{"id":1095,"date":"2021-11-10T14:43:27","date_gmt":"2021-11-10T10:43:27","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=1095"},"modified":"2025-12-20T21:50:06","modified_gmt":"2025-12-20T17:50:06","slug":"symetries-elliptiques","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=1095","title":{"rendered":"Sym\u00e9tries elliptiques"},"content":{"rendered":"<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"719\" height=\"1024\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoSurSphere-719x1024.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1096\" style=\"width:414px;height:590px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoSurSphere-719x1024.png 719w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoSurSphere-211x300.png 211w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoSurSphere-768x1094.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoSurSphere.png 1036w\" sizes=\"(max-width: 719px) 100vw, 719px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>La sym\u00e9trie orthogonale sur la sph\u00e8re, comme dans le plan elliptique, ne pose pas de probl\u00e8me \u00e0 d\u00e9finir ou \u00e0 construire. Ses propri\u00e9t\u00e9s par contre peuvent surprendre quand on ne les a jamais rencontr\u00e9es. Avec la g\u00e9om\u00e9trie sph\u00e9rique, le sym\u00e9trique d\u2019un point par rapport \u00e0 une g\u00e9od\u00e9sique de la sph\u00e8re n\u2019est rien d\u2019autre que le sym\u00e9trique euclidien de ce point par rapport au plan que d\u00e9fini la g\u00e9od\u00e9sique (un grand cercle).<\/p>\n\n\n\n<p>Ci-contre une droite de la sph\u00e8re (verte : grand cercle colori\u00e9 pour mieux visualiser le plan en manipulation) construite comme polaire du point \\(M\\)<strong> <\/strong>(sur un cercle d\u00e9fini par sa latitude \\(u_M\\)). On se donne ensuite un point \\(A\\), sur un cercle de latitude \\(u_A\\). En rose la droite orthogonale \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente passant par \\(A\\), elle aussi remplie pour voir le plan euclidien associ\u00e9, en manipulation directe.<\/p>\n\n\n\n<p>\\(H\\)<strong> <\/strong>est le projet\u00e9 orthogonal de \\(A\\)<strong> <\/strong>sur le plan euclidien associ\u00e9 \u00e0 la droite de la sph\u00e8re verte et \\(symA\\)<strong> <\/strong>le sym\u00e9trique euclidien de \\(A\\)<strong> <\/strong>par rapport au plan et donc sym\u00e9trique par rapport \u00e0 la droite sur la sph\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p>On projette par antipode elliptique. Par exemple \\(A\\)<strong> <\/strong>\u00e9tant dans l\u2019h\u00e9misph\u00e8re nord, \\(Aell\\)<strong> <\/strong>est le projet\u00e9 st\u00e9r\u00e9ographique de \\(sA\\)<strong> <\/strong>le point diam\u00e9tralement oppos\u00e9 \u00e0 \\(A\\). <\/p>\n\n\n\n<p>De m\u00eame \\(symAell\\), le sym\u00e9trique elliptique de \\(Aell\\)<strong> <\/strong>par rapport \u00e0 la droite elliptique verte, est le projet\u00e9 du sym\u00e9trique (croix rouge) de \\(symA\\), qui, dans cette illustration, est lui aussi dans l\u2019h\u00e9misph\u00e8re nord. Les droites \u00e9tant orthogonales, celle passant par \\(A\\)<strong> <\/strong>et son sym\u00e9trique \\(Aell\\)<strong> <\/strong>passe par le p\u00f4le \\(P\\)<strong> <\/strong>de l\u2019axe de sym\u00e9trie. Dans cette illustration, on peut conjecturer que l\u2019intersection est bien <strong>le milieu <\/strong>des deux points.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"alignright size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"688\" src=\"http:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoPlanEll_Pole-1024x688.