cons\u00e9quences pour la g\u00e9om\u00e9trie dynamique<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me de Mnev a beaucoup surpris. Pour la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, il pose la question de la d\u00e9finition m\u00eame de ce qu\u2019est une figure dynamique en relation \u00e0 l\u2019accessibilit\u00e9 \u00e0 toutes ses instances.<\/p>\n\n\n\n<p>D\u00e9j\u00e0, et c\u2019est fondamental, le th\u00e9or\u00e8me de Mnev montre que <strong>continuit\u00e9 et d\u00e9terminisme ne sont pas compatibles<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Une des principales probl\u00e9matiques de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique va \u00eatre de garder le d\u00e9terminisme dans son cahier des charges toute en proposant une continuit\u00e9 maximale, en particulier des intersections.<\/p>\n\n\n\n<p>En pratique, beaucoup de progr\u00e8s ont \u00e9t\u00e9 obtenus entre l\u2019origine de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique (1988) et les outils actuels comme par exemple des progr\u00e8s substantiels sur la continuit\u00e9 des intersections entre deux coniques &#8211; surtout deux ellipses.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais, de par des choix de d\u00e9terminisme incontournables, il reste des probl\u00e8mes dans des configurations de base que l\u2019utilisateur, si c\u2019est n\u00e9cessaire, doit r\u00e9soudre lui-m\u00eame sur chaque figure. Dans cette page nous  pr\u00e9sentons deux situations arch\u00e9typiques que l\u2019on va rencontrer dans les mod\u00e8les des diff\u00e9rentes g\u00e9om\u00e9tries.<\/p>\n\n\n\n<p>Ces deux situations vont \u00eatre l\u2019occasion de pr\u00e9senter deux techniques diff\u00e9rentes de r\u00e9solution, selon que la solution est de faire un choix entre deux points : <br>\u2022 qui n\u2019existent pas simultan\u00e9ment  <br>\u2022 qui existent simultan\u00e9ment.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">1. Continuit\u00e9 de l&rsquo;intersection de deux arcs de cercle<\/h2>\n\n\n\n<p>On l&rsquo;a dit, nous allons avoir \u00e0 d\u00e9finir l&rsquo;intersection de deux droites d&rsquo;une g\u00e9om\u00e9trie (hyperbolique, elliptique ou m\u00eame non argu\u00e9sienne dans le mod\u00e8le de Hilbert) comme intersection de deux arcs de cercles euclidiens dans le mod\u00e8le propos\u00e9 pour cette g\u00e9om\u00e9trie. Or, la gestion continue de l\u2019intersection d\u2019arcs de cercle demande une intervention sp\u00e9cifique, ceci dans tous les logiciels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique. <\/p>\n\n\n\n<p>Cela est d\u00fb au n\u00e9cessaire changement d\u2019orientation des cercles d\u00e9finis par trois points quand le centre du cercle passe par l\u2019infini, soit quand, dans la manipulation directe de l\u2019un des trois points, on passe par l\u2019alignement des trois points. Par d\u00e9finition, l\u2019intersection de deux arcs de cercle est l\u2019une des intersections des deux cercles supports. Or quand un arc change d\u2019orientation, cette intersection change. Ci dessous\\(U\\) et \\(V\\) sont les deux intersections possibles de deux arcs.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"415\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles-1024x415.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1201\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles-1024x415.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles-300x122.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles-768x311.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles-1536x622.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Gestion-U-et-V-cercles.png 1826w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Autrement dit, si \\(V\\) n\u2019existe pas, on prend \\(U\\) sinon on prend \\(V\\). Cette expression renvoie alors les coordonn\u00e9es d\u2019un point. Point que le logiciel propose, bien entendu, de cr\u00e9er (non illustr\u00e9 ici). C\u2019est le point \\(I\\) dans les illustrations ci-dessus.