{"id":116,"date":"2021-10-15T15:14:49","date_gmt":"2021-10-15T11:14:49","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=116"},"modified":"2025-12-15T19:30:02","modified_gmt":"2025-12-15T15:30:02","slug":"ps-cycles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=116","title":{"rendered":"Pseudosph\u00e8re – Les cercles"},"content":{"rendered":"\n

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Distance et \u00e9quation de cercle<\/h2>\n\n\n\n

En g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique, il y a trois types de cycles, correspondant \u00e0 l’image d’un point par l’un des trois types de pinceaux de droite : les cercles, pour les pinceaux \u00e0 centre, les \u00e9quidistantes pour les pinceaux \u00e0 axe, et les horicycles pour les pinceaux dits \u00ab\u00a0sans support\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire les pinceaux de droites parall\u00e8les. Cette page est consacr\u00e9 aux cercles, la suivante aux deux autres types.<\/p>\n\n\n\n

La distance sur la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Elle est donn\u00e9e par une formule analogue aux birapports rencontr\u00e9s dans le mod\u00e8le projectif de Klein ou les mod\u00e8les conformes de Poincar\u00e9 : <\/p>\n\n\n\n\\(AB = \\displaystyle \\left\\vert th^{-1}\\left( \\frac{\\theta_A + c_{AB}}{k_{AB}}\\right)-th^{-1}\\left( \\frac{\\theta_B + c_{AB}}{k_{AB}}\\right) \\right\\vert = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\left\\vert ln \\left( \\displaystyle \\frac{1+\\displaystyle\\frac{\\theta_A + c_{AB}}{k_{AB}}}{1-\\displaystyle\\frac{\\theta_A + c_{AB}}{k_{AB}}}:\\frac{1+\\displaystyle\\frac{\\theta_B + c_{AB}}{k_{AB}}}{1-\\displaystyle\\frac{\\theta_B + c_{AB}}{k_{AB}}}\\right) \\right\\vert\\)\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Le cercle de centre A de rayon R<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Apr\u00e8s calculs, c’est le lieu des points \\(M(u,\\theta)\\) tels que : \\(\\left( ch(u) – ch(R) ch(u_A)\\right)^2+(\\theta-\\theta_A)^2=sh^2(R)ch^2(u_A)\\)<\/p>\n\n\n\n

ce que l’on param\u00e8tre, comme dans le cas euclidien, avec un angle \\(\\varphi\\) sur un intervalle d’amplitude \\(2\\pi\\) par : <\/p>\n\n\n\n\\(\\left\\lbrace \\begin{array}{1} ch(u) &=& ch(R)ch(u_A)+sh(R)ch(u_A)cos \\varphi \\\\ \\theta &=& \\theta_A +sh(R)ch(u_A)sin \\varphi \\end{array} \\right.\\)\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Le cercle circonscrit \u00e0 un triangle pseudosph\u00e9rique<\/h2>\n\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

\u00e0 gauche le centre du cercle circonscrit est \u00e0 l’int\u00e9rieur du triangle, \u00e0 droite, \u00e0 l’ext\u00e9rieur<\/em> …
mais il peut \u00eatre aussi sur la feuille pr\u00e9c\u00e9dente comme ci-dessous<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Rappel : la longitude est la seconde coordonn\u00e9e. Ici, \\(A, B\\) et \\(C\\) sont sur la premi\u00e8re feuille (par construction)<\/em>
et on lit que \\(o_{ABC}\\) est sur la feuille pr\u00e9c\u00e9dente avec une longitude autour de \\(\\displaystyle -\\frac{\\pi}{2}\\) comme on le voit bien \u00e0 droite<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Manipulation de la figure<\/strong><\/p>\n\n\n