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1097\" style=\"width:429px;height:287px\" srcset=\"https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoPlanEll_Pole-1024x688.png 1024w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoPlanEll_Pole-300x201.png 300w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoPlanEll_Pole-768x516.png 768w, https:\/\/curvica974.re\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/SymOrthoPlanEll_Pole.png 1108w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Sym\u00e9trie orthogonale ? Vraiment ?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Mais si l\u2019intersection des deux droites est &#8211; par construction &#8211; le milieu du point \\(Aell\\)<strong> <\/strong>et de son sym\u00e9trique \\(symAell\\), l\u2019autre milieu des deux points sur la droite n\u2019est autre que le p\u00f4le de l\u2019axe de sym\u00e9trie (car le premier milieu est sur l\u2019axe). \u00c8t ceci est vrai pour tous les points elliptiques puisque toutes les droites orthogonales \u00e0 l\u2019axe de sym\u00e9trie passent par son p\u00f4le, on peut en d\u00e9duire que :<\/p>\n\n\n\n<p><strong>La sym\u00e9trie orthogonale elliptique par rapport \u00e0 une droite est aussi la sym\u00e9trie centrale par rapport \u00e0 son p\u00f4le.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Dans la d\u00e9marche th\u00e9orique qui sous-tend cette pr\u00e9sentation, les sym\u00e9tries orthogonales sont des \u00e9l\u00e9ments premiers, sur lesquels sont \u00e9mis des axiomes. Certains auteurs vont, au contraire,  dire qu\u2019en g\u00e9om\u00e9trie elliptique il n\u2019y a pas de sym\u00e9tries orthogonales mais au contraire que des rotations, ce qui est un point de vue tout \u00e0 fait correct en terme de structures.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Manipulation de la figure suivante<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>\\(A\\) et \\(M\\) se manipulent \u00e0 la fois par \\(u_A\\)<em> <\/em>et \\(u_M\\)<em> <\/em>pour les laltitudes de leurs parall\u00e8les respectives, et directement sur leurs parall\u00e8les. Quand \\(u_A\\)<em> <\/em>est au dessus de \\(O\\), \\(A\\) est dans l\u2019h\u00e9misph\u00e8re nord, donc le projet\u00e9 est celui de \\(sA\\)<em> <\/em>son sym\u00e9trique dans l\u2019h\u00e9misph\u00e8re sud. De m\u00eame pour le sym\u00e9trique de \\(A, symA\\), par rapport \u00e0 la polaire de \\(M\\).<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1wS-ajzL3iEjmDZ38k7Hze2xxZO0b1XYR\/view?usp=drive_link\" style=\"width:710px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>D\u00e9placer \\(A\\), par \\(A\\) et\/ou \\(u_A\\) de m\u00eame l\u2019axe de sym\u00e9trie par son p\u00f4le \\(M\\). Observer le passage quand <\/em>\\(symAell\\)<em>passe par l\u2019\u00e9quateur. <\/em><br><em>Ne pas h\u00e9siter \u00e0 d\u00e9placer le rep\u00e8re par un clic-gliss\u00e9 ou un doigt-gliss\u00e9.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Remarque : N\u2019ayant pas l\u2019outil arc de cercle en 3D (en fait des arcs d&rsquo;ellipse), on est amen\u00e9 \u00e0 tracer les cercles entiers dans le plan du sol.<\/p>\n\n\n\n<p>Le passage au plan est \u00e9l\u00e9mentaire : on applique la macro \u00ab Point elliptique \u00bb \u00e0 l\u2019inverse de \\(M\\) par rapport \u00e0 la droite \\((AB)\\). C\u2019est int\u00e9ressant de voir les trois points de vue : intrins\u00e8quement elliptique, mais aussi du point de vue de la sym\u00e9trie axiale et celui de la sym\u00e9trie centrale.<\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1Q2JW_oroRtp5eokHzVBkvr7QYV2iXuC7\/view?usp=drive_link\" style=\"width:800px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1DgReCDm2AjhxIZ1Z017y2b77G8mdFzgc\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><strong>Une caract\u00e9risation alg\u00e9brique de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Revenons sur les triangles tripolaires, L\u2019existence d\u2019un tel triangle est une caract\u00e9risation de la g\u00e9om\u00e9trie elliptique.