{"id":108,"date":"2021-10-15T15:12:09","date_gmt":"2021-10-15T11:12:09","guid":{"rendered":"http:\/\/curvica974.re\/?page_id=108"},"modified":"2025-12-14T16:24:12","modified_gmt":"2025-12-14T12:24:12","slug":"dp-les-cycles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/curvica974.re\/?page_id=108","title":{"rendered":"Disque de Poincar\u00e9 – Les cycles"},"content":{"rendered":"\n

Repr\u00e9sentation mentale po\u00e9tique des \u00e9pisodes pr\u00e9c\u00e9dents<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les droites remarquables d\u2019un triangle – ce serait vrai aussi pour les bissectrices – sont donc \u00aben pinceau\u00bb, et elle peuvent l\u2019\u00eatre dans trois types diff\u00e9rents, \u00ab \u00e0 centre \u00bb, \u00ab \u00e0 axe \u00bb, ou \u00ab sans support \u00bb. Lors d\u2019une formation de type \u00ab homologie didactique \u00bb, je r\u00e9sumais en disant que de l\u2019euclidien \u00e0 l\u2019hyperbolique, on ajoutait un type de pinceau : le type euclidien \u00ab parall\u00e8le \u00bb \u00e9tait scind\u00e9 en deux, \u00ab \u00e0 axe \u00bb et \u00ab sans support \u00bb. La vraie nouveaut\u00e9 conceptuelle <\/strong>de ce type \u00ab sans support \u00bb est, pour ces droites, l\u2019aspect non connectables<\/strong>; sans point ni perpendiculaire commune. Une \u00e9tudiante faisait remarquer que si les droites concourantes sont reli\u00e9es, au point de concours, par un ruban, alors, en g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique on peut d\u00e9lier ce ruban, et le tendre ailleurs, les droites remarquables deviennent \u00ab\u00e0 axe\u00bb, mais on peut aussi perdre le ruban (il n\u2019est pas parti \u00e0 l\u2019infini, comme le pensait Saccheri) et les droites remarquables deviennent \u00absans support\u00bb. Une tr\u00e8s belle image.<\/p>\n\n\n\n

On va avoir le m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne pour les cycles : un cercle est juste un cas particulier o\u00f9 le ruban fait un n\u0153ud, nous allons d\u00e9lier le ruban, le tendre pour en faire un axe, mais aussi le perdre. Mais pour faire cela revenons aux fondamentaux. Qu\u2019est-ce qu\u2019un cercle, de mani\u00e8re absolue ?<\/p>\n\n\n\n

Le cercle comme image d\u2019un point par un pinceau \u00e0 centre<\/strong><\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Le cercle de centre \\(O\\) passant par \\(A\\) est le lieu des images de \\(A\\) par les sym\u00e9tries orthogonales d\u2019axes passant par \\(O\\).<\/p>\n\n\n\n

Ci-contre, dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, il suffit de faire parcourir un point sur un demi-cercle pour faire \u00able tour des droites\u00bb passant par \\(O\\). On a donc le cercle hyperbolique comme trace de \\(A’\\) image de \\(A\\). On voit que c\u2019est un cercle euclidien. <\/p>\n\n\n\n

On retiendra que, dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, le cercle hyperbolique est repr\u00e9sent\u00e9 par un cercle euclidien.<\/p>\n\n\n\n

Remarque : on notera surtout <\/em>le glissement s\u00e9mantique <\/em><\/strong>contenu dans la d\u00e9finition : on est pass\u00e9 de trois droites \u00aben pinceau\u00bb \u00e0 un \u00abpinceau de droites\u00bb, ce qui n\u2019est pas du tout la m\u00eame chose, bien entendu. On reste ici dans une approche heuristique.<\/em> La justification th\u00e9orique est dans cette page sur la transitivit\u00e9 des pinceaux<\/a>.<\/em><\/p>\n\n\n\n

\u00c9quidistante d\u2019axe donn\u00e9 passant par un point<\/h2>\n\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n


On d\u00e9fait le ruban, cela transforme le pinceau \u00ab\u00e0 centre\u00bb, qui d\u00e9finit le cercle, en pinceau \u00ab\u00e0 axe\u00bb qui va d\u00e9finir un nouvel objet g\u00e9om\u00e9trique : le lieu des images \\(A’\\) d\u2019un point \\(A\\) par toutes les sym\u00e9tries d\u2019axes orthogonaux \u00e0 l\u2019axe du pinceau. <\/p>\n\n\n\n

Ce lieu a les m\u00eames points \u00e0 l\u2019infini que l\u2019axe, ce n\u2019est donc pas un cercle. Par ailleurs on voit (ci- contre – on pourrait le justifier rapidement) que ce n\u2019est pas non plus une droite.
C\u2019est un nouvel objet, appel\u00e9 une \u00e9quidistante.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Que l\u2019\u00e9quidistante hyperbolique ne soit pas une droite a \u00e9t\u00e9 une grande source d\u2019erreurs historiques sur le V\u00b0 postulat d\u2019Euclide. Car beaucoup de math\u00e9maticiens ont consid\u00e9r\u00e9 le lieu de l\u2019\u00e9quidistante d\u2019une droite d\u2019un c\u00f4t\u00e9 comme \u00e9tant a priori une droite. Or il s\u2019av\u00e8re que l\u2019\u00e9quidistante n\u2019est une droite que dans le cas euclidien<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Dans ce mod\u00e8le, l\u2019\u00e9quidistante est un arc de cercle.<\/p>\n\n\n\n

Horicycle par centre et point<\/strong><\/h2>\n\n\n
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Puis nous perdons le ruban, le pinceau devient \u00absans support\u00bb c\u2019est-\u00e0-dire avec un point id\u00e9al qui va \u00eatre le \u00abcentre\u00bb du nouvel objet : le lieu des images \\(A’\\) d\u2019un point \\(A\\) par toutes les sym\u00e9tries orthogonales d\u2019axe passant par le point id\u00e9al \\(I\\). Ce lieu a donc un et un seul point \u00e0 l\u2019infini, ce n\u2019est donc aucun des objets g\u00e9om\u00e9triques pr\u00e9c\u00e9dents. Il est appel\u00e9 horicycle (horocycle en anglais).<\/p>\n\n\n\n

Dans le mod\u00e8le du disque de Poincar\u00e9, un horicycle est repr\u00e9sent\u00e9 par un cercle tangent \u00e0 l\u2019horizon : c\u2019est le cercle tangent en \\(I\\) passant par \\(A\\).<\/p>\n\n\n\n

Le cycle de pinceau f passant par un point A <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Par pinceau de droites, on entend l\u2019ensemble des droites ayant une propri\u00e9t\u00e9 donn\u00e9e, \u00e0 savoir un point, un axe ou un point id\u00e9al. Dans cette d\u00e9marche heuristique, les propri\u00e9t\u00e9s sous-jacentes des pinceaux qui sont utilis\u00e9es, le sont de mani\u00e8re implicite. Le cycle de pinceau f passant par A est donc un cercle, une \u00e9quidistante ou un horicycle selon que f soit, \u00e0 centre, \u00e0 axe ou sans support<\/strong>.<\/p>\n\n\n