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1mevw6KfkduwZKm-qAU9clOUVAWHh_fie\/view?usp=drive_link\" style=\"width:750px;height:430px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-small-font-size\"><em>\u2022 Explorer la figure en d\u00e9pla\u00e7ant l\u2019un des 6 points qui d\u00e9finissant les deux arcs.<\/em><br><em>\u2022 On peut illustrer l\u2019unicit\u00e9 effective du point \\(I\\) &#8211; pour la g\u00e9om\u00e9trie dynamique &#8211; en cr\u00e9ant un segment (par exemple \\([CI]\\)) et en v\u00e9rifiant que ce segment existe toujours quand l\u2019un des arcs change d\u2019orientation. <br>\u2022 Rappel : Pour cela il faut d\u2019abord activer le mode standard en cliquant sur le pointeur \u00e0 gauche dans le tableau de bord. Ensuite cliquer\/taper sur le point \\(C\\) pour faire apparaitre la palette contextualis\u00e9e. Choisir l\u2019outil segment puis l\u00e2cher sur \\(I\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">2. Choix entre deux points<\/h2>\n\n\n\n<p>Dans un environnement \u00abpapier-crayon\u00bb, ou dans les livres, le choix des intersections est implicite \u00ab\u00a0sur la figure\u00a0\u00bb, car cette figure est un dessin statique, mais il doit \u00eatre nettement plus explicite dans les environnements dynamiques. Voyons le, sur un exemple \u00e9l\u00e9mentaire de g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, la construction du quatri\u00e8me point d\u2019un parall\u00e9logramme par ses seules propri\u00e9t\u00e9s m\u00e9triques : un quadrilat\u00e8re non crois\u00e9 dont les c\u00f4t\u00e9s oppos\u00e9s sont de m\u00eame longueur, ce qui est la construction \u00ab\u00a0au compas\u00a0\u00bb souvent propos\u00e9e aux \u00e9l\u00e8ves du coll\u00e8ge.<\/p>\n\n\n\n<p>Soient donc trois points \\(A, B, C\\) non align\u00e9s. On se propose de construire \\(D\\) tel que \\(ABCD\\) soit un parall\u00e9logramme. \\(D\\) est \u00e0 l\u2019intersection du cercle de centre \\(A\\) de rayon\\(BC\\) et du cercle de centre \\(C\\) de rayon \\(BA\\)<a href=\"vert\"><\/a>. <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-resized\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"385\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Paralle\u0301lo1et2-1024x385.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1209\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Paralle\u0301lo1et2-1024x385.jpg 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Paralle\u0301lo1et2-300x113.jpg 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Paralle\u0301lo1et2-768x289.jpg 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Paralle\u0301lo1et2.jpg 1223w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Mais laquelle des deux intersections ? Dire que c\u2019est celle \u00abqui r\u00e9alise le parall\u00e9logramme\u00bb remet en valeur la g\u00e9om\u00e9trie perceptive du d\u00e9but de l\u2019\u00e9cole primaire alors qu\u2019au d\u00e9but du coll\u00e8ge on est dans une \u00abg\u00e9om\u00e9trie des propri\u00e9t\u00e9s\u00bb. <\/p>\n\n\n\n<p>D\u2019un point de vue dynamique, ce n\u2019est pas le point simplement pris dans la figure comme  l&rsquo;illustration de gauche, car cette intersection, dite \u00abprise \u00e0 la vol\u00e9e\u00bb ne correspond pas \u00e0 la situation de droite. <\/p>\n\n\n\n<p>Il faut donc sp\u00e9cifier, algorithmiquement, laquelle des deux intersections du cercle convient. On peut arriver assez facilement \u00e0 faire pr\u00e9ciser aux \u00e9l\u00e8ves qui rencontrent ce probl\u00e8me, par des propri\u00e9t\u00e9s de la sym\u00e9trie centrale, que c\u2019est celle des deux intersections qui est dans l\u2019autre demi-plan de \\(B\\)par rapport \u00e0 la droite \\((AC)\\). Et comme cette droite \\((AC)\\) est la droite des centres des deux cercles, c\u2019est aussi celle des deux intersections qui est la plus \u00e9loign\u00e9e de \\(B\\).