<\/p>\n\n\n\n<p>Mais puisqu\u2019elle est illustr\u00e9e dans un mod\u00e8le, cette configuration peut para\u00eetre affaiblie pour parler d\u2019une caract\u00e9risation. Pourtant, du point de vue d\u2019une axiomatique construite sur les sym\u00e9tries orthogonales, cette propri\u00e9t\u00e9 est structurelle. Voici le raisonnement depuis l&rsquo;existence d&rsquo;un triangle tripolaire.<\/p>\n\n\n\n<p>Soit donc \\(ABC\\) un triangle tripolaire et \\(a, b, c\\), les polaires des sommets respectifs. On note \\(s_x\\) la sym\u00e9trie orthogonales par rapport \u00e0 la droite \\(x\\)<strong> <\/strong>et \\(s_X\\)<em> <\/em>la sym\u00e9trie centrale par rapport au point \\(X\\). Par des propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques sur les \u00e9l\u00e9ments d\u2019ordre 2, comme les droites \\(a\\) et \\(b\\)<strong> <\/strong>sont orthogonales, le produit \\(s_a o s_b\\) est un \u00e9l\u00e9ment d\u2019ordre 2 qui laisse le point d\u2019intersection \\(C\\)<strong> <\/strong>invariant. Ce produit est donc la sym\u00e9trie centrale \\(s_C\\). On a donc \\(s_a o s_b=s_C=s_c\\), soit \\(s_a o s_b o s_c = Id\\).<\/p>\n\n\n\n<p>Ce sera, en fait, une caract\u00e9risation de cette g\u00e9om\u00e9trie qui, sous une forme plus alg\u00e9brique, dans un langage de groupe, s\u2019exprime sous la forme : <strong>Il existe trois droites a, b et c telles que abc=1.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><em><strong>Dans la galerie ci-dessous<\/strong> quelques exemple comment\u00e9s de ce que l\u2019on peut r\u00e9aliser \u00e0 la figure suivante.<\/em><br>On a \\(N=s_{(AB)}(M)=s_c(M)\\), \\(P=s_{(AC)}(N)=s_b(N)=s_b o s_c(M)\\) et \\(Q=s_{(BC)}(P)=s_a(P)=s_a o s_b o s_c(M)\\).<br>Alors \\(Q=M\\), soit \\(s_a o s_b o s_c = Id\\).<\/p>\n\n\n\n\n\n\n<p><strong>La figure correspondante<\/strong><\/p>\n\n\n<p><center><iframe src=\"https:\/\/www.dgpad.net\/responsive.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1CZWr5V3PBom7u-v-YYBPr3Tw-yg2SAO_\/view?usp=drive_link\" style=\"width:550px;height:520px;border-style:solid;border-width:1px;box-shadow: 6px 6px 3px #888888;\"><\/iframe><\/center><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-small-font-size\"><em>Dans cette figure, on peut agir sur \\(A\\) et \\(B\\) et sur le point \\(M\\).<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rer <a href=\"https:\/\/www.dgpad.net\/index.php?url=https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1QcnfOpsOJxgvNK8ec_hjricB0UJC8HtS\/view?usp=drive_link\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ouvrir cette figure<\/a> dans un nouvel onglet<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La sym\u00e9trie orthogonale sur la sph\u00e8re, comme dans le plan elliptique, ne pose pas de probl\u00e8me \u00e0 d\u00e9finir ou \u00e0 construire. Ses propri\u00e9t\u00e9s par contre peuvent surprendre quand on ne les a jamais rencontr\u00e9es. Avec la g\u00e9om\u00e9trie sph\u00e9rique, le sym\u00e9trique d\u2019un point par rapport \u00e0 une g\u00e9od\u00e9sique de la sph\u00e8re [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-templates\/template-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1095"}],"collection":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1095"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1095\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8338,"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1095\/revisions\/8338"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/curvica974.re\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1095"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}