\u00ab Pour passer de la notion d\u2019un espace limit\u00e9 \u00e0 celle de l\u2019espace projectif, il suffit d\u2019adjoindre aux points qui composent l\u2019espace limit\u00e9 de nouveaux \u00e9l\u00e9ments convenablement d\u00e9finis auxquels on a donn\u00e9 le nom de points id\u00e9aux. […] On les d\u00e9finit en g\u00e9n\u00e9ralisant le concept de \u00ab gerbes de droites \u00bb […] Lorsque les gerbes ne se rencontrent pas toutes en un m\u00eame point de la r\u00e9gion limit\u00e9e de l\u2019espace envisag\u00e9, on dira que la gerbe est impropre pour cette r\u00e9gion et que ses droites ont en commun un point id\u00e9al. \u00bb <\/em><\/p>\nPrincipes de g\u00e9om\u00e9trie \u2013 Encyclop\u00e9die des sciences math\u00e9matiques.<\/em><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n M\u00eame si le menu sur l’axiomatique de Bachmann<\/a> a \u00e9t\u00e9 r\u00e9dig\u00e9 depuis, cette page d’introduction non technique a \u00e9t\u00e9 conserv\u00e9e. Elle propose quelques illustrations sur ce th\u00e8me du plongement. Dans son ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence, Bachmann montre que son axiomatique, malgr\u00e9 sa g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, passe bien \u00ab le plongement projectif m\u00e9trique \u00bb. On se doute que ce n\u2019est ni imm\u00e9diat ni \u00e9l\u00e9mentaire, et nous allons ici juste illustrer ce plongement avec une figure, tr\u00e8s simple, celle des hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re du plan hyperbolique.<\/p>\n\n\n\n M\u00eame si elle est tr\u00e8s simple, nous allons voir qu’elle illustre bien, dans ce mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, une vraie g\u00e9n\u00e9ralisation obtenue par ce plongement projectif du plan de Bachmann. Avec son axiomatique nous sommes dans ce que Gonseth <\/strong>appelle \u00ab une seconde axiomatisation \u00bb , pour laquelle une r\u00e9flexion logique sur les concepts de la premi\u00e8re axiomatisation permet d\u2019\u00e9laborer les outils et les objets premiers de la seconde. Bachmann, sur les pas de Hjelmslev <\/strong>a aussi \u00e9labor\u00e9 son plongement dans l\u2019observation du mod\u00e8le de Klein Beltrami, lui m\u00eame d\u00e9j\u00e0 projectif. C\u2019est d\u2019ailleurs une des macro-constructions de ce mod\u00e8le qui est utilis\u00e9e dans ces figures.<\/p>\n\n\n\n Dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, le plongement projectif va \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par le plan euclidien tout entier : les points du plan euclidien sont les points, dans ce mod\u00e8le, du plan projectif. Les droites sont le prolongement affine, depuis leurs points id\u00e9aux, des droites hyperboliques repr\u00e9sent\u00e9es par les arcs de cercles.<\/p>\n\n\n\n Le trilat\u00e8re des droites \\(a, b, c\\) port\u00e9es deux poign\u00e9es sur chaque droite, se prolonge en dehors du disque de Poincar\u00e9 comme illustr\u00e9 ci-contre et forment un triangle \\(ABC\\) dans le plongement. Et les hauteurs du trilat\u00e8re sont alors les hauteurs de ce triangle.<\/p>\n\n\n\n Ainsi les hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re du plan hyperbolique ne sont que les hauteurs d\u2019un triangle du plan projectif<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Ci dessous, le trilat\u00e8re est devenu un triangle hyperbolique. Ses trois hauteurs dans le disque de Poincar\u00e9 sont en faisceau \u00e0 axe, mais se prolongent, dans le plongement projectif en trois hauteurs concourantes en l\u2019orthocentre id\u00e9al <\/strong>du triangle hyperbolique \\(ABC\\).<\/p>\n\n\n Mais le r\u00e9el int\u00e9r\u00eat, qui montre bien la coh\u00e9rence de ce plongement, est port\u00e9 par l’illustration suivante. En effet, m\u00eame si la perpendiculaire hyperbolique \u00e0 la droite \\(c\\) issue du faisceau \\(F_{ab}\\) n\u2019existe pas – ci dessous \u00ab celle issue du point id\u00e9al \\(C\\) \u00bb – elle a un sens dans le cadre du plongement projectif, ce qui permet d\u2019aboutir \u00e0 des constructions comme celle-ci o\u00f9 cette hauteur existe d\u00e9sormais mais est une droite id\u00e9ale du plan projectif. <\/p>\n\n\n Et les trois hauteurs sont bien entendu en faisceau, et donc concourantes, car dans un plan projectif, il n\u2019y a que des faisceaux \u00e0 centre.<\/p>\n\n\n\n Paradoxalement l\u2019int\u00e9r\u00eat de travailler dans le disque de Poincar\u00e9 est que les droites id\u00e9ales ne sont pas les droites affines, il y a la \u00abdistorsion hyperbolique\u00bb pour celles qui traversent le disque. En effet, la construction des droites comme la hauteur issue de \\(C\\) <\/strong>n\u2019est rien d\u2019autre que la hauteur pour le mod\u00e8le de Klein-Beltrami – mod\u00e8le non conforme, ant\u00e9rieur aux mod\u00e8les de Poincar\u00e9, qui est pr\u00e9sent\u00e9 et utilis\u00e9<\/a> dans le menu PS<\/strong> consacr\u00e9 \u00e0 la pseudosph\u00e8re et au travail de Beltrami sur ce th\u00e8me.<\/p>\n\n\n\n Si on avait illustr\u00e9 la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique dans ce mod\u00e8le, le plongement n\u2019aurait \u00e9t\u00e9 que le prolongement des segments par les droites, ce qui aurait rendu les choses moins visibles. La distorsion des droites apporte sinon plus de sens, au moins plus de visibilit\u00e9 aux probl\u00e8mes abord\u00e9s et \u00e0 leur solutions.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Dans les deux illustrations suivantes, on va un peu plus loin dans l\u2019int\u00e9r\u00eat de ce plongement projectif. On part d\u2019une situation o\u00f9 une seule hauteur hyperbolique du trilat\u00e8re existe, et d\u2019un triangle avec un point hyperbolique et deux points id\u00e9aux. L\u2019orthocentre est l\u2019intersection du prolongement projectif de la hauteur hyperbolique issue de \\(B\\) <\/strong>et de deux hauteurs id\u00e9ales.<\/p>\n\n\n\n En d\u00e9pla\u00e7ant l\u00e9g\u00e8rement la poign\u00e9e \\(a_2\\), on arrive \u00e0 une situation o\u00f9 le triangle est enti\u00e8rement id\u00e9al, et pour lequel les hauteurs sont toutes les trois id\u00e9ales. Le trilat\u00e8re initial est en effet tel qu\u2019aucune hauteur hyperbolique ne peux exister.<\/p>\n\n\nLes hauteurs d\u2019un trilat\u00e8re dans ce plongement<\/strong><\/h2>\n\n\n
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