\\(x=\\displaystyle \\frac{\\theta^2+ch^2(u)-1}{\\theta^2+ch^2(u)+1}\\) et \\(y=\\displaystyle \\frac{-2\\theta}{\\theta^2+ch^2(u)+1}\\)<\/p>\n\n\n\n
Remarques<\/strong><\/em> La param\u00e9trisation de Beltrami associe l\u2019origine de son rep\u00e8re curviligne (\\(u=0, v=0\\), nous y reviendrons en d\u00e9tail au prochain item) qui correspond pour nous \u00e0 \\(\\theta=0, u=0\\), \u00e0 l\u2019origine du cercle-limite (\\(O_{dl}\\) ci-dessous). Il est imm\u00e9diat aussi que, dans cette correspondance \\(0 \\le x <1\\), et donc que l\u2019image de la pseudosph\u00e8re est incluse dans un demi-disque. La repr\u00e9sentation \u00e9tant sym\u00e9trique \u00e0 l\u2019axe des abscisses, on peut s\u2019int\u00e9resser \u00e0 \\(y \\ge 0\\). L\u2019ordonn\u00e9e est maximale pour \\(ch(u)\\) minimal, c\u2019est-\u00e0-dire \u00e9gal \u00e0 1, soit \\(u=0\\) et donc quand les points de la pseudosph\u00e8re sont sur le cercle \u00e9quateur. Dans ce cas, les projections \\(x\\) et \\(y\\) v\u00e9rifient alors : \\(\\displaystyle \\frac{\\left( x-\\displaystyle \\frac{1}{2}\\right)^2}{\\displaystyle \\left( \\frac{1}{2}\\right)^2}+\\displaystyle \\frac{y^2}{\\left( \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^2}=1\\). <\/p>\n\n\n\n L’image de la pseudosph\u00e8re est donc \u00e0 l’int\u00e9rieur d’une ellipse, qui plus est tangente au disque limite, donc \u00e0 l’int\u00e9rieur d’un horicycle du mod\u00e8le de Klein Beltrami. Une premi\u00e8re cons\u00e9quence est que la pseudosph\u00e8re, comme mod\u00e9lisation du plan de Lobatchevsky, n’a qu’un point \u00e0 l’infini accessible : le centre de cet horicycle pour le mod\u00e8le KB<\/strong>, soit le point \\(I_{dl} (1,0)\\). On voit aussi que ce point id\u00e9al peut \u00eatre atteint de deux fa\u00e7ons : Ce contact unique de la pseudosph\u00e8re avec l\u2019infini justifie que, depuis la terminologie de Klein, la pseudosph\u00e8re est dite aussi, en terme de mod\u00e8le du plan de Lobatchevsky, un mod\u00e8le parabolique<\/em>.<\/p>\n\n\n\n La feuille principale (\\(0 \\le \\theta < 2\\pi\\)) est limit\u00e9e par les deux segments d’origine \\(I_{dl}\\) et d’extr\u00e9mit\u00e9 \\(O_{dl}\\) pour le premier et le point – \\(F_{+}\\) ci-dessous – de coordonn\u00e9es \\(\\displaystyle \\left( \\frac{4\\pi^2}{4\\pi^2+2}, \\displaystyle \\frac{-4\\pi}{4\\pi^2+2} \\right)\\) pour le second. Dans cette param\u00e9trisation, la feuille principale est donc projet\u00e9e dans la moiti\u00e9 inf\u00e9rieure de l’horicycle image de la pseudosph\u00e8re, la partie sup\u00e9rieure correspondant \u00e0 la feuille pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n Par contre, si on param\u00e8tre la feuille principale sur l’intervalle \\(-\\pi \\le \\theta < pi\\) alors la feuille principale est limit\u00e9e par les segments allant de \\(I_{dl}\\) vers les points – \\(F_{+\\pi}\\) et \\(F_{-\\pi}\\) ci-dessous – de coordonn\u00e9es \\(\\displaystyle \\left( \\frac{\\pi^2}{\\pi^2+2}, \\displaystyle \\pm \\frac{2\\pi}{\\pi^2+2} \\right)\\), ce qui d’une par produit un domaine sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l’axe des abscisses, et d’autre part augmente la couverture de la feuille principale dans l’horicycle. D’une mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, la param\u00e9trisation de Beltrami favorise fortement la repr\u00e9sentation de la feuille principale.<\/p>\n\n\n \u00e0 gauche la<\/em> param\u00e9trisation utilis\u00e9e dans les pages pr\u00e9c\u00e9dentes qui donne une part \u00e9gale \u00e0 la feuille principale et la feuille pr\u00e9c\u00e9dente. Le retour de KB sur PS<\/strong><\/p>\n\n\n\n Il est donn\u00e9 par les relations \\(\\displaystyle \\theta=\\frac{y}{x-1}\\) et \\(u=ch^{-1}\\displaystyle \\left(\\frac{\\sqrt{1-x^2-y^2}}{1-x}\\right)\\) (car \\(x<1\\)).<\/p>\n\n\n\n Longitude qu’il faut adapter, \u00e0 \\(\\pi\\) pr\u00e8s selon la param\u00e9trisation retenue pour la feuille principale, d’o\u00f9 des macros bool\u00e9ennes, vers KB<\/strong> et vers PS<\/strong>, mises en oeuvre dans la figure suivante.