{"id":114,"date":"2021-10-15T15:14:27","date_gmt":"2021-10-15T11:14:27","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=114"},"modified":"2025-12-15T14:30:24","modified_gmt":"2025-12-15T10:30:24","slug":"ps-droites-et-triangles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=114","title":{"rendered":"PS – Pr\u00e9sentation des droites"},"content":{"rendered":"
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

La repr\u00e9sentation de la pseudosph\u00e8re<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La pseudosph\u00e8re a comme repr\u00e9sentation param\u00e9trique \\(\\displaystyle \\left( \\frac{1}{ch \\; u}cos \\theta,\\frac{1}{ch \\; u}sin \\theta,u -th \\; u \\right),\\; \\theta \\in \\mathbb{R}, \\; u>0\\)<\/p>\n\n\n\n

La feuille principale de la pseudosph\u00e8re va de \\(0\\) \u00e0 \\(2\\pi\\), depuis la g\u00e9n\u00e9rique passant par le point \\(X\\) jusqu’au m\u00eame point apr\u00e8s un tour. Ainsi la g\u00e9n\u00e9rique – non trac\u00e9e – passant par le point \\(Y\\) est de longitude \\(\\frac{\\pi}{2}\\). La g\u00e9n\u00e9rique, trac\u00e9e, passant par le sym\u00e9trique de \\(X\\) par rapport \u00e0 l’origine du rep\u00e8re est de longitude \\(\\pi\\).<\/p>\n\n\n\n

On a choisi de tracer deux autres g\u00e9n\u00e9riques, plus fines, en gris, qui partent des sommets du grand axe de l’ellipse repr\u00e9sentant l’\u00e9quateur dans la vue axonom\u00e9trique \u00e0 l’\u00e9cran.<\/p>\n\n\n\n

Les points de la surface sont, de fait, sur un cercle parall\u00e8le \u00e0 l’\u00e9quateur. Ce cercle a une latitude<\/strong>, au sens de de la param\u00e9trisation de la pseudosh\u00e8re, et une longitude<\/strong>, sur ce cercle.<\/p>\n\n\n\n

Pour d\u00e9finir un point \\(A\\) en manipulation directe sur la pseudosph\u00e8re, on se donne une latitude \\(u_A\\) sur l’axe vertical qui repr\u00e9sente l’axe de la pseudosph\u00e8re. De cette latitude on construit le cercle parall\u00e8le \u00e0 l’\u00e9quateur de c\u00f4te \\(u_A – th \\; u_A\\) sur lequel on prend ce point \\(A\\). Ce point plac\u00e9 sur le cercle, on calcule simplement sa longitude \\(\\theta_A\\) dans le rep\u00e8re associ\u00e9 \u00e0 (XOY).<\/p>\n\n\n\n

Compte tenu du d\u00e9terminisme des logiciels de g\u00e9om\u00e9trie dynamique, on a n\u00e9cessairement \\(0 < \\theta_A < 2\\pi\\). Cela signifie que, de par la conception m\u00eame des logiciels, les points de base pos\u00e9s sur la pseudosph\u00e8re le sont sur sa feuille principale<\/strong>. cela n’emp\u00e8chera pas de construire des droites sur plusieurs feuilles, mais – dans un premier temps – on ne pourra pas enrouler contin\u00fbment un point, \u00e0 la souris, sur plusieurs feuilles de la pseudosph\u00e8re : on retrouve ici, en terme de questionnement de la g\u00e9om\u00e9trie dynamique, des interrogations qui ressemblent \u00e0 celles pr\u00e9sentes \u00e0 l’\u00e9poque de Minding. <\/p>\n\n\n\n

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Les droites de la pseudosph\u00e8re<\/h2>\n\n\n\n

Les g\u00e9od\u00e9siques de la pseudosph\u00e8re sont de deux sortes :
\u2022 les m\u00e9ridiens, d’\u00e9quation \\(\\theta = c\\)
\u2022 les autres droites d’\u00e9quation \\(ch^2(u)+(\\theta+c)^2=k^2\\) o\u00f9 \\(c\\) et \\(k\\) sont deux constantes.<\/p>\n\n\n\n

En dehors des m\u00e9ridiens qui vont tous vers un m\u00eame point \u00e0 l’infini – ce qui apparaitra clairement plus loin – il est imm\u00e9diat que les autres droites vont de l’\u00e9quateur (\\(u=0\\)) \u00e0 l’\u00e9quateur en passant par un maximum pour \\(\\theta =-c\\) , donn\u00e9 par \\(ch^2(u)=k^2\\). Mais si elles \u00ab\u00a0redescendent\u00a0\u00bb \u00e0 l’\u00e9quateur, elles n’y vont pas sur une seule feuille, on parlera de droites multifeuilles<\/em>. Pour ces feuilles, l’amplitude de la longitude doit \u00eatre maximale, maximum atteint quand \\(ch(u)\\) est minimum, et donc vaut 1. Les extr\u00e9mit\u00e9s, sur l’\u00e9quateur, sont atteintes pour \\(\\theta = -c – \\sqrt{k^2-1}\\) et \\(\\theta = -c + \\sqrt{k^2-1}\\)<\/p>\n\n\n\n

Droite passant par deux points<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\u00c9tant donn\u00e9s deux points \\(A(u_A, \\theta_A)\\) et \\(B(u_B, \\theta_B)\\), avec \\(\\theta_A \\ne \\theta_B\\), les constantes de la g\u00e9od\u00e9sique \\((AB)\\) sont donn\u00e9es par :
\\(\\displaystyle c_{AB}=\\frac{ch^2(u_A)+\\theta^2_A-ch^2(u_B)-\\theta^2_B}{2(\\theta_B-\\theta_A)}\\) et donc \\(k^2_{AB}=\\sqrt{ch^2(u_A)+(\\theta_A+c_{AB})^2}\\).
C\u2019est parce que ces deux constantes s\u2019expriment ais\u00e9ment \u00e0 partir des coordonn\u00e9es de \\(A\\) et \\(B\\) que l\u2019on peut construire les droites sur la pseudosph\u00e8re de mani\u00e8re intrins\u00e8que, simplement avec les outils de g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n

Galerie de neufs situations que l’on peut explorer plus en d\u00e9tail dans la figure suivante<\/em><\/p>\n\n\n\n

La figure correspondante<\/strong><\/p>\n\n\n