<\/p>\n\n\n\n<p>On aurait pu reprendre la technique pr\u00e9c\u00e9dente avec un <em>isNaN<\/em> sur l\u2019intersection des c\u00f4t\u00e9s \\([AD]\\) et \\([BC]\\). On se propose cette fois de ne pas utiliser le traitement d\u2019erreur du langage, mais plut\u00f4t l\u2019existence des deux intersections. <\/p>\n\n\n\n<p>En pratique, on nomme donc les deux intersections \\(U\\) et\\(V\\)et on construit le point \\(D\\) comme combinaison lin\u00e9aire bool\u00e9enne de ces deux points. Cette technique de combinaison lin\u00e9aire bool\u00e9enne de points sera souvent utilis\u00e9e dans les deux mod\u00e8les du menu \u00ab\u00a0Non Arg\u00a0\u00bb, dans plusieurs situations. Voyons cela en d\u00e9tail, c\u2019est l\u2019occasion d\u2019illustrer une des utilisations du mode \u00abexpression\u00bb du logiciel.<\/p>\n\n\n\n<p>Les deux bool\u00e9ens sont \\(d(U,B)&gt;d(V,B)\\) et \\(d(V,B)&gt;d(U,B)\\). Si le premier est vrai la solution est le point \\(U\\) sinon &#8211; si le second est vrai &#8211; c\u2019est le point \\(V\\). Dans l\u2019illustration ci-dessous \u00e0 gauche, prise en cours d\u2019\u00e9criture de l\u2019expression, la solution est le point \\(V\\) donc le produit \\(U(d(U,B)&gt;d(V,B))\\) est le point \\(U\\times 0\\) soit l\u2019origine du rep\u00e8re, ce que rend l\u2019expression <strong>E1<\/strong>. On note l\u2019icone \u00abPoint\u00bb qui permet de cr\u00e9er le point. L\u2019illustration de droite correspond \u00e0 l\u2019expression bool\u00e9enne compl\u00e8te. On cr\u00e9\u00e9 ainsi le point \\(D\\) rendu par l\u2019expression <strong>E1<\/strong>.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"244\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV-1024x244.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1210\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV-1024x244.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV-300x71.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV-768x183.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV-1536x366.png 1536w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/E1-Bool-UetV.png 1798w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"351\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Parallelo-Pt-D-final-1024x351.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1214\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Parallelo-Pt-D-final-1024x351.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Parallelo-Pt-D-final-300x103.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Parallelo-Pt-D-final-768x263.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Parallelo-Pt-D-final.png 1150w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Clairement, le parall\u00e9logramme est une figure fondamentalement affine : \\(D\\) est toujours, tout simplement, le sym\u00e9trique de \\(B\\) par rapport au milieu de \\(A\\) et \\(C\\), ce qui est sa d\u00e9finition en classe de 5\u00b0 au coll\u00e8ge. En faire une figure euclidienne complique la construction dynamique. La figure suivante propose de manipuler cette configuration avec plusieurs options d\u2019exploration.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1oQ0kbZtpW01GNGkMGFyxNxxaSLLjQCb1\/view?usp=drive_link\" style=\"width:750px;height:500px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Agir sur les trois points de base A, B et C, en choisissant les diff\u00e9rentes options propos\u00e9es dans la figure.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dans les trois mod\u00e8les plans born\u00e9s par un disque (g\u00e9om\u00e9trie euclidienne, hyperbolique et elliptique) les droites de la g\u00e9om\u00e9trie sont repr\u00e9sent\u00e9es par des arcs de cercle.Or la gestion continue de l\u2019intersection d\u2019arcs de cercle rel\u00e8ve d\u2019une probl\u00e9matique fondamentale de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique : l\u2019incompatiblit\u00e9 entre la continuit\u00e9 et le d\u00e9terminisme. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1198"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1198"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1198\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8124,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1198\/revisions\/8124"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1198"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}