<\/p>\n\n\n\n Figure d’illustration (et d’appropriation) de la conjugaison<\/strong><\/p>\n\n\n\n La figure que l’on propose sur ce th\u00e8me est riche d’illustrations de nombreuses situations. Les trois droites de la pseudosph\u00e8re sont construites par les macros intrins\u00e8ques des pages pr\u00e9c\u00e9dentes. Les points \\(A, B, C\\) sont ensuite envoy\u00e9s sur le disque limite de Beltrami, en \\(A_{kb}, B_{kb}, C_{kb}\\), avec \\(kb\\) pour Klein Beltrami, mais aussi Bool\u00e9en. Les droites sont construites dans KB<\/strong>. On voit d\u00e9j\u00e0 clairement que les droites sortent de l’horicyce rose, image de la pseudosph\u00e8re, et donc que des points peuvent \u00eatre sur ces droites sans pouvoir \u00eatre sur la pseudosph\u00e8re … \u00e0 ne pas oublier pour la suite. Voici quelques manipulations \u00e0 effectuer<\/p>\n\n\n\n \u2022 Tout d’abord, sans modifier les pop-up menus commencer par d\u00e9placer les points \\(A, B, C\\) par leurs longitudes. Remarquer que l’enroulement des droites plusieurs fois sur la pseudosph\u00e8re correspond \u00e0 la proximit\u00e9 de la KB<\/strong>-droite associ\u00e9e vers le point id\u00e9al \\(I_{dl}\\). En effet, si la feuille principale est bien repr\u00e9sent\u00e9e dans la correspondance de Beltrami, les suivantes s’enroulent sur quelques pixels dans le mod\u00e8le KB<\/strong>.<\/em>
\u2022 le signe \u00ab\u00a0–\u00a0\u00bb en \\(y\\) n’est pas produit par le calcul, il a \u00e9t\u00e9 ajout\u00e9 pour qu’un mouvement dans le sens trigonom\u00e9trique sur un cercle parall\u00e8le \u00e0 l’\u00e9quateur (un horicycle pour la pseudosph\u00e8re) correspond \u00e0 un mouvement de m\u00eame sens sur l’horicycle image dans le disque limite de Beltrami.
\u2022 les rayons \u00e9gaux \u00e0 1 dans les calculs n’est pas une contrainte dans les repr\u00e9sentation en g\u00e9om\u00e9trie dynamique puisque l’impl\u00e9mentation logicielle de la g\u00e9om\u00e9trie est affine et barycentrique : si on augmente le rayon du cercle, tout est modifi\u00e9 homoth\u00e9tiquement, c’est juste le rapport \u00e0 l’unit\u00e9 qui change.<\/em><\/p>\n\n\n\n
\u2022 pour \\(\\theta\\) donn\u00e9 (on est sur un m\u00e9ridien) quand \\(u\\) tend vers l\u2019infini : c\u2019est le point \u00e0 l\u2019infini physique de la pseudosph\u00e8re comme surface plong\u00e9e dans l\u2019espace euclidien.
\u2022 pour \\(u\\) donn\u00e9 \u2013 on est alors sur un parall\u00e8le (\u00e0 l\u2019\u00e9quateur) \u2013 quand \\(\\theta\\) tend vers l\u2019infini : ce point \u00e0 l\u2019infini du plan hyperbolique s\u2019atteint aussi par un enroulement infini sur un parall\u00e8le de la pseudosph\u00e8re, \u00e0 altitude constante, dans un sens ou dans l’autre.<\/p>\n\n\n\nR\u00e9glage de l’image de la feuille principale<\/strong>
par choix de param\u00e9trisation de la longitude<\/strong><\/h2>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/LesDeuxFeuilles-Petit-1024x484.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n
\u00e0 droite une param\u00e9trisation d\u00e9cal\u00e9e de \\(\\pi\\)<\/em> \u00e9tend la repr\u00e9sentation de la feuille principale sur une partie presque deux fois plus grandes et surtout sym\u00e9trique.<\/em>
Ce sera celle retenue dans les prochaines figures de conjugaison, pour.<\/em> une meilleure lisibilit\u00e9 de la feuille principale.<\/p>\n\n\n\n
\u2022 Ensuite placer un ou deux points sur la feuille pr\u00e9c\u00e9dente, pour voir que les points dans KB<\/strong> peuvent avoir une ordonn\u00e9e positive, avec le changement des droites associ\u00e9es. D\u00e9placer encore les points sur leurs cercles-parall\u00e8les respectifs. Observer le changement dans KB<\/strong> quand on franchit le m\u00e9ridien passant par X.
\u2022 Puis, avec les trois points sur la feuille principale, activer le changement de param\u00e9trisation de la longitude, et explorer la figure pour voir que, selon les longitudes, le triangle \\(A_{kb}B_{kb}C_{kb}\\) ne se limite plus \u00e0 la partie inf\u00e9rieure de l’horicycle rose.<\/em><\/p>\n\n\n